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四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试卷(含答案解析)

1、四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球,其中2个红球,2个绿球,甲摸一个后不放回,乙再摸一个,试验所有可能的结果数为( )A. 8B. 9C. 12D. 162. 某大型联考有16000名学生参加,已知所有学生成绩的第60百分位数是515分,则成绩在515分以上的人数至少有( )A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人3. 给出下列命题:若空间向量,满足,则与夹角为钝角;空间任意两个单位向量必相等;对于非零向量,若,则;若为空间的一个基底,则构

2、成空间的另一个基底其中说法正确的个数为( )A 0B. 1C. 2D. 34. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛,成绩频数分布表如下,根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.45. 若,则事件与的关系为( )A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断6. 把边长为的正方形对角线折起,使得平面与平面所成二面角的大小为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 7. 某校2023年秋季入学考试,某班数学平均分为125分,方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,同学实际

3、成绩137分,被错录为118分;同学实际成绩115分,被错录为103分;同学实际成绩98分,被错录为129分,更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为( )A. B. C. D. 不能确定8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,则中点到平面的距离为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求;全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9. 一组数据的平均数为,方差为,新数据的平均值为,方差为下列结论正确的是( )A. B. C. D. 10. 下面结论正确的是( )A. 若事件

4、与相互独立,则与也相互独立B. 若事件与是互斥事件,则与也是互斥事件C. 若,与相互独立,则D. 若,则与互为对立事件11. 某单位健康体测,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,该单位全体工作人员平均体重和方差分别为( )A. B. C. D. 12. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,点是中点,点是棱的上动点(与端点不重合)下列说法正确的是( )A. 从、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B. 从、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C. 存在点,使直线与所成的角为D. 不存在点,使平面三、填空题:本题共4小题,每小题5分,

5、共20分.13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中靶心,4,5,6,7,8,9表示击中靶心;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数:8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 33126710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424据此估计,该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为_14. 某区从11000名小学

6、生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试,若初中生比高中生多抽取60人,则_15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束)第一局独孤队获胜概率为,独孤队发挥受情绪影响较大,若前一局获胜,下一局获胜概率增加,反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为_16. 已知空间向量,两两之间的夹角均为,且,若向量,分别满足与,则的最小值为_四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某稻谷试验田试种了,两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表,记,两个品种各1

7、0亩产量的平均数分别为和,方差分别为和(单位:)60635076718575636364(单位:)56626068787576626370(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;(2)求,;(3)依据以上计算结果进行分析,推广种植品种还是品种水稻更合适18. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,点为的中点,点在线段上且(1)用向量,表示向量;(2)求的长19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标,用综合指标核定该产品的等级若,则核定该产品为一等品现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号质量指标产品编号质量指标(1)利用上表提供样本数据估计该批产品的一等品率

8、;(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,设事件为“在抽取的2件产品中,每件产品的综合指标均满足”,求事件的概率20. 如图四边形是平行四边形,四边形是梯形,且,沿将四边形翻折后使得平面平面(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后,为了解竞赛成绩情况,从所有学生中随机抽取100名学生,得到他们的成绩,将数据整理后分成五组:,并绘制成如图所示的频率分布直方图(1)补全频率分布直方图,若只有的人能进决赛,入围分数应设为多少分(保留两位小数);(2)采用分层随机抽样方法从成绩为80100的学生中抽取容量为6的样本,再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查

9、,求至少有1名学生成绩不低于90的概率;(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动考试分为两轮,第一轮为笔试,需要考2门学科,每科笔试成绩从高到低依次有,五个等级若两科笔试成绩均为,则直接参加;若一科笔试成绩为,另一科笔试成绩不低于,则要参加第二轮面试,面试通过也将参加,否则均不能参加现有甲、乙、丙三人报名参加,三人互不影响甲在每科笔试中取得,的概率分别为,;乙在每科笔试中取得,的概率分别为,;丙在每科笔试中取得,的概率分别为,;甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为,求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率22. 如图,已知平行六面体的侧棱长为3,底面是边长为4的菱形,且,点,分别在和上(1

10、)若,求证:,四点共面;(2)求;(3)若,点为线段上(包括端点)动点,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球,其中2个红球,2个绿球,甲摸一个后不放回,乙再摸一个,试验所有可能的结果数为( )A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.【详解】设4个小球分别为,则试验结果为故选:C2. 某大型联考有16000名学生参加,已知所有学生成绩的第60百分位数是515分,则成绩在515分

11、以上的人数至少有( )A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数意义进行进行求解即可.【详解】成绩在515分及以下人数为,则成绩在515分以上人数为故选:D3. 给出下列命题:若空间向量,满足,则与的夹角为钝角;空间任意两个单位向量必相等;对于非零向量,若,则;若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底其中说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算,对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于,当与的夹角为,满足,所以错误;对于,因为向量既有大小又

