1、2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（）ABCD2（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A3B5C7D93（3分）在ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（）ABCD4（3分）对于命题“如果1与2互补，那么1290”，能说明这个命题是假命题的反例是（）A180，2110B110，2169C160，2120D160，21405（3分）在ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（）AAPAQBAQARCAPARDAPAQ6（3分）根据下列已知条件，能画出唯一
2、的ABC的是（）AAB3，BC4，AC7BAB4，BC3，A30CA60，B45，AC4DAB，AB67（3分）如图，ABC中，D为AB中点，且BEAC若DE5，AE8，则BC的长度是（）AB8CD8（3分）如图，RtABC中，A90，AC4，现将ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（）ABC2D9（3分）如图，ABAD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0180），则ACB的度数为（）A90BC45D4510（3分）如图，BD是ABC的角平分线，BABC10，DEBC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：PC+PQAQ；AE+DEBC；PC+PQ的最小值是；若PA
3、平分BAC，则APD的面积为9其中正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11（4分）命题“如果ab，那么a2b2”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题12（4分）如图，ACD是ABC的一个外角，若ACD110，则A 13（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50，则它的顶角的度数是 14（4分）如图，C90，AD平分BAC交BC于D，BD4cm，则点D到AB的距离为 cm15（4分）如图，CD是ABC的角平分线，AECD于E，AC4，ABC的面积是9 16（4分）如图，已知等边ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP ，若点Q是AC边上一点，BQ
4、AP，则AQ 三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）17（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）18（6分）如图，ABC中，B30（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）（2）连结AD，求DAC的度数19（6分）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，ABDC（1）求证：ABEDCE；（2）当AE
5、B80，求EBC的度数20（8分）如图，CDBE，DGBC，垂足分别为G，F，且DGEF（1）求证：OBOC；（2）若B30，判断ADO的形状，并说明理由21（8分）如图所示，在ABC中，ABBC，DEAB于点E，DFBC，连接BF（1）若AFD155，求EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，判断ABC与CFD的数量关系，并说明理由22（10分）已知，DA，DB，且DADBDC（1）如图，若点D在线段AB上，连接AC，试判断ABC的形状，并说明理由（2）如图，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若ACBC，DC10，求CE和AC的长23（10分）如图，在锐角ABC中，点E是AB边上一点，
6、ADBC于点D，AD与EC交于点G（1）求证：AEG是等腰三角形（2）若BE10，CD3，G为CE中点24（12分）如图，在RtABC中，ABC90，BC3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度（1）当t2时，分别求CD和AD的长；（2）当t为何值时，CBD是直角三角形？（3）若CBD是等腰三角形，请直接写出t的值参考答案解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（）ABCD【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行
7、分析即可【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形故选：D【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置2（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A3B5C7D9【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值【解答】解：54x8+4，即1x6，故选：D【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和3（3分）在ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（）ABCD【分析
8、】根据高的定义对各个图形观察后解答即可【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，C选项符合高线的定义故选：C【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图4（3分）对于命题“如果1与2互补，那么1290”，能说明这个命题是假命题的反例是（）A180，2110B110，2169C160，2120D160，2140【分析】写出满足1+2180，而12的两个角即可【解答】解：对于命题“如果1与2互补，那么5290”，2120故选：
9、C【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可5（3分）在ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（）AAPAQBAQARCAPARDAPAQ【分析】根据垂线段最短即可判断【解答】解：AP是BC边上的高线，根据垂线段最短可知：PAAQ，故选：A【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的ABC的是（）AAB3，BC4，AC7BAB4，BC3，A30CA60，B
10、45，AC4DAB，AB6【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可【解答】解：A、3+45，不能画出三角形；B、AB4，A30，不能画出唯一的三角形；C、A60，AC4，能画出唯一的三角形；D、AB，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL7（3分）如图，ABC中，D为AB中点，且BEAC若DE5，AE8，则BC的长度是（）AB8CD【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出
