1、江苏省扬州市江都区2023-2024学年九年级上期末数学试题一、选择题(本题共8个小题，每小题3分，共24分.)1. 在中，若各边都扩大倍，则值（ ）A. 缩小倍B. 扩大倍C. 不变D. 不能确定2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在中，是边上的点，下列条件中不能判定和相似的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，那么的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 若点、在抛物线上，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 6. 一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差后来甲
2、同学进行了补考，数学成绩为102分则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（ ）A. 平均分和方差都不变B. 平均分和方差都改变C. 平均分不变，方差变小D. 平均分不变，方差变大7. 如图，在中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线对于下列结论： ；多项式可因式分解为；无论m为何值时，代数式的值一定不大于0其中正确个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(本题共10个小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答
3、题卡相应位置上)9. 已知，则的值为_10. 已知，则的值为_11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是_12. 如图，中，且，则_13. 如图，、切于点A、B，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是_ 14. 如图，是正十边形两条对角线的夹角，则的度数是_15. 已知m，n是的两个根，则_16. 九章算术是中国传统数学最重要的著作书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰
4、好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是_尺17. 如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在、上，与的交点为M则矩形的周长为_ 18. 如图，在中，点D是上一点，连接，E点在直线下方且，连接，则面积的最大值是_三、解答题(本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. 解方程：（1）；（2） 20. 九年级组织了一次党史学习比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下（10分制）：（1）请把下列表格填写完整平均数中位数众数方差甲1014乙991（2）成绩较为整齐的是_
5、队21. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求小亮投放垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率22. 已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个实数根；（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围23. 如图，在中，点D在上，（1）求证：；（2）已知，求的大小24. 如图，抛物线与x轴交于点A、点C，与y轴交于点B（1）结合图像，回答问题：当时，x取值范围是_；当时，y的取
6、值范围是_；（2）点P是抛物线上第三象限内的一点，连接，四边形的面积是，求点P的坐标25. 如图，在中，以为直径作交于点E，交于点D，平分，且，连接（1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分面积26. 如图是由小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，格点A、B、C都在圆上（1）图中的度数是_；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法(友情提醒：作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，连接的点要加粗)在图1中，作出圆心O，并作出的中点M；在图2中，在上找一点E，使得；27. 如图,在中,点分别是上的点(点D不与点B重合),且满足 （1）图中有哪几对相似三角形?并选择其中一对
7、加以证明；（2）当是等腰三角形时,求的长；（3）当最大时,求长28. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系（1）若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程；（2）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少?江苏省扬州市江都
8、区2023-2024学年九年级上期末数学试题一、选择题(本题共8个小题，每小题3分，共24分.)1. 在中，若各边都扩大倍，则值（ ）A. 缩小倍B. 扩大倍C. 不变D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】设，则扩大后三边长是，根据等于的对边比斜边，代入求出即可本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在中，C=90，则等于对边比斜边，等于邻边比斜边，等于对边比邻边【详解】解：设，各边都扩大倍，扩大后三边长是，值不变，故选：C2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、再配方即可解答；掌握配方法的步
9、骤是解题的关键【详解】解：，故选B3. 如图，在中，是边上的点，下列条件中不能判定和相似的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键根据有两个角对应相等的两个三角形相似，判定A、B选项；根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，判定C、D选项【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，不能判定和相似，故此选项符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：C4. 如图，在中，那么的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，根据