12、有方向,两向量相等要满足方向相同,长度相等,任意两个单位向量,只能确定长度相等,所以错误;对于,由,得到,所以或与垂直,所以错误;对于,因为为空间向量的一个基底,所以不共面,故也不共面,所以构成空间的另一个基底,所以正确.故选:B.4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛,成绩频数分布表如下,根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.4【答案】D【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为故选:D5. 若,则事件与的关系为( )A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断【

13、答案】A【解析】【分析】根据条件,利用和事件概率公式,求出,从而得到,即可判断出结果.【详解】因为,得,所以,故选:A.6. 把边长为的正方形对角线折起,使得平面与平面所成二面角的大小为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系,根据条件求出坐标,从而得到,再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取中点,连接,以,分别为,轴,垂直面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为是边长为的正方形,所以,则, 又易知,,,所以为二面角的平面角,由题知,所以,则所以,故,所以,异面直线与所成角的余弦值为故选:D.7. 某校2023年秋季

14、入学考试,某班数学平均分为125分,方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,同学实际成绩137分,被错录为118分;同学实际成绩115分,被错录为103分;同学实际成绩98分,被错录为129分,更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为( )A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】分析前后的平均分,再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为,因为,所以更正前后平均分不变,且,所以故选:C8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,则中点到平面的距离为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构建空间直角坐标系,应用向量法求点面距离即

15、可.【详解】以为原点,以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,所以,设为平面的法向量,则,所以,令,所以,点到平面的距离为故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求;全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9. 一组数据的平均数为,方差为,新数据的平均值为,方差为下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据的平均数为,方差为,则新数据的平均值为,方差为.故选:CD10. 下面结论正确的是( )A. 若事件与相互独立,则与也相互独立B.

16、若事件与是互斥事件,则与也是互斥事件C 若,与相互独立,则D. 若,则与互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B;由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C,D.【详解】对于A:若事件与相互独立,因为,所以又,所以,所以事件与相互独立,所以,所以与相互独立事件,故A正确;对于B:若事件与是互斥事件,如掷一枚骰子出现、点记为事件,出现、点记为事件,则为出现、点,满足事件与是互斥事件,显然与不互斥事件,故B错误;对于C,若,与相互独立,则,故C正确;对于D:如从共个整数中随机抽取一个数,记抽到、为事件,则,记抽到、为事件,则,显然与不为对立事件,故D错误;故

17、选:AC11. 某单位健康体测,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,该单位全体工作人员平均体重和方差分别为( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意,设男性人数为(),女性人数为,该单位全体人员体重的平均数为:,所以该单位全体人员体重的方差为:故选:AD12. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,点是中点,点是棱的上动点(与端点不重合)下列说法正确的是( )A. 从、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B. 从、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C. 存在点,使直线与所

18、成的角为D. 不存在点,使平面【答案】ABC【解析】【分析】根据共面的性质,结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点,有20个样本点,除开A、和S、分别共线,其余18种均不共线,故概率为;任取4点,共有15个样本点;每条直线上任取2个点,则共有9个样本点,故概率为故A、B正确以A为空间原点建立空间直角坐标系,设,设,则有,则,解得,方程有解,故C正确设平面的法向量,则有,由,可得,故D错误故选:ABC【点睛】关键点睛:利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6现采用随机模拟

19、的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中靶心,4,5,6,7,8,9表示击中靶心;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数:8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 33126710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424据此估计,该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为_【答案】#【解析】【分析】根据对立事件的概率公式,结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击

20、中包含3321一个样本点,恰好1次击中包含6233,0293,0371,6011四个样本点,故至多击中一次包含五个样本点,对立事件至少2次击中则包含15个样本点,故概率为故答案为:14. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试,若初中生比高中生多抽取60人,则_【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质,列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为,高中生抽取的人数为,则初中生抽取的人数为,所以,解得,从而故答案为:25015. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束)第一

21、局独孤队获胜概率为,独孤队发挥受情绪影响较大,若前一局获胜,下一局获胜概率增加,反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为_【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设为独孤队第局取胜,由题意,独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件:,所以独孤队取胜的概率故答案为:16. 已知空间向量,两两之间的夹角均为,且,若向量,分别满足与,则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】由题意可得,令,可得且,利用数量积的性质得出,最后由模的三角不等式可得结论【详解】依题意,因为,所以,所以,所以,令,则,且,由,得,所以,所以,当且仅当,共线同向且,共线时等号成立.故答案

22、为:【点睛】关键点睛:解题关键是把已知条件由结合已知变形得出,引入向量,可得,从而得到的最小值,从而由向量模的三角不等式得出结论四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某稻谷试验田试种了,两个品种水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表,记,两个品种各10亩产量的平均数分别为和,方差分别为和(单位:)60635076718575636364(单位:)56626068787576626370(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;(2)求,;(3)依据以上计算结果进行分析,推广种植品种还是品种水稻更合适【答案】17. 极差:产品为

