1、第八章 二元一次方程组一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列各式中属于二元一次方程的有（）；A2个B3个C4个D5个2下列方程组，属于二元一次方程组的是（）ABCD3把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（）AxBxCD4二元一次方程的正整数解有（）组A1B2C3D45下列四组值中，是方程组的解的是()ABCD6李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（）A甲B乙C丙D丁7已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（）A2BCD8利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（
2、）A要消去，可以将B要消去，可以将C要消去，可以将D要消去，可以将9幻方是古老的数字问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（）AB0C1D210已知关于，的方程组给出下列结论：当时，方程组的解也是的解；无论取何值，的值不可能是互为相反数；，均为正整数的解只有1对；若，则.正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： 12以方程组的解为坐标的点在第 象限13已知是关于，的二元一次
3、方程的解，则的值为 14孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为 15若是方程的一个解，则 16在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17解方程组：(1)； (2)18解方程组，下面是两同学的解答过程：小敏：解：把方程变形为，再将代入方程得小川：解：将方程的两边乘以3得，再将两个方程相加，得到(1)小敏的解法依据是_，运用的方法是_
4、；小川的解法依据是_，运用的方法是_；整式的运算性质；等式的性质；加法的结合律；代入消元法；加减消元法(2)请直接写出原方程组的解19已知关于，的二元一次方程(1)求，的值；(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）数对判断数对是否是方程的解20已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解(1)求这两个方程组的相同解；(2)求的值四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法(1)请按照小智的
5、解法解出这个方程组；(2)用整体代入法解方程组22若a，b都是实数，且满足，我们就称点为“和谐点”（1）若点是“和谐点”，则c的值是 （2）已知以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“和谐点”，则m的值为 23已知用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用A型和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24已
6、知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）(1)当，时，用的代数式表示；(2)若是该二元一次方程的一个解，探索与关系，并说明理由；无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解25综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题设，则原方程组可化为_，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解第八章 二元
7、一次方程组一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列各式中属于二元一次方程的有（）；A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程【详解】解：根据定义可知是二元一次方程，中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；是代数式，不是方程；是分式方程，整理后为，是二元一次方程故正确的有，共4个，故选：2下列方程组，属于二元一次方程组的是（）ABCD【答案】A【分析】本题主要考查二元一次方程组的概念，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且含未知数的项
8、最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组根据二元一次方程组的定义逐项分析即可解答【详解】解：A是二元一次方程组，符合题意； B含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； C不是整式方程，不符合题意； D含有2次项，不是二元一次方程组，不符合题意故选A3把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（）AxBxCD【答案】D【分析】本题主要考查解二元一次方程，将看作常数即可【详解】解：，故选：D4二元一次方程的正整数解有（）组A1B2C3D4【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的解，先用的代数式表示出，再求出正整数解即可【详解】解：，所以正整数解是：，共
9、1组，故选：A5下列四组值中，是方程组的解的是()ABCD【答案】D【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键两式相加消去y，求得x的值，代入得到y的值，从而得到答案【详解】得，解得，把代入，得，解得，所以原方程的解是故选D6李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（）A甲B乙C丙D丁【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可【详解】解：，由得：，将代入得：，去分母得：，解得：，将代入，解得：，丙在去分母的时候
10、出现了错误，故选：C7已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（）A2BCD【答案】B【分析】本题主要考查解二元一次方程组、求代数的值和求一个数的平方根，根据已知的方程组和解即可求得m和n，进一步求得代数值，即可求得平方根【详解】解：是二元一次方程组的解，解得，则4的平方根为，故选：B8利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A要消去，可以将B要消去，可以将C要消去，可以将D要消去，可以将【答案】D【分析】利用加减消元法判断即可【详解】解：利用加减消元法解方程组，要消去，可以将故选：D【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，理解消元的思想是解题关键9幻方是古老的数字问题，我国古代的洛书中记载
11、了最早的幻方九宫格将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（）AB0C1D2【答案】C【分析】本题考查了三元一次方程组，解一元一次方差，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，得出，进而出，即可解答【详解】解：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，整理得：，则，解得：，故选：C10已知关于，的方程组给出下列结论：当时，方程组的解也是的解；无论取何值，的值不可能是互为相反数；，均为正整数的解只有1对；若，则.正确的是（）ABCD【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二
12、元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断【详解】解：当时，方程组整理得，解得，当时，方程得，当时，代入方程得，故正确；解方程组得，无论取何值，的值不可能是互为相反数，故正确；由知，当，均为正整数时，则有或，共有2对，故错误；由得，解得，故正确；综上，正确的结论是，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： 【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了二元一次方程的概念以及解的意义，二元一次方程满足的条件是：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程
