1、天津市东丽区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 1、2、3B. 1、2、3C. 1、2、3D. 1、2、33. 已知点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标是（ ）A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后所得方程为（ ）A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程可能是（）A. B. C. D. 6. 把二次函数y=x2图象先向
2、右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是()A. y=(x1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=(x1)22D. y=(x+1)227. 某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（）A. 80（1+x）2=275B. 80+80（1+x）+80（1+x）2=275C. 80（1+x）3=275D. 80（1+x）+80（1+x）2=2758. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）A.
3、B. C. D. 9. 若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 10. 如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（ ）A. -6B. 6C. -5D. 511. 如图，中，把绕点旋转后得到，则点的坐标为（ ）A. B. 或C. 或D. 12. 用mina，b表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )A. B. C. D. 第卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 一元二次方程的解为_14. 已知点与点关于原点对称，则的值等于_15. 抛物线顶点坐标为_16. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是_17. 点，均在直
4、线上，点的横坐标是2，且，若将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是_18. 二次函数图象如图，下列结论：；当时，；其中正确的有_三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解方程（1），（2）20. 如图，在边长为1小正方形格中，的顶点均在格点上， （1）点关于轴的对称点坐标为_；（2）将向左平移3个单位长度得到，请画出；（3）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的；并写出，坐标21. 已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根22. 已知二次函数的图象
5、与z轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）判断的形状，并求其面积23. 合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是150件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？24. 【猜想】如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；【探
6、究】如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转（0360）试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；【应用】在图2中，BCDE4.当AE取最大值时，AF值为多少？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是对称轴上的一个动点，当ACM的周长最小时，求点M的坐标及ACM的周长天津市东丽区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A. B.
7、 C. D. 【答案】B【解析】【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选：B.2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 1、2、3B. 1、2、3C. 1、2、3D. 1、2、3【答案】D【解析】【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项【详解】解：一元二次方程可化为：，二次项系数为1、一次项系数为2、常数项为3故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a0），其中叫做二次项，a叫做
8、二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项3. 已知点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键【详解】解：关于原点的对称点的坐标是，故选D【点睛】本题主要考查了求一点关于原点对称的点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可【详解】解：利用配方法如下：故选D【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握
9、配方法的一般步骤是解题关键5. 若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程可能是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算出，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为【详解】解：，以，为根的一元二次方程可为故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，6. 把二次函数y=x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是()A. y=(x1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=(x1)22D. y=(x+1)22【答案】A【解析】【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标
10、，然后利用顶点式写出即可【详解】解：原抛物线y=x2的顶点坐标为(0，0)，先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点坐标为(1，2)，新抛物线的解析式为y=(x1)2+2，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便7. 某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（）A. 80（1+x）2=275B. 80+80（1+x）+80（1+x）2=275C. 80（1+x）3=275D. 80（1+x）+80（1+x）
11、2=275【答案】B【解析】【详解】某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，平均每月的增长率为x，二月份的工业产值为80（1+x）亿元，三月份的工业产值为80（1+x）（1+x）=80（1+x）2亿元，可列方程为：80+80（1+x）+80（1+x）2=275，故选B【点睛】求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b得到第一季度总产值的等量关系是解决本题的关键8. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为ACP是ABP
12、旋转以后的图形，所以ACPABP，BAPPPC，APAP；又有BAP+PAC90可得PPC+PAC90，故APP是等腰直角三角形，由勾股定理得PP的大小【详解】解：如图：根据旋转的旋转可知：PAP=BAC=90，AP=AP=3，根据勾股定理得：，故选A【点睛】本题考查了图形的旋转变化，旋转以后的图形与原图形全等，解答时要分清逆时针还是顺时针旋转9. 若，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，对称轴为直线
13、，离对称轴越远函数值越大，为二次函数的图象上的三点，故选C【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，推出离对称轴越远函数值越大是解题的关键10. 如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（ ）A. -6B. 6C. -5D. 5【答案】A【解析】【分析】先根据根与系数的关系求出x1x2和x1x2的值，再把它们的值代入所求代数式计算即可【详解】解：一元二次方程的两根为、，x1x22，x1x23，326故选：A【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式的变形相结合是一种经常使用的解题方法11. 如图，中，把绕点旋转后得到，则点的坐标为（ ）A B. 或C. 或D. 【答案】
14、B【解析】【分析】分当把绕点逆时针旋转后得到，当把绕点顺时针旋转后得到，两种情况讨论求解即可【详解】解：如图所示，当把绕点逆时针旋转后得到时，由旋转的性质可得，三点共线，； 如图所示，当把绕点顺时针旋转后得到时，过点作轴于C，由旋转的性质可得，；综上所述，或，故选B【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键12. 用mina，b表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题【详解】根据题意，minx2+1，1-x2表示x2+1与1-x
15、2中的最小数，不论x取何值，都有x2+11-x2，所以y=1-x2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=1；则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键第卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 一元二次方程的解为_【答案】【解析】【分析】直接利用因式分解法解方程即可【详解】解：，或，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键14. 已知点与点关于原点对称，则的值等于_【答案】【解析】【分析】根据关于
