1、2024年辽宁省初中学业水平考试数学试卷（样卷）第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 某校仪仗队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（ ）A. B. C. D. 2. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根6. 解分式方
2、程时，将方程两边都乘同一个整式得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）A. xB. C. D. 7. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. y随x增大而增大C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、三象限8. 我国古代数学名著孙子算经中有这样一道题：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P若，则
3、的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作孤，两弧相交于点C和点D，连接，则点C到边的距离是（ ） A. B. C. 4D. 3第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 计算：=_12. 如图，顶点，坐标分别为，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是_13. 甲袋中装有1个白球、1个黄球，乙袋中装有2个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是_14. 如图，矩形的顶点，分别在轴、轴
4、的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是_15. 如图，在中，以为边作正方形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段上运动，且始终满足，连接，当的面积为5时，的长是_ 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16. 计算：（1）；（2）17. 某中学开展跨学科综合实践活动，需要准备A，B两种吸管，学校计划前往某超市购买通过调查，将获取的相关数据整理如下表：购买数量（单位：包）总费用（单位：元）A种吸管B种吸管12151712428332（1）A种吸管、B种
5、吸管每包各是多少元？（2）该中学决定购买A，B两种吸管共100包，且总费用不超过600元，那么该中学最多可以购买A种吸管多少包？18. 全球工业互联网大会永久会址落户沈阳为了让学生了解工业互联网相关知识，某校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：A数字孪生；B人工智能；C应用；D工业机器人；E区块链为了解学生研学意向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷请在下列选项中选择您研学意向，并在其后“”内打“”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作
6、A数字孪生 B人工智能口 C应用 D工业机器人 E区块链“工业互联网”主题日学生研学意向调查结果统计图请根据统计图提供的信总，解答下列问题：（1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图；（2）求扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数；（3）学校有名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分钟由下面的活动日程表可知，和两场报告时间与场地已经确定在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排，三场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由“工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间1号多功能厅（200座）2号多功能厅（100座）设备检修
7、 暂停使用19. 辽宁省今年南果梨喜获丰收国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示 （1）当时，求销售金额（元）与销售量（千克）关系式;（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算20. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角 （1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡
8、宽度的长（结果精确到）（参考数据：）21. 如图，在中，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接，（1）求证：；（2）若，求的长22. 【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数杯子的总数然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的
9、分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式【解决问题】（1）直接写出与的关系式；（2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）杯子的侧面展开图如图4所示，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）23. 【问题初探】（1）在数学活
10、动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，垂足为B，且求证： 如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系 如图3，小亮同学从这个条件出发给出另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答如图4，在中，过点A作（点D与点C在同侧），若求证： 【学以致用】（3）如图5，在
11、四边形中，求四边形的面积 2024年辽宁省初中学业水平考试数学试卷（样卷）第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 某校仪仗队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正负数的意义解答即可【详解】解：高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作故选B【点睛】本题考查正负数的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键2. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意
12、所有的看到的棱都应表现在主视图中【详解】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示：故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，
13、也不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意故选：D4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可【详解】解：A.，原式错误；B.，计算正确；C.，原式错误；D.，原式错误；故选：B【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键5. 一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相
