1、2023-2024学年河南省周口市淮阳区九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）下列根式中属最简二次根式的是（）ABCD2（3分）一元二次方程的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C有一个实数根D无实数根3（3分）如图，在ABC中，DEBC，若，则（）A3BCD4（3分）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若tan（）ABCD5（3分）下列判断正确的是（）A任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C“任意购买一张电影票，座位号是3的倍数”为随机事件D“概率为0.0001的
2、事件”是不可能事件6（3分）关于x的一元二次方程x2x+sin0有两个相等的实数根，则锐角的余角等于（）A15B30C45D607（3分）如图，在ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，AFB90，且AB8，则EF的长是（）A2B3C4D58（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ADE为55，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米（）Atan55Btan55Csin55Dcos559（3分）已知点A（2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（）A点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）B点
3、A绕原点按顺时针方向旋转90后到点B，则点B的坐标为B（2，3）C点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，2）D点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）10（3分）下列说法正确的是（）AA，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1：5000，则A，B两地实际距离为35mB若AB1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且ACCB，则C任意两个菱形都相似D有一个角相等的两个等腰三角形相似二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）写出一个比大且比小的整数为 12（3分）如图，斜坡AB的坡度是1：2，如果点B离地面的高度BC是3米 米13（3分）如
4、图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 14（3分）如图，在RtABC中，ACB90，EDAB于点D，若BC10，DE4，则图中阴影部分的面积为 15（3分）如图，在RtABC中，ACB90，BC2，点E、F分别是AB、BC上的动点，使点B落在AC上的点B处，当AEB是直角三角形时 三、解答题（本题8个小题，共75分）16（12分）计算或解方程（1）计算：；（2）计算：；（3）解方程：2x2x1517（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m20，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x
5、1x21，求m的值18（9分）如图，在ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且ADEACB（1）求证：ADEACB；（2）如果E是AC的中点，AD8，AB1019（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，手势相同部分输赢假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种（1）乙每次做出“布”手势的概率为 （2）用画树状图或列表的方法，求甲不输的概率20（9分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得DAC30，到达B处时，测得EB
6、C48，求广告牌ED的高度（结果保留小数点后一位）（参考数据：1.732，sin480.743，cos480.669，tan481.111）21（9分）若关于x的方程x2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”例如2+2x0的两个根是x10，x22则方程x2+2x0是“隔根方程”（1）方程x2x200是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+（m1）xm0是“隔根方程”，求m的值22（9分）如图，在RtABC中，ABC90，DEAC于点E，连接BE（1）若，求AB的长度；（2）若C30，求sinBEA23（10分）下面是华师版九年级
7、上册数学教材第103页的部分内容 例2如图，在RtABC中，ACB90求证：证明：延长CD至点E，使DECD，连结AE、BE请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程（1）如图，直角三角形ABC纸片中，ACB90，连结CD，将ACD沿CD折叠，此时恰好有CEAB若BC3，那么CE （2）如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，G是CE的中点，CDAE若AB10，则cosBCE 参考答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）下列根式中属最简二次根式的是（）ABCD【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则
8、不是【解答】解：A、是最简二次根式；B、，可化简；C、2；D、3；故选：A【点评】最简二次根式是本节的一个重要概念，也是中考的常考点最简二次根式应该是：根式里没分母（或小数），分母里没根式被开方数中不含开得尽方的因数或因式被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断2（3分）一元二次方程的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C有一个实数根D无实数根【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可【解答】解：由题意得，一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：B【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），若b24ac0，
9、则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两个相等的实数根，若b24ac0，则方程没有实数根3（3分）如图，在ABC中，DEBC，若，则（）A3BCD【分析】直接利用平分线分线段成比例定理求解【解答】解：DEBC，故选：C【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例4（3分）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若tan（）ABCD【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的的正切值可得答案【解答】解：A观察图形可得tan；B观察图形可得tan；C观察图形可得tan；D观察图形可得tan故选：A【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的