11、AB长，根据勾股定理求出BE即可【解答】解：BEAC，BEA90，DE5，D为AB中点，AB2DE10，在RtABE中，AE7，由勾股定理得：BE6，在RtCBE中，EC，BE6，由勾股定理得：BC故选：C【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，掌握相关图形的性质是解题的关键8（3分）如图，RtABC中，A90，AC4，现将ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（）ABC2D【分析】根据勾股定理得到BC5，根据折叠的性质得到ABAB3，ABAD90，ADAD，由勾股定理即可求解【解答】解：A90，AB3，BC5，将ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，ABAB5，ABA
12、D90，AC535，CD2AD2+AC7，CD2（4CD）5+4，CD，故选：A【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键9（3分）如图，ABAD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0180），则ACB的度数为（）A90BC45D45【分析】连接BE，过A作AFCD于F，依据BACEAC，DAFEAF，即可得出CAFBAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到ACBACE90BAD【解答】解：如图，连接BE，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，AC垂直平分BE，ABAE，BACEAC，ABAD，ADAE，又AFCD，DAFEAF，CAFBA
13、D，又AFE90，RtACF中，ACE90，ACBACE90，故选：A【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOEF，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线10（3分）如图，BD是ABC的角平分线，BABC10，DEBC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：PC+PQAQ；AE+DEBC；PC+PQ的最小值是；若PA平分BAC，则APD的面积为9其中正确的是（）ABCD【分析】根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出APPC，根据三角形三边关系即
14、可得出结论；根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明EDBEBD，ADEBAD，得出EBED，EAED，即可得出结论；过点A作AMBC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQAM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；过点P作PNAB于点N，得出PNPD，求出，即可求出结果【解答】解：BABC10，BD是ABC的角平分线，BDAC，ADCD，BD垂直平分AC，APPC，PC+PQAP+PQ，AP+PQAQ，PC+PQAQ，故正确；DEBC，EDBDBC，ADEACB，BD是ABC的角平分线，EBDDBC，EDBEBD，EBED，ABBC，BACACB
15、，ADEACB，ADEBAD，EAED，AE+DEBC，故正确；根据解析可知，PC+PQAP+PQ，当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，过点A作AMBC于点M，如图所示：当点P在AM与BD交点上时，AP+PQAM，且最小值为AM，BD平分ABC，BDAC，即PC+PQ的最小值是，故错误；过点P作PNAB于点N，如图所示：PA平分BAC，PDAC，PNPD，故正确；综上分析可知，正确的有故选：B【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分
16、）11（4分）命题“如果ab，那么a2b2”的逆命题是 如果a2b2，那么ab，该逆命题是 假（填“真”或“假”）命题【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据实数的乘方法则判断即可【解答】解：命题“如果ab，那么a2b2”的逆命题是如果a2b2，那么ab，逆命题是假命题，故答案为：如果a2b3，那么ab；假【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理12（4分）如图，ACD是ABC的一个外角，若ACD110，则A65【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解【解答
17、】解：ACD110，B45，AACDB1104565故答案为：65【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键13（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50，则它的顶角的度数是 50或80【分析】可知有两种情况（顶角是50和底角是50时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数【解答】解：如图所示，ABC中有两种情况：顶角A50；当底角是50时，ABAC，BC50，A+B+C180，A180505080，这个等腰三角形的顶角为50或80故答案为：50或80【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌
18、握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键14（4分）如图，C90，AD平分BAC交BC于D，BD4cm，则点D到AB的距离为 3cm【分析】过D作DEAB于E，根据角平分线的性质得出CDDE，求出CD即可【解答】解：过D作DEAB于E，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，CDDE，BC7cm，BD4cm，CDBCBD2cm，DE3cm，即D到AB的距离为3cm，故答案为：7【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CDDE是解此题的关键15（4分）如图，CD是ABC的角平分线，AECD于E，AC4，ABC的面积是93【分析】延长AE交BC于F，根据
19、全等三角形的性质得到CFAC4，得到BF2，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：延长AE交BC于F，CD是ABC的角平分线，ACEFCE，AECD于E，AECCEF90，CECE，ACEFCE（ASA），CFAC4，BC6，BF2，ABC的面积是9，SACF96，AEC的面积SACF3，故答案为：5【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键16（4分）如图，已知等边ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP，若点Q是AC边上一点，BQAP，则AQ1或3【分析】连接AP，过A作ADBC于D，根据等边三角形的性质得到
20、BDCDBC42，BAD30，解直角三角形即可得到结论【解答】解：连接AP，过A作ADBC于D，ABC是等边三角形，BDCDBC，BAD30，ADAB2，PB2，PD1，PA；过B作BHAC于H，当Q在线段CH之间时，连接BQ，AHAC2，BHAD8，HQ1，AQAH+HQ3，当Q在线段CH之间时，同理可求HQ4AQAHHQ1，综上：AQ3或5，故答案为：，3或1【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）17（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点（1）在图1中