14、等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】由的取值可快速判断，根据可知方程有两个不相等的实数根【详解】由得，一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用的值进行快速判断方程根的个数6. 解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）A. xB. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定各分式的最简公分母，两边同时乘以最简公分母即可【详解】解：将两边同时乘以即可得到一个一元一次方程，故选：D【点睛】本题考查解分式方程的步骤化为整式方程，解题的关键是找到最简公分母7. 一次函数的图象如图所示，
15、下列结论正确的是（ ） A. B. y随x增大而增大C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】根据函数图象逐项判断即可【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限，即B，C，D错误，A正确；故选：A【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键8. 我国古代数学名著孙子算经中有这样一道题：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）A. B
16、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可【详解】解：设木长x尺，根据题意有：故选C【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键9. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可【详解】解：， ，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键10. 如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作孤，两弧相交于点C
17、和点D，连接，则点C到边的距离是（ ） A. B. C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】连接交于E，求出，可得的长，然后根据面积的不同求法列式求解即可【详解】解：连接交于E， 由作图可得垂直平分，设点C到边的距离为h，故选：A【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 计算：=_【答案】【解析】【详解】解：=；故答案为点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键12. 如图，顶点，的坐标分别为，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应
18、点的坐标是_【答案】【解析】【分析】根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点E的坐标【详解】解：由题可知平移后得到点；是先向右平移个单位长度，在向上平移个单位长度；点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；点；故答案为13. 甲袋中装有1个白球、1个黄球，乙袋中装有2个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是_【答案】【解析】【分析】根据列表法得出所有可能结果，根据概率公式求概率，即可求解【详解】解：列表如下，白球白球黄球白球都
19、是白球都是白球1黄1白黄球1黄1白1黄1白都是黄球共有6种等可能结果，符合题意的有2种，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是，故答案为：14. 如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是_【答案】【解析】【分析】过点作轴于点，可得，根据相似三角形的性质可得，根据已知条件得出 ，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解【详解】解：如图所示，过点作轴于点，四边形是矩形，矩形的面积为，函数过点，则又在第一象限，故答案为：15. 如图，在中，以为边作正方形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达
20、点F时停止，点Q在线段上运动，且始终满足，连接，当的面积为5时，的长是_ 【答案】或【解析】【分析】分两种情况：当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点，先证出，再证出，利用三角形的面积公式求解即可得；当点在线段上运动时，过点作于点，连接，先求出，是等腰直角三角形，再设，则，从而分别求出的长，然后根据建立方程，解方程即可得【详解】解：如图，当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点， 四边形是正方形，在中，是等腰直角三角形，在和中，的面积为5，解得或（不符合题意，舍去），又，；如图，当点在线段上运动时，过点作于点，连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形，设，则，又，整理为，即或，解方程得：或（
21、舍去），解方程得：（此时点在上，不符合题设，舍去）或（舍去），综上，的长是或，故答案为：或【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，正确分两种情况讨论，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16. 计算：（1）；（2）【答案】（1）20 （2）【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可【小问1详解】解：；【小问2详解】解：【点睛】本题考查有理数的混合运算，分式的混合运算熟练掌握各运算法则是解
22、题关键17. 某中学开展跨学科综合实践活动，需要准备A，B两种吸管，学校计划前往某超市购买通过调查，将获取的相关数据整理如下表：购买数量（单位：包）总费用（单位：元）A种吸管B种吸管12151712428332（1）A种吸管、B种吸管每包各是多少元？（2）该中学决定购买A，B两种吸管共100包，且总费用不超过600元，那么该中学最多可以购买A种吸管多少包？【答案】（1）A种吸管、B种吸管每包各是8元，5元； （2）该中学最多可以购买A种吸管33包【解析】【分析】（1）设每包A种吸管、B种吸管每包分别为x元，y元，列出方程组即可解答；（2）由题意列出不等式即可【小问1详解】解：设每包个A种吸管、
23、B种吸管每包分别为x元，y元，依题意可得： 解得：，答：A种吸管、B种吸管每包各是8元，5元；【小问2详解】解：设购买A种吸管a包，则B种吸管为包， 根据题意可得：，解得： ，为正整数，该中学最多可以购买A种吸管33包【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式即可18. 全球工业互联网大会永久会址落户沈阳为了让学生了解工业互联网相关知识，某校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：A数字孪生；B人工智能；C应用；D工业机器人；E区块链为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问
24、卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“”内打“”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作A数字孪生 B人工智能口 C应用 D工业机器人 E区块链“工业互联网”主题日学生研学意向调查结果统计图请根据统计图提供的信总，解答下列问题：（1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图；（2）求扇形统计图中领域“”对应扇形圆心角的度数；（3）学校有名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分钟由下面的活动日程表可知，和两场报告时间与场地已经确定在确保听取报告的