23、35,产品为22,中位数:产品为63.5,产品为65.5; 18. ;,; 19. 推广品种水稻更合适【解析】【分析】(1)根据中位数以及极差的计算公式即可求解,(2)根据平均数和方差的计算公式即可求解,(3)由平均数相同,方差越小越稳定即可求解.【小问1详解】由表中数据可知, 产品的产量从小到大排列为,故产品的极差为,中位数为产品的产量从小到大排列为,产品极差为,中位数位;【小问2详解】由题意:,;小问3详解】结合第(2)问可知,两个品种水稻的产量平均数一样,但是的方差较小,较稳定,所以推广品种水稻更合适18. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,点为的中点,点在线段上且(1)用向量,表示

24、向量;(2)求的长【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据空间向量线性运算法则计算可得;(2)首先用向量,表示向量,再根据数量积的运算律计算可得.【小问1详解】因为点为的中点,所以,所以;【小问2详解】因为点在线段上且,所以,所以,所以,因为在四棱锥中,底面为正方形,底面,底面所以,则,19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标,用综合指标核定该产品的等级若,则核定该产品为一等品现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号质量指标产品编号质量指标(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,设事件为“在抽取

25、的2件产品中,每件产品的综合指标均满足”,求事件的概率【答案】(1)0.6; (2).【解析】【分析】(1)根据题设得到产品编号与综合指标的表格,应用古典概型的概率求法求一等品率;(2)列举法求事件的概率即可.【小问1详解】由题设可得如下表格,产品编号2483653216又则核定该产品为一等品,故一等品共有6个,所以一等品率为;【小问2详解】由题意,一等品中随机抽取2件产品有,共15种,其中事件为,共10种所以20. 如图四边形是平行四边形,四边形是梯形,且,沿将四边形翻折后使得平面平面(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据三角形的边

26、角关系,可由余弦定理以及勾股定理证明线线垂直,进而根据面面垂直的性质即可求证,(2)建立空间直角坐标系,利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,由于,所以, 由余弦定理得, ,由于,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,平面,平面;【小问2详解】以为原点建立空间直角坐标系,设平面和平面的法向量分别为,取,取,设二面角的平面角为,即二面角的正弦值为21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后,为了解竞赛成绩情况,从所有学生中随机抽取100名学生,得到他们的成绩,将数据整理后分成五组:,并绘制成如图所示的频率分布直方图(1)补全频率分布直方图,若只有的人能进决赛,入围分数应设为多少分(保留两

27、位小数);(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为80100的学生中抽取容量为6的样本,再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查,求至少有1名学生成绩不低于90的概率;(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动考试分为两轮,第一轮为笔试,需要考2门学科,每科笔试成绩从高到低依次有,五个等级若两科笔试成绩均为,则直接参加;若一科笔试成绩为,另一科笔试成绩不低于,则要参加第二轮面试,面试通过也将参加,否则均不能参加现有甲、乙、丙三人报名参加,三人互不影响甲在每科笔试中取得,的概率分别为,;乙在每科笔试中取得,的概率分别为,;丙在每科笔试中取得,的概率分别为,;甲、乙、丙在面试中通过的概率分别

28、为,求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率【答案】21. 图形见解析,78.75 22. 23. 【解析】【分析】(1)首先求出的频率,再根据百分位数计算规则计算可得;(2)首先求出各组的人数,再根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得;(3)首先求出甲、乙、丙能参加冬令营的概率,再根据相互独立事件的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知的频率为,所以组的纵轴为,所以频率分布直方图如下所示:又,所以第分位数位于,且,所以入围分数应设为分;【小问2详解】依题意抽取人,抽取人,从人中随机选人一共有中选法,其中人都是的有中选法,设事件:“至少有1名学生成绩不低于”,则;【小问3详解】依题意

29、甲能参加冬令营的概率,乙能参加冬令营的概率,丙能参加冬令营的概率,所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率22. 如图,已知平行六面体的侧棱长为3,底面是边长为4的菱形,且,点,分别在和上(1)若,求证:,四点共面;(2)求;(3)若,点为线段上(包括端点)的动点,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围【答案】22. 证明见解析 23. 24. 【解析】【分析】(1)利用共面向量定理可证明;(2)由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等,可将所求三棱锥的体积转化为,又由题意可得点在平面的射影落在上,可求得点到平面的距离,进而得解;(3)建立空间直角坐标系,用向量法求线面角的正弦可得解.【小问1详解】,所以,四点共面.【小问2详解】平面,上的所有的点到平面的距离都相等,同理上所有的点到的距离也相等, ,点在平面的射影落在上,过点作,过点作,平面,又与是平面内两条相交直线,平面,,在直角三角形中,解得,又在直角三角形中,在直角三角形中,可得,;【小问3详解】设与的交点为,以点为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由(2)可知,由,可求得,设为平面的法向量,取,设,设直线与平面所成角的为,