1、河南省顶尖名校联盟2023-2024学年高二上期中检测数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线过点和，则原点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 33. “”是“直线和直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知椭圆的离心率，左右焦点分别为为上一点，且的周长为12，则的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知双曲线为的上顶点，.若在的渐近线上存在一
2、点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点在正方形内，点在正方形内，且直线平面.若三棱柱的侧面积为12，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线过圆：的圆心，若点A在圆上，点在圆上，则（ ）A. B. 圆与圆相交C. 的最大值为11D. 两个圆的相交弦所在直线的方程为10. 若关于的方程表示的曲线为，则（
3、 ）A. 当时，表示双曲线B. 当时，表示两条直线C. 当时，表示圆D. 当时，表示关于坐标轴对称的椭圆11. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（在的上方），且，则（ ）A. 是等腰三角形B. 的面积为C. 的斜率为-1D. 的离心率为12. 如图所示，正方体的棱长为，则（ ）A. 的最小值为B. 存在一点，使得与平面所成角为C. 存在一点，使得与所成角为D. 当时，三棱锥的外接球的表面积为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线与直线垂直，则实数_.14. 在如图所示的几何体中，平面，四边形是边长为4的正方形，则直线与平面所成角的正弦值为_. 15. 圆的
4、反演点：已知圆的半径是，从圆心出发任作一条射线，在射线上任取两点，若，则互为关于圆的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点的反演点；若点在圆内，则连接，过点作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为的反演点.已知圆，点，则的反演点的坐标为_.16. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，若是椭圆外一点，则的最大值为_.四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 求符合下列条件的直线的方程：（1）与直线垂直，且在轴和轴上的截距之和为；（2）过点，且点到的距离最远.18. 已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点
5、的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程.19. 如图所示，在四棱锥中，底面，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20. 在（图1）中，为边上高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.（1）证明：平面；（2）在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.21. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为.（1）求的方程.（2）已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22. 已知双曲线的一条渐近线方程是，右焦点坐标为
6、.（1）求的方程；（2）若过点直线与交于，两点（，均在轴上方）；线段的中点为，点在线段上，且满足，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，证明：为定值.参考答案一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】ABD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】6【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1） （2）或【19题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）【20题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【21题答案】【答案】（1） （2）过定点【22题答案】【答案】（1） （2）证明见解析