1、四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）A. 8B. 9C. 12D. 162. 某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人3. 给出下列命题：若空间向量，满足，则与夹角为钝角；空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量，若，则；若为空间的一个基底，则构
2、成空间的另一个基底其中说法正确的个数为（ ）A 0B. 1C. 2D. 34. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.45. 若，则事件与的关系为（ ）A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断6. 把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 7. 某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际
3、成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不能确定8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，则中点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 下面结论正确的是（ ）A. 若事件
4、与相互独立，则与也相互独立B. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件C. 若，与相互独立，则D. 若，则与互为对立事件11. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）A. B. C. D. 12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）下列说法正确的是（ ）A. 从、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B. 从、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C. 存在点，使直线与所成的角为D. 不存在点，使平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
5、共20分.13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数：8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 33126710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为_14. 某区从11000名小学
6、生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则_15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为_16. 已知空间向量，两两之间的夹角均为，且，若向量，分别满足与，则的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各1
7、0亩产量的平均数分别为和，方差分别为和（单位：）60635076718575636364（单位：）56626068787576626370（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；（2）求，；（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点，点在线段上且（1）用向量，表示向量；（2）求的长19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标，用综合指标核定该产品的等级若，则核定该产品为一等品现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标（1）利用上表提供样本数据估计该批产品的一等品率
8、；（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率20. 如图四边形是平行四边形，四边形是梯形，且，沿将四边形翻折后使得平面平面（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样方法从成绩为80100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查
9、，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，五个等级若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响甲在每科笔试中取得，的概率分别为，；乙在每科笔试中取得，的概率分别为，；丙在每科笔试中取得，的概率分别为，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率22. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上（1
10、）若，求证：，四点共面；（2）求；（3）若，点为线段上（包括端点）动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.【详解】设4个小球分别为，则试验结果为故选：C2. 某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分
11、以上的人数至少有（ ）A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数意义进行进行求解即可.【详解】成绩在515分及以下人数为，则成绩在515分以上人数为故选：D3. 给出下列命题：若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量，若，则；若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底其中说法正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于，当与的夹角为，满足，所以错误；对于，因为向量既有大小又
12、有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以错误；对于，由，得到，所以或与垂直，所以错误；对于，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以正确.故选：B.4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.4【答案】D【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为故选：D5. 若，则事件与的关系为（ ）A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断【
13、答案】A【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断出结果.【详解】因为，得，所以，故选：A.6. 把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出坐标，从而得到，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取中点，连接，以，分别为，轴，垂直面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为是边长为的正方形，所以,则， 又易知，,，所以为二面角的平面角，由题知，所以，则所以，故，所以，异面直线与所成角的余弦值为故选：D.7. 某校2023年秋季
14、入学考试，某班数学平均分为125分，方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以故选：C8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，则中点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即
15、可.【详解】以为原点，以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设为平面的法向量，则，所以，令，所以，点到平面的距离为故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据的平均数为，方差为，则新数据的平均值为，方差为.故选：CD10. 下面结论正确的是（ ）A. 若事件与相互独立，则与也相互独立B.
16、若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件C 若，与相互独立，则D. 若，则与互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.【详解】对于A：若事件与相互独立，因为，所以又，所以，所以事件与相互独立，所以，所以与相互独立事件，故A正确；对于B：若事件与是互斥事件，如掷一枚骰子出现、点记为事件，出现、点记为事件，则为出现、点，满足事件与是互斥事件，显然与不互斥事件，故B错误；对于C，若，与相互独立，则，故C正确；对于D：如从共个整数中随机抽取一个数，记抽到、为事件，则，记抽到、为事件，则，显然与不为对立事件，故D错误；故
17、选：AC11. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，该单位全体人员体重的平均数为：，所以该单位全体人员体重的方差为：故选：AD12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）下列说法正确的是（ ）A. 从、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B. 从、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C. 存在点，使直线与所
18、成的角为D. 不存在点，使平面【答案】ABC【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A、和S、分别共线，其余18种均不共线，故概率为；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为故A、B正确以A为空间原点建立空间直角坐标系，设，设，则有，则，解得，方程有解，故C正确设平面的法向量，则有，由，可得，故D错误故选：ABC【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6现采用随机模拟
19、的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数：8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 33126710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为_【答案】#【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击
20、中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为故答案为：14. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则_【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为，所以，解得，从而故答案为：25015. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）第一
21、局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为_【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设为独孤队第局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，所以独孤队取胜的概率故答案为：16. 已知空间向量，两两之间的夹角均为，且，若向量，分别满足与，则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论【详解】依题意，因为，所以，所以，所以，令，则，且，由，得，所以，所以，当且仅当，共线同向且，共线时等号成立.故答案
22、为：【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某稻谷试验田试种了，两个品种水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和（单位：）60635076718575636364（单位：）56626068787576626370（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；（2）求，；（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适【答案】17. 极差：产品为
23、35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5； 18. ；，； 19. 推广品种水稻更合适【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.【小问1详解】由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；【小问2详解】由题意：，；小问3详解】结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点，点在线段上且（1）用向量，表示
24、向量；（2）求的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）首先用向量，表示向量，再根据数量积的运算律计算可得.【小问1详解】因为点为的中点，所以，所以；【小问2详解】因为点在线段上且，所以，所以，所以，因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面所以，则，19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标，用综合指标核定该产品的等级若，则核定该产品为一等品现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取
25、的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率【答案】（1）0.6； （2）.【解析】【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求一等品率；（2）列举法求事件的概率即可.【小问1详解】由题设可得如下表格，产品编号2483653216又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；【小问2详解】由题意，一等品中随机抽取2件产品有，共15种，其中事件为，共10种所以20. 如图四边形是平行四边形，四边形是梯形，且，沿将四边形翻折后使得平面平面（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据三角形的边
26、角关系，可由余弦定理以及勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的性质即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接，由于，所以， 由余弦定理得， ,由于，平面平面，平面平面，平面，平面，平面,，平面,平面；【小问2详解】以为原点建立空间直角坐标系，设平面和平面的法向量分别为，取，取，设二面角的平面角为，即二面角的正弦值为21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两
27、位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，五个等级若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响甲在每科笔试中取得，的概率分别为，；乙在每科笔试中取得，的概率分别为，；丙在每科笔试中取得，的概率分别为，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别
28、为，求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率【答案】21. 图形见解析，78.75 22. 23. 【解析】【分析】（1）首先求出的频率，再根据百分位数计算规则计算可得；（2）首先求出各组的人数，再根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得；（3）首先求出甲、乙、丙能参加冬令营的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知的频率为，所以组的纵轴为，所以频率分布直方图如下所示：又，所以第分位数位于，且，所以入围分数应设为分；【小问2详解】依题意抽取人，抽取人，从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；【小问3详解】依题意
29、甲能参加冬令营的概率，乙能参加冬令营的概率，丙能参加冬令营的概率，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率22. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上（1）若，求证：，四点共面；（2）求；（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围【答案】22. 证明见解析 23. 24. 【解析】【分析】（1）利用共面向量定理可证明；（2）由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等，可将所求三棱锥的体积转化为，又由题意可得点在平面的射影落在上，可求得点到平面的距离，进而得解；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解.【小问1详解】，所以,四点共面.【小问2详解】平面，上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等， ，点在平面的射影落在上，过点作，过点作，平面，又与是平面内两条相交直线，平面,，在直角三角形中，解得,又在直角三角形中，在直角三角形中，可得，；【小问3详解】设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，由，可求得，设为平面的法向量，取，设，设直线与平面所成角的为，