10、等腰三角形的性质求出的度数，根据圆周角定理即可得答案熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键【详解】解：，故选：A5. 若点、在抛物线上，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答【详解】解：抛物线，对称轴为直线，点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，函数开口向上，故选：A6. 一次考
11、试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（ ）A. 平均分和方差都不变B. 平均分和方差都改变C. 平均分不变，方差变小D. 平均分不变，方差变大【答案】C【解析】【分析】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型根据平均数，方差的定义计算即可【详解】解：甲同学补考的成绩是102分，其余同学的平均分为102分，该班测试成绩的平均分为102分，平均分不变，方差变小，故选：C7. 如图，在中，点E是上一
12、点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键【详解】设，则，四边形是平行四边形，故选：C8. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线对于下列结论： ；多项式可因式分解为；无论m为何值时，代数式的值一定不大于0其中正确个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】先根据图像的开口方向和对称轴可
13、判断；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系【详解】抛物线开口向下，对称轴为直线，结论正确；抛物线与x轴一个交点为，且对称轴为直线，由，得，抛物线与x轴的另一个交点为，即当时，结论错误；抛物线与x轴的两个交点为，多项式可因式分解为，结论错误；对称轴为直线，且函数开口向下，当时，y有最大值，由得，时，时，无论m为何值时，结论正确；综上：正确的有故选：B二、填空题(本题共10个小题，每小题3分，共30分不需写出解
14、答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上)9. 已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算【详解】解：， 故答案为：10. 已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数的性质，根据变形计算即可【详解】，解得，故答案为：11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是_【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可求解【详解】解：底面半径是2，则底面周长，圆锥的侧面积【点睛】本题考查了圆周长公式和扇形面积公式
15、，牢记圆的周长公式和扇形面积公式是解题的关键12. 如图，中，且，则_【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出，可得，据此即可求解【详解】解：，故答案为：13. 如图，、切于点A、B，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是_ 【答案】4【解析】【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质根据切线长定理可得，据此即可作答【详解】解：、切于点A、B，切于点E，的周长故答案为：414. 如图，是正十边形两条对角线的夹角，则的度数是_【答案】#54度【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，根据，分别
16、求出即可求解【详解】解：如图所示：由题意得：，故答案为：15. 已知m，n是的两个根，则_【答案】1【解析】【分析】本题主要考查根与系数的关系，根据题意，利用根与系数的关系求出的值，把代入得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：m，n是的两个根，则故答案为：116. 九章算术是中国传统数学最重要的著作书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度
17、是_尺【答案】8【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高【详解】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理可得：，即，解得：（不合题意舍去），（尺，答：门高8尺故答案为：817. 如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在、上，与的交点为M则矩形的周长为_ 【答案】72【解析】【分析】本题考查的是矩形的判定与性质
18、，相似三角形的判定与性质先证明，利用相似三角形的性质可得，再建立方程求解即可【详解】解：四边形为矩形，又，四边形为矩形，设，则，解得，矩形的周长为故答案为：18. 如图，在中，点D是上一点，连接，E点在直线下方且，连接，则面积的最大值是_【答案】1【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值，作于点，证明，结合，推出，设，则，利用三角形面积公式得到，最后根据二次函数的最值，即可解题【详解】解： 作于点，由题知，设，则，当时，有最大值为故答案为：三、解答题(本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. 解方
19、程：（1）；（2） 【答案】（1）， （2），【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键（1）利用平方根的性质得到，即可求解（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，即：，或，20. 九年级组织了一次党史学习比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下（10分制）：（1）请把下列表格填写完整平均数中位数众数方差甲101.4乙991（2）成绩较为整齐的是_队【答案】（1）甲：平均数9，中位数9.5；乙：众数10 （2）乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求得甲队成
20、绩的平均数即可；将甲队比赛成绩按照从小到大排列，然后按照中位数的定义求解即可；根据众数的定义求解乙队成绩的众数即可；（2）根据甲乙两队比赛成绩的方差，即可获得答案【小问1详解】解：甲队的平均数为：，甲队比赛成绩按照从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，故中位数为，乙队成绩中10分出现了4次，出现的次数最多，所以，乙队比赛成绩的众数为10故填写表格如下：平均数中位数众数方差甲995101.4乙99101【小问2详解】甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，成绩较为整齐的是乙队故答案为：乙【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差等知识，熟练掌握平均数、众数、