10、定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键5（3分）下列判断正确的是（）A任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C“任意购买一张电影票，座位号是3的倍数”为随机事件D“概率为0.0001的事件”是不可能事件【分析】根据概率的意义、随机事件的概念解答即可【解答】解：A投掷硬币是随机事件，但任意掷一枚质地均匀的硬币10次，说法错误；B明天的降水概率为40%，说法错误；C“任意购买一张电影票，说法正确；D“概率为5.0001的事件”是事件事件，故本选项不符合题意故选：C【点评】本题考查了概率的意义以及随机事件，概率是
11、频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现概率取值范围：0p16（3分）关于x的一元二次方程x2x+sin0有两个相等的实数根，则锐角的余角等于（）A15B30C45D60【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于sin的一元一次方程，解之即可得出sin的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角a的度数，继而得出答案【解答】解：关于x的一元二次方程x2x+sin5有两个相等的实数根，（）271sin0，即74sin0，解得：sin，锐角等于30，则锐角的余角等于60，故选：D【点评】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握“当0时，方程有两个相等的实数根”是
12、解题的关键7（3分）如图，在ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，AFB90，且AB8，则EF的长是（）A2B3C4D5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：点D，E分别是边AB，DE是ABC的中位线，BC14，DEBC8，AFB90，AB8，DFAB4，EFDEDF783，故选：B【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键8（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ADE为55，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米（）A
13、tan55Btan55Csin55Dcos55【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】解：在RtADE中，DE6，ADE55，sin55，cos55，故选：B【点评】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用9（3分）已知点A（2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（）A点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）B点A绕原点按顺时针方向旋转90后到点B，则点B的坐标为B（2，3）C点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，2）D点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）【分析】根据轴对称，中心对称，旋
14、转变换的性质一一判断即可【解答】解：A点A与点B关于x轴对称，3）；B点A绕原点按顺时针方向旋转90后到点B，2）；C点A与点B关于原点中心对称，8）；D点A先向上平移3个单位，则点B的坐标为B（2，故本选项符合题意，故选：D【点评】本题考查轴对称，中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握轴对称，中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型10（3分）下列说法正确的是（）AA，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1：5000，则A，B两地实际距离为35mB若AB1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且ACCB，则C任意两个菱形都相似D有一个角相等的两个等腰三角形相似【分析】根据比例的性
15、质和图形相似的判定求解【解答】解：A：50007100350（m），故A是错误的；B：点C是线段AB的黄金分割点，且ACCB2ABBC，ACAB；C：当两个菱形的角度不等时，不相似；D：若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，故D是错误的故选：B【点评】本题考查了图形的相似，理解图形相似的性质是解题的关键二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）写出一个比大且比小的整数为 2（或3）【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可【解答】解：164，比大且比故答案为：3（或3）【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出和的大小是解答此题的关键12（3分）如图，斜坡AB的坡度是
16、1：2，如果点B离地面的高度BC是3米3米【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度AC的长，再利用勾股定理得出斜坡AB的长度【解答】解：斜坡AB的坡度i1：2，从点B测得离地面的铅垂线高度BC是3米，解得：AC5，则斜坡AB的长为：（米）故答案为：8【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理掌握坡度的定义是解题的关键坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i1：m的形式13（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方
17、法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为【解答】解：P（灯泡发光）故本题答案为：【点评】本题考查的是概率的求法如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）14（3分）如图，在RtABC中，ACB90，EDAB于点D，若BC10，DE4，则图中阴影部分的面积为 【分析】根据相似三角形的判定与性质知ABCEBD，对应边成比例可得到BD的长度，根据三角形的面积公式得到大小三角形的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：ACB90，EDAB于点D，ACBEDB90，BB，ABCEBD，BC10，AC6，30，阴影部分的面积为：，故答案为：【点评】本题
18、考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键15（3分）如图，在RtABC中，ACB90，BC2，点E、F分别是AB、BC上的动点，使点B落在AC上的点B处，当AEB是直角三角形时或4（1）【分析】先在RtABC中利用勾股定理求出AC，再根据折叠的性质得到BEBE，直线EF将B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，ABE恰好为直角三角形，有两种可能：ABE90，AEB90，设BEx，运用三角形相似列比例式解方程即可得解【解答】解：在RtABC中，C90，AB4，AC2，直线EF将B折叠，使点B恰好落在BC上的B处，根据折叠的性质：BEBE，设BEx，则
19、BEx，当ABE90时，则BEBC，解得：x，AB；当AEB90时，则AEBACB，解得：x2（5），AB4（8），故所求AB的长度为：或4（故答案为：或4（【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键三、解答题（本题8个小题，共75分）16（12分）计算或解方程（1）计算：；（2）计算：；（3）解方程：2x2x15【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；（3）利用因式分解法解方程即可【解答】解：（1）；（2）原式1；（3）2x4x15，（2x+5）（x8）0，2x+20