21、画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得【解答】解：（1）如图1所示，RtABC即为所求；（2）如图所示，RtDEF即为所求；（3）如图所示，OPQ即为所求【点评】此题主要考查了作图与应用作图本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决18（6分）如图，ABC中，B30（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于
22、点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）（2）连结AD，求DAC的度数【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）求出BAD，BAC，可得结论【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；（2）DE垂直平分线段AB，DADB，BDAB30，BAC180BC1803040110，DAC1103080【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型19（6分）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，ABDC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB80，求EBC的度数【分析】（1）利用“角角边”证明ABE和DCE全等即可；（2）根
23、据全等三角形对应边相等可得BECE，再根据邻补角的定义求出BEC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解【解答】（1）证明：在ABE和DCE中，ABEDCE（AAS）；（2）解：ABEDCE，BEEC，EBCECB，EBC+ECBAEB80，EBC40【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键20（8分）如图，CDBE，DGBC，垂足分别为G，F，且DGEF（1）求证：OBOC；（2）若B30，判断ADO的形状，并说明理由【分析】（1）由“HL”可证RtEFBRtDGC，可得BC，可证OBOC；（2）由余角的性
24、质可得DDAO60，可证ADO是等边三角形【解答】（1）证明：DGBC，EFBC，DGCEFB90，在RtEFB和RtDGC中，RtEFBRtDGC（HL），BC，OBOC；（2）ADO是等边三角形，理由如下：B30C，DGBC，D60BAG，DDAO60，ADO是等边三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键21（8分）如图所示，在ABC中，ABBC，DEAB于点E，DFBC，连接BF（1）若AFD155，求EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，判断ABC与CFD的数量关系，并说明理由【分析】（1）先求得CFD的度数，进而
25、求得C65，根据等腰三角形的性质得出CA65，理由三角形内角和定理求得ABC50，根据同角法余角相等即可求得EDFABC50；（2）根据ABBC，且点F是AC的中点，得到BFAC，ABFCBFABC，证得CFDCBF后即可证得CFDABC【解答】解：（1）AFD155，DFC25，DFBC，DEAB，FDCAED90，在RtFDC中，C902565，ABBC，CA65，ABC18026550，ABC+BDEEDF+BDE90，EDFABC50；（2）CFDABCABBC，且点F是AC的中点，BFAC，ABFCBF，CFD+BFD90，CBF+BFD90，CFDCBF，CFDABC【点评】此题考
26、查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用22（10分）已知，DA，DB，且DADBDC（1）如图，若点D在线段AB上，连接AC，试判断ABC的形状，并说明理由（2）如图，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若ACBC，DC10，求CE和AC的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AACD，BBCD，根据三角形的内角和得到ACB90，于是得到ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）ABC是直角三角形，理由：DADBDC，AACD，BBCD，A+ACD+B+BCD180，ACD
27、+BCD90，ACB90，ABC是直角三角形；（2）DADB，点D在线段AB的垂直平分线上，ACBC，点C在线段AB的垂直平分线上，CD垂直平分AB，AECAED90，AB16，DC10，AE8，ADCD10，DE6，CECDDE4，AC4【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键23（10分）如图，在锐角ABC中，点E是AB边上一点，ADBC于点D，AD与EC交于点G（1）求证：AEG是等腰三角形（2）若BE10，CD3，G为CE中点【分析】（1）根据垂直定义可得ADBADC90，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得B+BAD90，D
28、CG+DGC90，再利用等腰三角形的性质可得BDCG，然后利用等角的余角相等可得BADDGC，再根据对顶角相等可得AGEDGC，从而可得BADAGE，最后利用等角对等边即可解答；（2）过点E作EFAG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG2FG，再根据线段中点的定义可得EGGCEC5，然后利用AAS证明EFGCDG，从而利用全等三角形的性质可得FGDG，最后在RtCDG中，利用勾股定理求出DG的长，从而求出FG的长，即可解答【解答】（1）证明：ADBC，ADBADC90，B+BAD90，DCG+DGC90，EBEC，BDCG，BADDGC，AGEDGC，BADAGE，EAEG，AEG
29、是等腰三角形；（2）解：过点E作EFAG，垂足为F，EFG90，EAEG，EFAG，AG2FG，G为CE中点，EGGCEC，EBEC10，GCEC3，EFGCDG90，EGFCGD，EFGCDG（AAS），FGDG，在RtCDG中，CD3，DG4，FGDG4，AG2FG8，AG的长为2【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键24（12分）如图，在RtABC中，ABC90，BC3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度（1）当t2时，分别求CD和AD的长；（2）
30、当t为何值时，CBD是直角三角形？（3）若CBD是等腰三角形，请直接写出t的值【分析】（1）根据CD速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据ADACCD代入数据进行计算即可得解；（2）分CDB90时，利用ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间路程速度计算；CBD90时，点D和点A重合，然后根据时间路程速度计算即可得解；（3）分CDBD时，过点D作DEBC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CEBE，从而得到CDAD；CDBC时，CD3；BDBC时，过点B作BFAC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD2CF，再由（2）的结论解答【解答】解：（1）t2时，CD282，ABC90，AB4，AC5，ADACCD423；（2）CDB90时，SABCACBD，即6BD，解得BD，所以CD，t1；CBD90时，点D和点A重合，t515（秒），综上所述，t；（3）CDBD时，如图3，则CEBE，CDADAC，t22.5；CDBC时，CD3；BDBC时，如图2，则CF，CD2CF2，t1，综上所述，t秒时【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观