1、2023-2024学年广东省广州市白云区九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。）1（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）ABCD2（3分）抛物线y（x2）2+1的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3（3分）若将抛物线yx2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）Ay（x+2）2+3By（x2）2+3Cy（x+2）23Dy（x2）234（3分）如图，将AOB绕着点O顺时针旋转，得到COD（点C落在AOB外），若AOB30，BOC10，则最小旋转角度是（）A20B30C40D505（3分）用配方
2、法解一元二次方程x24x60时，配方后的方程是（）A（x+2）22B（x2）22C（x+2）210D（x2）2106（3分）已知关于x的方程3x22x+m0的一个根是1，则m的值为（）A3B2C1D17（3分）已知yax+b的图象如图所示，则yax2+bx的图象有可能是（）ABCD8（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是yx2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A6mB12mC8mD10m9（3分）已知函数yax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+20的根的情况是（）A无实数根B有两个同号不等实数根C有两个异号实数根D有两
3、个相等实数根10（3分）如图，在正方形ABCD中，AB5，点M在CD的边上，且DM2，AEM与ADM关于AM所在的直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，连接EF，则线段EF的长为（）ABCD二、填空题（每题3分，共18分）11（3分）在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是 12（3分）已知二次函数yax2+k的图象如图所示，则a 0，k 0（填、）13（3分）抛物线y3x2+2x+1与x轴的交点个数是 个14（3分）某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为 15（3分）A（2，y1）、B（1，
4、y2）、C（2，y3）是抛物线y2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为 16（3分）如图，抛物线yax22ax+3（a0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 三、解答题17（4分）解方程：x24x3018（4分）如图，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）（1）画出ABC关于原点O对称的A1B1C1（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90后的A2B2C219（6分）如图，在等边ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按
5、顺时针方向旋转60后得到CE，连接AE求证：AEBC20（6分）如图，抛物线分别经过点A（2，0），B（3，0），C（1，6）（1）求抛物线的函数解析式；（2）求当y4时，自变量x的取值范围21（8分）已知关于x的方程x2+kx+k20（1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为x2，求k的值及方程另一个根22（10分）如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积23（10分）已
6、知函数yx2+（m+1）x+m（m为常数），问：（1）无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为 ；（2）求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数y（x+1）2图象上；（3）若抛物线yx2+（m+1）x+m与x轴有两个交点A、B，且1m4，求线段AB的最大值24（12分）在ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接AD、BD（1）如图1，当BAC100，60时，CBD的大小为 ；（2）如图2，当BAC100，20时，求CBD的大小；（3）已知BAC的大小为m（60m120），若CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小
7、25（12分）抛物线ymx2+（m3）x3（m0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OBOC（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1x2，PQn求的值；将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。）1（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形故选：B2
8、（3分）抛物线y（x2）2+1的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【解答】解：y（x2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x2，故选：D3（3分）若将抛物线yx2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）Ay（x+2）2+3By（x2）2+3Cy（x+2）23Dy（x2）23【解答】解：将抛物线yx2向右平移2个单位可得y（x2）2，再向上平移3个单位可得y（x2）2+3，故选：B4（3分）如图，将AOB绕着点O顺时针旋转，得到COD（点C落在AOB外），若AOB30，BOC10，则最小旋转角度是（）A20B30C4