20、或x38，解得x12.6，x23【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键17（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m20，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x21，求m的值【分析】（1）根据根的判别式得出（2m+1）241（m2）4m2+90，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2（2m+1），x1x2m2，代入x1+x2+3x1x21得出关于m的方程，解之可得答案【解答】（1）证明：（2m+1）641（m4）4m2
21、+3m+14m+64m2+50，无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x4+x2+3x3x21得（7m+1）+3（m7）1，解得m6【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q0的两根时，x1+x2p，x1x2q18（9分）如图，在ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且ADEACB（1）求证：ADEACB；（2）如果E是AC的中点，AD8，AB10【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证（2）由于点E是AC的中点，设AEx，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值【解答】解：（1）ADEA
22、CB，AA，ADEACB；（2）由（1）可知：ADEACB，点E是AC的中点，设AEx，AC2AE2x，AD6，AB10，解得：x6，AE2【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型19（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，手势相同部分输赢假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种（1）乙每次做出“布”手势的概率为 （2）用画树状图或列表的方法，求甲不输的概率【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画出树状图得出所有
23、等可能的情况数，找出甲不输的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）乙每次做出“布”手势的概率为；故答案为：；（2）画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中甲不输的有2种，则甲不输的概率是【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20（9分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得DAC30，到达B处时，测得EBC48，求广告牌ED的高度（结果保留小数点后一位）（参考数据：1.732，sin480.743，cos480.669，tan481.111）【分析
24、】在RtADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再利用已知求出BC的长，然后再在RtBCE中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，进行计算即可解答【解答】解：在RtADC中，DAC30，CDACtan303010，AB10米，BCACAB20（米），在RtBCE中，EBC48，ECBCtan48201.11122.22（米），DEECDC22.22106.9（米），广告牌ED的高度约为4.3米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键21（9分）若关于x的方程x2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”例如2+
25、2x0的两个根是x10，x22则方程x2+2x0是“隔根方程”（1）方程x2x200是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+（m1）xm0是“隔根方程”，求m的值【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x15，x24，然后根据“隔根方程”的定义计算判断；（2）利用因式分解法解方程得到x1m，x21，则根据“隔根方程”的定义得到m1+2或m+21，然后解关于m的方程即可【解答】解：（1）方程x2x200不是“隔根方程”；理由如下；（x3）（x+4）0，x40或x+47，解得x15，x44，5（8）92，方程x2x200不是“隔根方程”；（2）x2+（m4）xm0，（x+m）（x
26、1）3，x+m0或x13，解得x1m，x22，当m1+2时，解得m4；当m+21时，解得m2综上所述，m的值为3或1【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法22（9分）如图，在RtABC中，ABC90，DEAC于点E，连接BE（1）若，求AB的长度；（2）若C30，求sinBEA【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及勾股定理求解；（2）根据勾股定理及三角函数的意义求解【解答】解：过B作BFAC于F，过D作DHBF，BFCABC90，DHAC，DEBF，点D为BC的中点，E平分CF，H平分BF，DE
27、AC于点E，CDEDBH（AAS），四边形DEHF为矩形，BHDEFH2，BF4；（1），CE4，EFBF8，AF2，AB2；（2）C30，CD4，CE2，DHCEEF2，BE2，sinBEA【点评】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义、勾股定理及三角形的中位线的性质是解题的关键23（10分）下面是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容 例2如图，在RtABC中，ACB90求证：证明：延长CD至点E，使DECD，连结AE、BE请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程（1）如图，直角三角形ABC纸片中，ACB90，连结CD，将ACD沿CD折叠，此时恰好有CEAB若BC3，那么CE3
28、（2）如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，G是CE的中点，CDAE若AB10，则cosBCE【分析】（1）如图1中，延长CD到E，使DECD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；（2）如图2中，设CE交AB于点O证明ACDDCEBCE30，求出CO，证明COOE，可得结论；（3）连接DE，证明DEAECD5，利用等腰三角形的三线合一的性质证明DGCG，利用勾股定理求出CG，可得结论【解答】（1）证明：延长CD到E，使DECD，BE，则CDCE，CD是斜边AB上的中线，ADBD，四边形ACBE是平行四边形，ACB90，平行四边形ACBE是矩形，CEAB，CD
29、AB；（2）解：如图2中，设CE交AB于点OACB90，ADDB，CDADDB，AACD，由翻折的性质可知ACDDCE，CEAB，BCE+B90，A+B90，BCEA，BCEACDDCE30，COCBcos30，DADE，DADC，DCDE，DOCE，COOE，CE3故答案为：3；（3）解：如图3中，连接DEADB90，AEEB，DEAEEB，AECD，DEDC，EGCG，DGEC，AB10，DEAEEBCD5，在RtCDG中，CG，cosECB，故答案为：【点评】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题