13、按照该条件写出即可【详解】按照二元一次方程满足的条件写出：（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）12以方程组的解为坐标的点在第 象限【答案】二【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和在平面直角坐标系内判断点的位置先解出方程组，得到x，y的值，即可得到答案【详解】解：得： ，解得：，得：，得：，方程组的解为 坐标的点为点，在第二象限故答案为：二13已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 【答案】【分析】本题考查方程的解的概念，将代入中求解，即可解题【详解】解：是关于，的二元一次方程的解，解得，故答案为：14孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木
14、长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为 【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得：，故答案为15若是方程的一个解，则 【答案】【分析】把代入得，将代入进行计算即可【详解】解：把代入得：，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出16在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙
15、看错了，得到解为，则 【答案】【分析】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键把代入中求得b值，把代入中求得a值，后求值计算即可【详解】解：根据题意，；把代入的中，得，解得；把代入中，得，解得，故答案为：三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17解方程组：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键（1）利用代入法解该二元一次方程组即可；（2）利用加减法解该二元一次方程组即可【详解】（1）解：，把代入，得 ，解得，将代入，得，所以，原方程组的解是；（2）解：，由，得，由，得 ，解得，将代
16、入，得，所以，原方程组的解是18解方程组，下面是两同学的解答过程：小敏：解：把方程变形为，再将代入方程得小川：解：将方程的两边乘以3得，再将两个方程相加，得到(1)小敏的解法依据是_，运用的方法是_；小川的解法依据是_，运用的方法是_；整式的运算性质；等式的性质；加法的结合律；代入消元法；加减消元法(2)请直接写出原方程组的解【答案】(1)、；、(2)【分析】本题考查了代入法和加减法消元解二元一次方程组（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；（2）用代入法消元解二元一次方程组即可【详解】（1）解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小川的解
17、法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；故答案为：、；、；（2）解：把方程变形为，再将代入方程得，解得，将代入，得，方程组的解为19已知关于，的二元一次方程(1)求，的值；(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）数对判断数对是否是方程的解【答案】(1)，(2)是；不是；是；不是【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，解得，的值即可；（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可【详解】（1）解：是关于，的二元一次方程，解得，（2）由（1）可知，关于，的二元一次方程，当时，是方程的解，当时，不是方程的解，当时，是方程的解，当时，不是方程的解，故答案
18、为：是；不是；是；不是【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键20已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解(1)求这两个方程组的相同解；(2)求的值【答案】(1)(2)1【详解】（1）由题意，得，得5x10，解得x2把x2代入，得45y26，解得y6这两个方程组的相同解为（2）把代入得解此方程组，得a1，b1，（2ab）2024（21）20241四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用
19、的一种解题方法(1)请按照小智的解法解出这个方程组；(2)用整体代入法解方程组【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入法求解是解题的关键（1）直接把整体代入求出，进而求出即可；（2）先把原方程整理得到，再把整体代入先求出，进而求出即可【详解】（1）解：整理得，把整体代入得，解得，把代入得：，解得，方程组的解为；（2）解：整理得，把整体代入得：，解得，把代入得：，解得，方程组的解为22若a，b都是实数，且满足，我们就称点为“和谐点”（1）若点是“和谐点”，则c的值是 （2）已知以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“和谐点”，则m的值为 【答案】 4 【分析】本题考
20、查二元一次方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题（1）根据“和谐点”的定义判定即可；（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题【详解】（1）点是“和谐点”，解得又，（2）解方程组得点是“和谐点”，解得又，当时，点是“和谐点”23已知用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用A型和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？
21、【答案】(1)辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨(2)共有3种租车方案；方案租用A型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组或列出二元一次方程；利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金（1）设辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A型车租辆，型车租辆，根据租用的两种车载满货物一次可运货
22、吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论【详解】（1）解：设辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，依题意，得：，解得：答：辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨（2）解：设A型车租辆，型车租辆，依题意，得：，均为非负整数，该物流公司共有三种租车方案，方案：租用A型车辆，型车辆；方案：租用A型车辆，型车辆；方案：租用A型车辆，型车辆方案所需租金：元，方案所需租金：元，方案所需租金：元，方案租用A型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元五、（本大题共
23、2小题，每小题12分，共24分）24已知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）(1)当，时，用的代数式表示；(2)若是该二元一次方程的一个解，探索与关系，并说明理由；无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解【答案】(1)(2)；【分析】（1）将，代入，再用的代数式表示即可；（2）将代入，化简得出与关系；将代入，化为，即可确定该方程的固定解【详解】（1）解：将，代入得，化简得：；（2）将代入，得即；将代入，得，当时，无论、取何值，该方程有一个固定解，这个解为【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键25综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到
24、了这样一个问题：解方程组：观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题设，则原方程组可化为_，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案【详解】解：（1）设，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得，故答案为：，；（2）设，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得；（3）方程组可化为，关于x，y的二元一次方程组的解为，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键