9、0D50【解答】解：AOB30，BOC10，AOCAOB+COB30+1040，将AOB绕着点O顺时针旋转，得到COD，旋转角为AOC40故选：C5（3分）用配方法解一元二次方程x24x60时，配方后的方程是（）A（x+2）22B（x2）22C（x+2）210D（x2）210【解答】解：x24x60，x24x6，x24x+46+4，（x2）210，故选：D6（3分）已知关于x的方程3x22x+m0的一个根是1，则m的值为（）A3B2C1D1【解答】解：关于x的方程3x22x+m0的一个根是1，32+m0，解得m1，故选：D7（3分）已知yax+b的图象如图所示，则yax2+bx的图象有可能是（
10、）ABCD【解答】解：yax+b的图象过第一、三、四象限，a0，b0，对于yax2+bx的图象，a0，抛物线开口向上，x0，抛物线的对称轴在y轴的右侧，c0，抛物线过原点故选：D8（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是yx2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A6mB12mC8mD10m【解答】解：把y0代入yx2+x+得：x2+x+0，解之得：x110，x22又x0，解得x10故选：D9（3分）已知函数yax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+20的根的情况是（）A无实数根B有两个同号不等实数根C有两个异号实数根D有两个
11、相等实数根【解答】解：由图象可知a0，b0，c0，b24ac0，关于x的方程ax2+bx+c+20的根的判别式为：b24a（c+2）b24ac8a，a0，8a0，b24ac0，0，方程有两个不相等的实数根，又两根之和为0，两根之积为0，两根异号，故选：C10（3分）如图，在正方形ABCD中，AB5，点M在CD的边上，且DM2，AEM与ADM关于AM所在的直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，连接EF，则线段EF的长为（）ABCD【解答】解：如图，连接BMAEM与ADM关于AM所在的直线对称，AEAD，MADMAEADM按照顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，AFAM，FABM
12、ADFABMAEFAB+BAEBAE+MAEFAEMABFAEMAB（SAS）EFBM四边形ABCD是正方形，BCCDAB5DM2，CM3在RtBCM中，BM，EF，故选：A二、填空题（每题3分，共18分）11（3分）在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是 （2，1）【解答】解：在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）12（3分）已知二次函数yax2+k的图象如图所示，则a0，k0（填、）【解答】解：由图象可知，图象开口向下，交y轴的正半轴，a0，k0，故答案为：，13（3分）抛物线y3x2+2x+1与x轴的交点个数是 0个
13、【解答】解：224380，3x2+2x+10无实数解，抛物线y3x2+2x+1与x轴没有交点，故答案为：014（3分）某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为30%【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，7200（1x）23528x30%或x170%（舍去）平均每次降价的百分率为 30%故答案为：30%15（3分）A（2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为 y1y2y3【解答】解：抛物线y2（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x1，而C（2，y3）离直线x1的
14、距离最远，A（2，y1）点离直线x1最近，y1y2y3故答案为：y1y2y316（3分）如图，抛物线yax22ax+3（a0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 【解答】解：抛物线yax22ax+3（a0）与y轴交于点A，A（0，3），抛物线的对称轴为直线x1，顶点P坐标为（1，3a），点M坐标为（2，3）点M为线段AB的中点，点B坐标为（4，3），设直线OP解析式为ykx（k为常数，且k0），将点B（4，3）代入得4k3，解得，直线OP解析式为，将点P（1，3a）代入得，得，解得，点，故答案
15、为：三、解答题17（4分）解方程：x24x30【解答】解：移项得x24x3，配方得x24x+43+4，即（x2）2，开方得x2，x12+，x2218（4分）如图，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）（1）画出ABC关于原点O对称的A1B1C1（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90后的A2B2C2【解答】解：（1）作图如图1所示：ABC关于原点O对称得到A1B1C1，A（1，1），B（3，2），C（2，4），A1（1，1），B1（3，2），C1（2，4），依次连接A1，B1，C1，A1B1C1即为所求（2）作图如图2所示：连接OA，OB，OC，将O
16、A，OB，OC逆时针旋转90后得到OA2，OB2，OC2，依次连接A2，B2，C2，A2B2C2即为所求19（6分）如图，在等边ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60后得到CE，连接AE求证：AEBC【解答】解：ABC是等边三角形，ACBC，BACB60，线段CD绕点C顺时针旋转60得到CE，CDCE，DCE60，DCEACB，即BCD+DCADCA+ACE，BCDACE，在BCD与ACE中，BCDACE，EACB60，EACACB，AEBC20（6分）如图，抛物线分别经过点A（2，0），B（3，0），C（1，6）（1）求抛物线的函数解析式；（2）求当y4