16、原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可【详解】解：点与点关于原点对称，故答案为：【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键15. 抛物线的顶点坐标为_【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质进行求解即可【详解】解：抛物线的顶点坐标为，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为16. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是_【答案】3【解析】【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程
17、的另一根【详解】方程的一个根为2，设另一个根为a，2a=6，解得：a=3故答案为：3【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0），当b24ac0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x217. 点，均在直线上，点的横坐标是2，且，若将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是_【答案】或【解析】【分析】设直线分别交x轴，y轴于F、E，先求出，则，设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，解直角三角形求出，即，求出直线解析式为，设点B对应点坐标为，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案【详解】解：设直线分别交x轴，y轴于F
18、、E，再中，当时，当时，当时，设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，设直线解析式为，直线解析式为，设点B对应点坐标为，由旋转的性质可得点B对应点到点A的距离为5，整理得，解得或，点B对应点的坐标为或，故答案为：或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，旋转的性质等等，正确求出旋转后直线所在的直线解析式是解题的关键18. 二次函数图象如图，下列结论：；当时，；其中正确的有_【答案】#【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c0，则abc0；由于抛物线的对称轴为直线 则b=-2a，得到2a+b=0；由抛物线的对称轴为x
19、=1，当x=1时的函数值是最大值为，可得x1时，由于x=-1时，y0，于是有a-b+c0【详解】抛物线开口向下，a0，b0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，2a+b=0，所以正确；抛物线的对称轴为x=1，当x=1时的函数值是最大值为，当x1时，(x1)，所以正确；x=1时，y0，ab+c0，所以错误.正确的有故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴
20、左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于决定抛物线与x轴交点个数三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解方程（1），（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据因式分解法进行求解即可【小问1详解】解：，或，解得；【小问2详解】解：，或，解得【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键20. 如图，在边长为1的小正方形格中，的顶点均在格点上， （1）点关于轴对称点坐标为_；（2）将向左平移3个单位长度得到，请画出；（3）以原点为对称中心，
21、画出与关于原点对称的；并写出，坐标【答案】（1） （2）画图减解析 （3）画图减解析，【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可；（2）根据平移方式先找到A、O、B对应点的位置，然后顺次连接即可；（3）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A，B对应点的位置，再顺次连接，进而写出，坐标【小问1详解】解：由题意得，点B的坐标为，点关于轴的对称点坐标为，故答案：；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；【小问3详解】解：如图所示，即为所求；， 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，坐标与图形变化轴对称，中心对称，灵活运用所学知识是解题的关键21. 已
22、知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根【答案】（1）k2；（2）x1=1，x2=3【解析】【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，0，由此可求k的取值范围；（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可【详解】解：（1）方程x2+4x+（2k）=0有两个不相等的实数根，424（2k）0，即4k+80，解得k2；（2）若k是负整数，k只能为1；如果k=1，原方程为x24x+3=0，解得：x1=1，x2=322. 已知二次函数的图象与z轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C
23、（1）求点A，B，C的坐标；（2）判断的形状，并求其面积【答案】（1） （2）为等腰直角三角形，【解析】【分析】（1）令，可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出点A、B的坐标，令，求出值，由此即可得出点C的坐标；（2）利用两点间的距离公式可得出AC、BC、AB的长度，结合且即可得出为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式求出的面积即可得出结论【小问1详解】解：令，则，解得：，、，令，则，C点的坐标为；【小问2详解】、，为等腰直角三角形，【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定以及三角形的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标是解题的关
24、键23. 合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是150件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？【答案】（1） （2）当销售单价为30元时，该文具每天的销售利润最大【解析】【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可；（2）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可【小问1详解】解：由题意得，；【小问2详解】解：由（1）得，当时，W最大，最大为1000，当销售单价为30元时，该文具
25、每天的销售利润最大【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键24. 【猜想】如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；【探究】如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转（0360）试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；【应用】在图2中，BCDE4.当AE取最大值时，AF的值为多少？ 【答案】【猜想】BGAE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】2.【解析】【猜想】：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出ADE
26、BDG就可以得出结论；【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出ADEBDG就可以得出结论；【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论【详解】解：【猜想】如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点，ADBC，BD=CD=AD，ADB=ADC=90四边形DEFG是正方形，DE=DG在BDG和ADE中，,ADEBDG（SAS），BG=AE故答案为：BG=AE；【探究】成立，BGAE.理由如下：如图2，连接AD. 在RtBAC中，D为斜边BC的中点，ADBD，ADBC.ADGGDB90.四边形EFGD为正方形
27、，DEDG，且GDE90.ADGADE90.BDGADE.在BDG和ADE中，BDGADE（SAS）BGAE.【应用】BGAE，当BG取得最大值时，AE取得最大值 如图3，当旋转角为270时，BGAE.BCDE4，BG246.AE6.在RtAEF中，由勾股定理，得AF2.【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是对称轴上的一
28、个动点，当ACM的周长最小时，求点M的坐标及ACM的周长【答案】（1），D（，）； （2）ABC是直角三角形，证明见解析； （3）M（，），3【解析】【分析】（1）直接将（1，0）代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出顶点坐标；（2）先求出点C、B的坐标，然后分别求出25，进而利用勾股定理的逆定理得出结论；（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线BC的解析式，可得点M的坐标，然后根据ACM的最小周长为ACAMMCACBC计算即可【小问1详解】解：点A（1，0）在抛物线上，b（1）20，解得：b，抛物线的解析式为，顶点D的坐标为：（，）；【小问2详解】当x0时y2，C（0，2），OC
29、2，当y0时，即，解得：1，4，B（4，0），OA1，OB4，AB5，25，ABC是直角三角形；【小问3详解】如图，连接AM，点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMA的值最小，最小值为BC的长，即此时ACM周长最小，设直线BC解析式为：ykxd，代入C（0，2），B（4，0）得：，解得：，故直线BC的解析式为：yx2，当x时，y，M（，），ACM最小周长是：ACAMMCACBC23【点睛】此题主要考查了待定系数法，二次根式的图象和性质，一次函数的图象和性质，利用轴对称求最短路线，勾股定理及其逆定理的应用等知识，根据轴对称的性质得出M点位置是解题关键