1、天津市河西区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 在下面4个环保图标中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A B. C. D. 3. 下列结论不正确的是（ ）A. 圆心也是圆的一部分B. 一个圆中最长的弦是直径C. 圆是轴对称图形D. 等弧所在的圆一定是等圆或同圆4. 二次函数图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是( )A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向左平
2、移6个单位长度，得到的新图象所表示的二次函数为( )A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，C是上一点若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 以原点为中心，把点顺时针旋转，得到的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 9. 抛物线与x轴的两个交点的坐标为（ ）A. 和B. 和C. 或D. 和10. 一个矩形的长比宽多2，面积是80，则矩形的两边长分别为（ ）A. 3和5B. 5和7C. 6和8D. 8和1011. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点，对应点分别为，连接当点，在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )A. B. C. D. 12. 九年级一班的同学计划在劳动实
3、践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 三种方案使得菜园面积一样大二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 方程的根是_14. 二次函数的顶点坐标为_15. 请写出一个无实数根的一元二次方程_16. 弦长为，圆心O到的距离为，那么的半径为_cm17. 如图，一个圆形纸片的圆心O与一个正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为_18. 如图
4、，在RtABC中，ACB90，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ当ADQ90时，AQ的长为_三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. （1）解方程：；（2）解方程： 20. 已知关于x的方程有两个相等的实数根（1）求k的值；（2）直接写出这两个实数根的两根之和与两根之积21. 如图，的半径为，弦的长 （1）求的度数；（2）求点到的距离22. 已知二次函数 (，是常数)的图象过点，点，交轴于点（1）求点的坐标和，的值；（2）抛物线的对称轴为 ；（3）当时，求的取值范围23. 如图，要围
5、一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 （1）长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由（2）当的长为多少时，围成的菜园面积最大？24. 在平面直角坐标系中，点，点将绕点B 顺时针旋转，得到，点A旋转后的对应点为，记旋转角为 （1）如图，当时，求点的坐标；（2）如图，当时，直接写出点的坐标 ；（3）设线段的中点为M，连接，求线段长的取值范围（直接写出结果即可）25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且（1）填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示；（2
6、）求线段的长用含的式子表示)；（3）点是否一定在抛物线上？说明理由天津市河西区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数求解即可【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为故选：B【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数2. 在下面4个环保图标中，
7、可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形据此逐项判断即可【详解】A不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D是中心对称图形，故本选项符合题意，故选：D【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称轴或对称中心是解答的关键3. 下列结论不正确的是（ ）A. 圆心也是圆的一部分B. 一个圆中最长的弦是直径C. 圆是轴对称图形D. 等弧所在的圆一定是
8、等圆或同圆【答案】A【解析】【分析】根据圆的相关概念进行逐一判断即可【详解】解：A、圆心不是圆的一部分，圆指圆周，故本选项符合题意；B、一个圆中最长的弦是直径，故本选项不符合题意；C、圆是轴对称图形，过圆心的直线都是对称轴，故本选项不符合题意；D、等弧所在圆一定是等圆或同圆，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查与圆相关知识，熟练掌握概念是关键4. 二次函数图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：由抛物线的
9、开口方向向下可推出；因为对称轴在y轴左侧，对称轴为，；抛物线经过原点，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于简单题，熟悉二次函数的图象是解题关键5. 用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可【详解】，故选D【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键6. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到的新图象所表示的二次函数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”，便可得到答案
10、【详解】解：的图像向上平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到即故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握其变化规律是关键7. 如图，是的直径，C是上一点若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键8. 以原点为中心，把点顺时针旋转，得到的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用旋转变换的性质作出图形，可得结论【详解】解：如图，点绕原点O顺时针旋转后得到的点的坐标为，故选：B【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是
11、学会利用图形解决问题9. 抛物线与x轴的两个交点的坐标为（ ）A. 和B. 和C. 或D. 和【答案】C【解析】【分析】把带入抛物线的表达式求解即可【详解】解：当时，或，抛物线与轴的交点坐标为或故选：C【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴的交点坐标的方法10. 一个矩形的长比宽多2，面积是80，则矩形的两边长分别为（ ）A. 3和5B. 5和7C. 6和8D. 8和10【答案】D【解析】【分析】设矩形的宽为x，则长应该是，根据面积公式列方程求解即可【详解】设矩形的宽为x，根据题意得，解得（不合题意舍去），矩形的长和宽分别是10和8故选D【点睛】本题考查
12、了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解11. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，连接当点，在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A、B选项错误；由旋转可知，故C选项正确；由旋转可知，而，得出，故D选项错误【详解】由旋转可知，点，在同一条直线上，故A、B选项错误，不符合题意；由旋转可知，故C选项正确，符合题意；由旋转可知，而，故D选项错误，不符合题意，故选：C【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及
13、平行线的判定利用数形结合的思想是解答本题的关键12. 九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 三种方案使得菜园面积一样大【答案】C【解析】【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可【详解】解：方案1：设米，则米，则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为米2；方案2：如图，过点B作于H，则，当时，的面积最大为平方米；方案3：半圆的半径米，此时菜园最大面积（米2）（米2）故选：C【点睛】