17、时，自变量x的取值范围【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x+2）（x3），把C（1，6）代入得6a3（2），解得a1，所以抛物线的解析式为y（x+2）（x3），即yx2+x+6；（2）把y4代入yx2+x+6得，4x2+x+6，解得x2或x1，交点为（2，4），（1，4），抛物线yx2+x+6开口向下，当y4时，自变量x的取值范围为1x221（8分）已知关于x的方程x2+kx+k20（1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为x2，求k的值及方程另一个根【解答】（1）证明：k24（k2）k24k+8（k2）2+4（k2）20，（k2）2+40，即0，不论k
18、取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x2代入原方程得42k+k20，解得：k2，方程的另一个根为k（2）2（2）0答：k的值为2，方程的另一个根为022（10分）如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积【解答】解：（1）花圃的宽AB为x米，BC（244x）米，Sx（244x）4x2+24x（0x6）；（2）S4x2+24x4（x3）2+36，244x8，x4，0x6，4x6，a40，S随x的增大而减
19、小，当x4时，S最大值32，答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米23（10分）已知函数yx2+（m+1）x+m（m为常数），问：（1）无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为 （1，0）；（2）求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数y（x+1）2图象上；（3）若抛物线yx2+（m+1）x+m与x轴有两个交点A、B，且1m4，求线段AB的最大值【解答】（1）解：函数yx2+（m+1）x+mx2+mx+x+mx2+（x+1）m+x，当x+10时，无论m为何值，y0，即x1时，无论m为何值，y0，即无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点
20、坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（2）证明：函数yx2+（m+1）x+m（x+）2，该函数图象的顶点坐标为（，），（+1）2，无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数y（x+1）2图象上；（3）解：抛物线yx2+（m+1）x+m（x+m）（x+1），当y0时，x1m，x21，设线段AB的长度为z，则z|m（1）|m1|，1m4，zm1，z随m的增大而增大，当m4时，z取得最大值3，线段AB的最大值是324（12分）在ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接AD、BD（1）如图1，当BAC100，60时，CBD的大小为 300；（2）如图2，
21、当BAC100，20时，求CBD的大小；（3）已知BAC的大小为m（60m120），若CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小【解答】解：（1）30（2）如图作等边AFC，连接DF、BFAFFCAC，FACAFC60BAC100，ABAC，ABCBCA40ACD20，DCB20DCBFCB20ACCD，ACFC，DCFCBCBC，由，得DCBFCB（SAS），DBBF，DBCFBCBAC100，FAC60，BAF40ACD20，ACCD，CAD80DAF20BADFAD20ABAC，ACAF，ABAFADAD，由，得DABDAF（SAS）FDBDFDBDFBDBF60CBD30（3）
22、由（1）知道，若BAC100，60时，则CBD30；由（1）可知，设60时可得BADm60，ABCACB90，ABD90BAD120，CBDABDABC30由（2）可知，翻折BDC到BD1C，则此时CBD130，BCD60ACB30，ACBBCD1ACBBCD90（30）120m，以C为圆心CD为半径画圆弧交BD的延长线于点D2，连接CD2，CDD2CBD+BCD30+30，DCD21802CDD2180m60+DCD2240m综上所述，为60或120m或240m时CBD3025（12分）抛物线ymx2+（m3）x3（m0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OBOC（1
23、）求这条抛物线的解析式；（2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1x2，PQn求的值；将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是 4b2或b0【解答】解：（1）解法一：抛物线ymx2+（m3）x3（m0）与y轴交于点C，C（0，3），抛物线与x轴交于A、B两点，OBOC，B（3，0）或B（3，0），点A在点B的左侧，m0，抛物线经过点B（3，0），09m+3（m3）3，m1，抛物线的解析式为yx22x3解法二：令y0，mx2+（m3）x30（x+1）（mx3）0x1，x，m0，点A在点B的左侧，A（1，0），B（），令x0，可得y3，C（0，3），OC3，OBOC，m1，yx22x3（2）由抛物线yx22x3可知对称轴为x1，点P（x1，b）与点Q（x2，b）在这条抛物线上，且x1x2，PQn，x11，x21+，2x12n，2x22+n，原式（2n）2（2+n）n+6n+37结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：4b2或b0