25、每名同学都有座位的情况下，请你合理安排，三场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由“工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间1号多功能厅（200座）2号多功能厅（100座）设备检修 暂停使用【答案】（1），统计图见解析 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）根据统计图，用领域的人数除以占比即可得出总人数，进而求得的人数，从而补全条形统计图；（2）根据领域“”的占比乘以即可求解；（3）根据样本估计总体，分别求得的人数，进而根据表格数据即可求解【小问1详解】解：总人数为（人）的人数为：（人）补全条形统计图如图所示，【小问2详解】解：扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角
26、的度数为【小问3详解】解：人数有：（人）的人数有：（人）的人数有：（人）,场次安排在2号多功能厅，安排在1号多功能厅补全此次活动日程表如图所示，“工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间号多功能厅（座）号多功能厅（座）设备检修 暂停使用【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合运用，样本估计总体，熟练掌握是解题的关键19. 辽宁省今年南果梨喜获丰收国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示 （1）当时，求销售金额（元）与销售量（千克）的关系式;（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售若购
27、买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算【答案】（1） （2）甲超市更划算【解析】【分析】（1）设销售金额（元）与销售量（千克）的关系式为，用待定系数法即可求解；（2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解【小问1详解】解：依题意，当时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为，将代入得，解得：【小问2详解】解：依题意，甲超市：（元）乙超市：（元）甲超市更划算20. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角 （1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；（2）如图3，某
28、一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）（参考数据：）【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面的距离约为 （2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为【解析】【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长【小问1详解】解：如图3，作于E，在中，即，答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；【小问2详解】解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则， 四边形，四边形是矩形，由（1）得，在中，即，由题意得：，在中，即，答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为【点睛】本题考查
29、了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键21. 如图，在中，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接，（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）由圆周角定理结合已知可得，设，则，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程求出x即可【小问1详解】证明：连接，是的直径，即，；【小问2详解】解：，是的直径，设，则，在中，解得：（负值已舍去），【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，正切的定义，勾
30、股定理的应用等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键22. 【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数杯子的总数然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了
31、验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式【解决问题】（1）直接写出与的关系式；（2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）杯子的侧面展开图如图4所示，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）【答案】（1）（2）第一层杯子的个数为个；（3）杯子叠放达到的最大高度为和此时杯子
32、的总数为个【解析】【分析】（1）根据题意，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式；（2）将代入（1）中的解析，即可求解；（3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解【详解】解：（1）依题意，；（2）当时，解得：（舍去），答：第一层杯子的个数为个；（3），解得：；第一层摆放杯子的总长度不超过，设第一层杯子的个数为个，则，解得：，取最大值为，即第一层摆放杯子个，杯子的层数也是，杯子的总数为（个），在图4中，在中
33、，最大高度为【点睛】本题考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键23. 【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，垂足为B，且求证： 如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系 如图3，小亮同学从这个条件出发给出另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系 请你选择一名同学解题思路，写出证明过程类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生
34、更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答如图4，在中，过点A作（点D与点C在同侧），若求证： 【学以致用】（3）如图5，在四边形中，求四边形的面积 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得，进而可证；选择小亮同学的解题思路，先证，推出，再根据等腰三角形“三线合一”证明，进而可证；（2）过点A作交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，推出，在上截取，同（1）可证；（3）延长交的延长线于点E，作于点H，作于点F，先通过导角证明，同（1）可得再利用勾股定理、锐角三角函数解直
35、角三角形，求出，的底和高，根据四边形的面积即可求解【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：如图， ，是线段的垂直平分线，又，；选择小亮同学的解题思路，证明如下：如图， 是线段的垂直平分线，又，；（2）证明如下：如图，过点A作交的延长线于点E，在上截取，连接， ，四边形平行四边形，又， 是线段的垂直平分线，又，；（3）如图，延长交的延长线于点E，作于点H，作于点F， ，又，同（1）可证，又，设，则，解得，（舍），四边形的面积【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前两问的结论