14、本题考查二次函数的应用，根据题意计算三个方案的最大面积是解本题的关键第卷（非选择题 共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 方程的根是_【答案】或【解析】【分析】直接根据平方根的性质，即可求解【详解】解：，或故答案为：或【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键14. 二次函数的顶点坐标为_【答案】(1，1)【解析】【详解】试题解析：y=x2+2x=（x+1）2-1，二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（-1，-1）15. 请写出一个无实数根的一元二次方程_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】写出一个一元二次方程，然后确定根的判别式的
15、值小于0即可【详解】解：无实数根的一元二次方程：，方程无实数根故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程与根的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根16. 弦的长为，圆心O到的距离为，那么的半径为_cm【答案】5【解析】【分析】过点作于点，连接，构造直角三角形，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可【详解】解：如图，过点作于点，连接，则 ，在中，即的半径是故答案为：5【点睛】此
16、题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、弦心距的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形中的勾股定理求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线或连接半径17. 如图，一个圆形纸片的圆心O与一个正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为_【答案】【解析】【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接，由三角形三边关系可得，是圆的半径，为定值，当点D在A时，
17、取得最小值，当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，由题意可得，AC=4，OB=4，点O为正方形的中心，为等腰直角三角形，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键18. 如图，在RtABC中，ACB90，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ当ADQ90时，AQ的长为_【答案】或#或【解析】【分析】连接，根据题意可
18、得，当ADQ90时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可【详解】如图，连接，在RtABC中，ACB90，根据题意可得，当ADQ90时，点在上，且，如图，在中，在中，故答案为：或【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. （1）解方程：；（2）解方程： 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用十字相乘法因式分解解一元二次方程即可【详解】解：（1），或，；（2），则或，【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟
19、练掌握因式分解法是解题的关键20. 已知关于x的方程有两个相等的实数根（1）求k的值；（2）直接写出这两个实数根的两根之和与两根之积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意知，计算求解即可；（2）由题意知，根据，计算求解即可【小问1详解】解：由题意知，解得，；【小问2详解】解：由题意知，【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程根与系数的关系解题的关键在于熟练掌握：，当时，方程有2个相等的实数根，且21. 如图，的半径为，弦的长 （1）求的度数；（2）求点到的距离【答案】（1） （2）点到的距离为【解析】【分析】（1）连接，根据等边三角形判定定理得到为等边三角形，根据等边三
20、角形的性质解答即可；（2）作于，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案【小问1详解】连接OB， ，【小问2详解】过点作于， ， ，在中，(mm)点到的距离为【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理是解题的关键22. 已知二次函数 (，是常数)的图象过点，点，交轴于点（1）求点的坐标和，的值；（2）抛物线的对称轴为 ；（3）当时，求的取值范围【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求得，再运用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可求解；（2）根据对称轴公式，即可求解；（3）抛物开口向下，当时，结合函数性质可得出【小问1详解】解：当时，；
21、 将点，点代入，得，解得；【小问2详解】解：，抛物线对称轴为直线故答案为：直线【小问3详解】，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，取最小值为； 当时取最大值为，当时，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键23. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 （1）的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由（2）当的长为多少时，围成的菜园面积最大？【答案】（1）能，理由见解析 （2）当的长为时，菜园面积最大【解析】【分析】（1）根据矩形的面积列方程，解方程求出x的值即可以解答；（2）设菜
22、园的面积为，列出函数关系式，然后配方找到最大值解题即可【小问1详解】设长为，则的长为依题意，得整理得解得 由的长不能超过，解得，所以的长有两个不同的值满足菜园面积为是正确的【小问2详解】设菜园的面积为则当时，S取最大值答：当的长为时，菜园面积最大【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程和关系式是解题的关键24. 在平面直角坐标系中，点，点将绕点B 顺时针旋转，得到，点A旋转后的对应点为，记旋转角为 （1）如图，当时，求点的坐标；（2）如图，当时，直接写出点的坐标 ；（3）设线段的中点为M，连接，求线段长的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）
23、点的坐标为 （2） （3）【解析】【分析】（1）如图中，过点分别作，垂足分别为C，D，解直角三角形求出即可求出答案；（2）如图中，连接，过点作于D，解直角三角形求出，即可；（3）点在以B为圆心，2为半径的上运动，连接与交于点，此时点C、M在同一直线上，此时线段最短；连接并延长与交于点，此时点C、M在同一直线上，此时线段最长，分别求出最值即可确定范围【小问1详解】解：过点分别作，垂足分别为C，D，可得矩形，得 点，点B， 是绕点B顺时针旋转得到的， 在等腰直角三角形中，由勾股定理知，得， ，点的坐标为；【小问2详解】如图中，连接，过点作于D， ，在中，；故答案为：；【小问3详解】解：点，点，将绕
24、点B 顺时针旋转，得到，点A旋转后的对应点为，线段的中点为M，点在以B为圆心，2为半径的上运动，连接与交于点，此时点C、M在同一直线上，此时线段最短，如下图： 在中，为线段的中点，；连接并延长与交于点，此时点C、M在同一直线上，此时线段最长，如下图： 在中，为线段的中点，；综上所述，线段长的取值范围是【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是牢固掌握旋转性质及直角三角形性质25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且（1）填空：点坐标
25、为 ；点的坐标为 用含的式子表示；（2）求线段的长用含的式子表示)；（3）点是否一定在抛物线上？说明理由【答案】（1）； （2） （3）点一定在抛物线上，理由见解析【解析】【分析】（1）由抛物线解析式可求得点坐标，再利用对称可求得点坐标，然后用表示出点坐标，；（2）过作于点，条件可知点在轴上方，设点纵坐标为，可表示出、的长在中，利用勾股定理可求得，则可求出的长，（3）根据（2）得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上【小问1详解】的顶点的坐标为，原点关于点的对称点的坐标为点坐标为，直线解析式为，解得：，故答案为；【小问2详解】解：点坐标为，直线解析式为，令，解得，点只能在轴上方，过作于点， 设，则， 在，由勾股定理可得， 即，解得， 【小问3详解】，点坐标为， 当时，代入抛物线解析式可得， 点一定在抛物线上【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于的长的方程是解题的关键