1、湖南省岳阳市汨罗市2023-2024学年九年级上期中数学试题一、单选题（每小题3分，共30分）1.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A.B.C.D.2.若关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）A.B.2C.4D.3.已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）A.B.C.3D.4.下列说法中不正确的是（ ）A.函数的图象经过原点B.函数的图象位于第一、三象限C.函数的图象不经过第二象限D.函数的值随x的值的增大而减少5.关于x的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断6.已知，则的值为（ ）A.
2、B.C.D.7.已知线段a、b、c，求作线段x，使，正确的作法是（ ）A.B.C.D.8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.如图，一块矩形ABCD绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）A.B.C.D.10.如图，在中，D为线段BC上一点，以AD为一边构造，下列说法正确的是（ ）；.A.仅有B.仅有C.仅有D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为_.12.若m是方程的
3、一个根，则的值为_.13.已知反比例函数，当时，y的最大值为_.14.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，如图，则井深BD长为_.15.“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，C，D是线段AB的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则CD的长为_米.（结果保留根号）16.如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作交CA的延长线于点E，若，则
4、DF的长为_.三、解答题（共72分：1719题每题6分，20.21题每题8分，22.23题每题9分，24.25题每题10分）17.解方程（1）（2）18.已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：（1）（2）19.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示.（1）求P关于S的函数关系式.（2）当时，物体所受的压强是多少Pa.20.如图，在和中，.（1）求证：；（2）若，求EC的长.21.中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步
5、，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？22.已知矩形ABCD的一条边，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.（1）求证：；（2）若与的相似比为，求边AB的长.23.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）在y轴上求一点P，使最小.24.操作与研究：如图，被平行于CD的光线照射，于D，AB在投影面上.图1图2（1）指出图中线段AC的投影是_，线段BC的投影是_.（2）问题情景：如图1，中，我们可以利用与相似证明，这
6、个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.（3）拓展运用如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作，垂足为F，连接OF；试利用射影定理证明；25.如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动.点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒.（备用图）（备用图）（1）用含t的代数式表示线段CP的长；（2）当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；（3）若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值；（4）直接
7、写出点B关于直线AP的对称点落在边上时t的值.参考答案：1.A2.A3.B4.D【详解】点在反比例函数的图象上，解得，反比例函数解析式为，点，都在反比例函数的图象上，故选：D.5.C【分析】根据根的判别式即可求出答案.【详解】解：，故原方程无实数根，故选：C.6.C【详解】解：，设，故选：C.7.B【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误；B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确；C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误；D、由平行线分线段成比例可得，放D选项错误；故选：B.8.B【详解】解：裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，解得：或（不合题意，舍去），故选
8、：B.9.B【详解】解：由图象可知：当时，反比例函数大于一次函数的函数值，当时，反比例函数等于一次函数的函数值，当时，一次函数大于反比例函数的函数值，当时，反比例函数等于一次函数的函数值，当时，反比例函数大于一次函数的函数值，即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：，故选：B.10.D【详解】解：，.故正确；，.故正确；，.故正确；如图，过点D作，垂足分别为M，N，在中，同理，在中，；在中，.，四边形AMDN是矩形，在中，.故正确.故选D.二、填空题11.12.【详解】解：把代入，得，.故答案为：.13.【详解】解：当时，反比例函数的图象随x的增大而减小，则y在时取得最大值，故答案为
9、：.14.57.5尺【详解】解：依题意可得：，即，解得：，尺.15.【详解】解：设，C，D是线段AB的黄金分割点，解得：，（不符合题意舍去），（不符合题意舍去），故答案为：；16.【分析】过点E作，交DA延长线于H，先证出，根据相以三角形的性质可得，再根据可得，利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得.【详解】解：如图，过点E作，交DA延长线于H，在正方形ABCD中，设，则，AC是正方形ABCD对角线，由，得，在正方形ABCD中，故答案为：.17.（1），（2），【详解】解：（1），；（2），.18.（1）7（2）319.（1）（2）40
10、0【详解】（1）解：设，由图象可知：点在函数图象上，故答案为：.（2）当，；故答案为：400；20.（1）略，（2）1821.宽24步，长36步。【详解】解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步.依题意得.解得：或（舍去）所以矩形的宽为24步.则长为（步）答：宽24步，长36步。22.【详解】四边形ABCD是矩形，.由折叠可得：，.，.与的面积比为，.，.设，则，在中，解得：.边AB的长为10.23.（1）解将代入得.将代入得：，.（2）1.5（3）作点A关于y轴的对称点N，则.连接BN交y轴于点P，点P即为所求.设直线BN的关系式为，由，得，.点P的坐标为.24.【解答】（1）解：根据题意，图中
11、线段AC的投影是AD，线段BC的投影是BD.故答案为：AD，BD；（2）证明：如图，而，；（3）证明：如图，四边形ABCD为正方形，即，而，；图1图225.【分析】（1）由题意得，则当时，；当时，；（2）分两种情况讨论，一是当时，则，所以，求得；二是当时，则，可证明，则，求得；（3）由点M为DQ的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，则；四是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可；（4）当点落在CD上时，由勾股定理求得，则，于是得，求得.【解答】解：（1）由题意得，四边形ABCD是矩形，当点P与点C重合时，则，解得，当点Q与点D重合时，则，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，当时，当时，.（2）当时，如图1，则，图1，解得；当时，如图2，则，图2，解得，综上所述，t的值为或.（3）点M为DQ的中点，当，且时，如图3，图3则，解得；当，且时，如图4，图4则，解得；当，且时，如图5，图5则，解得；当，且时，如图6，图6则，解得，不符合题意，舍去，综上所述，t的值为或或.（4）当点落在CD上时，如图7，图7，解得，点B关于直线AP的对称点落在边上时t的值为.