21、中位数和方差的定义是解题关键21. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率【答案】（1）小明投放的垃圾恰好是A类的概率为： （2）小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先画出树状图得到
22、所有等可能性的结果数，再找到小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果，最后依据概率计算公式求解即可【小问1详解】解：垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；【小问2详解】解：画树状图如下：由图可知，共有16种等可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为22. 已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个实数根；（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公
23、式是解题的关键（）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解；（）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可【小问1详解】解：关于的一元二次方程，不论为何值，方程有两个实数根【小问2详解】解：关于的一元二次方程中，方程的两个根都是负根，23. 如图，在中，点D在上，（1）求证：；（2）已知，求大小【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和
24、得到对应角相等（1）由可得，由得到，则根据相似三角形的判定方法可得；（2）先证明得到，再由三角形内角和得到，最后求得结果【小问1详解】证明：，即，；【小问2详解】解：，即24 如图，抛物线与x轴交于点A、点C，与y轴交于点B（1）结合图像，回答问题：当时，x的取值范围是_；当时，y的取值范围是_；（2）点P是抛物线上第三象限内的一点，连接，四边形的面积是，求点P的坐标【答案】（1）或； （2），【解析】【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键（1）令，求出点B的坐标，令，求出与x轴交点坐标，再结合图象先出自变量及函数值范围即可解题；（2） 运用待定系数法求出直线的表
25、达式为，设点，则点，根据表示出面积，解一元二次方程即可【小问1详解】解：抛物线与x轴交于点A、点C，与y轴交于点B，当时，当时，解得：，当时，x的取值范围是或；故答案为：或；，当时，当时，y的取值范围是；故答案为：；【小问2详解】解：如图，连接，作垂直于x轴，交于点Q，设直线表达式为：，把，代入，得：，解得：，直线表达式为，设点，则点，解得：，当时，当时，25. 如图，在中，以为直径作交于点E，交于点D，平分，且，连接（1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分面积【答案】（1）证明见解析 （2）图中阴影部分面积是【解析】【分析】（1）通过证明得到，即可证得是的切线；（2）先证明，得到，进而
26、求出，得到，通过即可得到答案【小问1详解】证明：连结，是的直径，平分，在和中，即，而点在上，是的切线；【小问2详解】解：如下图所示，连接， ，连结，交于，则，而， ，是中点，【点睛】本题考查圆的相关性质及全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是掌握圆的切线的判定定理26. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，格点A、B、C都在圆上（1）图中的度数是_；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法(友情提醒：作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，连接的点要加粗)在图1中，作出圆心O，并作出的中点M；在图2中，在上找一点E，使得；【答案】（1） （2）见
27、解析；见解析【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用及圆的性质的应用，（1）利用勾股定理的逆定理通过计算证明即可；（2）确定圆心和AB中点，连接圆心和中点并延长交于点M；延长AF交于点E，通过即可解决【小问1详解】解：由图知：，故答案为：90；【小问2详解】确定圆心和AB中点，连接圆心和中点并延长交于点M，则点M即为所求；延长AF交于点E： 则点E即为所求27. 如图,在中,点分别是上的点(点D不与点B重合),且满足 （1）图中有哪几对相似三角形?并选择其中一对加以证明；（2）当是等腰三角形时,求的长；（3）当最大时,求的长【答案】（1），见解析 （2）或 （3）3【解析】【分析】本题考查
28、了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、求二次函数的最大值等，解题的关键是找准相似三角形的对应角与对应边（1）根据外角的性质与等腰三角形的性质可推得当有两个角相等时则两三角形相似，据此即可判断有二对三角形相似（2）当是等腰三角形时，分三种情况分别讨论即可；（3），根据相似三角形的性质列出比例式，然后化简整理成y关于x的函数关系式，求二次函数的最大值即可【小问1详解】，又，或，又，【小问2详解】当时，过点A作，垂足为点H（如图） 则由与可得：当时，当时，不存在【小问3详解】设，又，当时，最大，此时28. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的
29、看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系（1）若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程；（2）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少?【答案】（1）行人会被洒水车淋到水，见解析 （2）【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移；（1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线，当时，求出其与轴的交点，将该距离与米进行比较，若大于米则会被淋湿，若小于米则不会被淋湿（2）根据上边缘抛物线，设下边缘抛物线为，利用点H求出抛物线解析式，根据绿化带的高度和宽度，求出距离d的最大值和最小值，即可解题【小问1详解】解：设上边缘抛物线为，由题意可得，当时，（舍去），行人会被洒水车淋到水【小问2详解】解：设下边缘抛物线为，（舍去），当时，（舍去），当时，（舍去），