1、北京市延庆区2023-2024学年九年级上期中数学试卷一、选择题：（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如果，那么下列各式正确的是（）A. B. C. D. 2. 将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 5. 如图，相交于点，垂足分别为点，若，则的长为（） A. 1B. 2C. 4D. 86. 已知二次函数，其中，则
2、该函数的图象可能是（）A. B. C. D. 7. 如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（）A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（）A. 或B. 或C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分）9. 二次函数y（x+1）22的最大值是_10. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_11. 古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此如图，若，则的长为_ 12. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是_13. 如图，中，若的
3、面积为3，则的面积为_ 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是_ 15. 二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：04004给出下面五个结论：抛物线开口向下；抛物线的对称轴是直线；二次函数的最小值为；当时，随的增大而减小；上述结论中，所有正确的结论有_（填写序号）16. 如图，在中，点是边中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是_三、解答题（共68分；17-20题，每小题5分；21题6分；22
4、题5分；23-25题，每小题6分；26题5分；27-28题，每小题7分）17. 如图，在中，是斜边上的高 （1）求证：；（2）若，求的长18. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上 （1）求的值；（2）求该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象19. 已知：二次函数（1）写出该函数图象的顶点坐标；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而增大？20. 已知：二次函数的图象经过（1）求此二次函数的表达式；（2）用配方法将其化为的形式21. 已知二次函数的图象经过，（1）求此二次函数的表达式；（2）画出该函数图象；
5、（3）结合图象，写出当时，的取值范围22. 如图，点是平行四边形的边上一点，连接并延长与的延长线交于点写出一对相似三角形并证明 23. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过18米，其余的三边，用篱笆，且这三边的和为32米设边的长度为米，矩形的面积为平方米 （1）求与之间的函数表达式及自变量的取值范围；（2）如果矩形面积为96平方米，求边的长24. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点 （1）求证：；（2）若，且，求长25. 旅游盛夏季，在延庆世园公园妫汭湖畔，上演了名为世园之心音乐喷泉光影秀如图，是其中一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距
6、地面3米，喷出的水流的运动路线是抛物线如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离是1米，水流的落地点到水枪底部的距离是3米那么水流最高点与地面的距离是多少米？26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究（1）函数的自变量x的取值范围是_；（2）下表是y与x的几组对应值，请你求m的值；x0234y3m（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组数值所对应的点，请你画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_27. 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，且，求的长 小明发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理
7、和计算能够使问题得到解决（如图2） （1）请回答：的度数为_；的长为_；（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，与交于点，且，求的长 28. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为 （1）求的值；（2）若抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值；（3）点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围北京市延庆区2023-2024学年九年级上期中数学试卷一、选择题：（共16分，每小题2分）1. 如果，那么下列各式正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据比例的性质解答即可【详解】解：A、由可得，与已知条件不符，不符合题
8、意；B、由可得，与已知条件相符，符合题意；C、由可得，与已知条件不符，不符合题意；D、由可得，与已知条件不符，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键2. 将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，将原抛物线以各个选项描述的平移方式进行平移可以获得不同的解析式，与题目中给出的解析式一致的选项即为正确选项.【详解】A选项：将原抛物线向左平移1个单位，平移后的抛物
9、线应为y=2(x+1)2，故A选项错误；B选项：将原抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2(x-1)2，故B选项错误；C选项：将原抛物线向上平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2x2+1，故C选项正确；D选项：将原抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2x2-1，故D选项错误.故答案为：C.【点睛】本题考查了二次函数图象平移的相关知识. 二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；二次函数图象向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x和平移量组成一个代数式，再用该代数式替换原解析式中的自变量x. 要特别注意理解和记忆二次函
10、数图象左右平移时其解析式的相关变化.3. 函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件计算出x的取值【详解】解：根号下不能为负数，故选：A【点睛】本题考查函数自变量的取值，二次根式有意义的条件，能够熟练掌握二次根式有意义的条件时解决本题的关键4. 已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算自变量为对应的函数值，然后对各选项进行判断【详解】解：当时，当时，故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式解题的关键是将点的横坐标代入抛物线的解析式
11、5. 如图，相交于点，垂足分别为点，若，则的长为（） A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】由，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，再由，求得，于是得到问题的答案【详解】解：，；故选：B【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键6. 已知二次函数，其中，则该函数的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向上，排除D选项，即可得出B为正确答案【详解】解：对于二次函数，令，则，抛物线与y轴的交点
12、坐标为，抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，可以排除A选项和C选项；B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ，抛物线开口向上，可以排除D选项，故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键7. 如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解【详解】解：若，则，故选项A不合题意；若，则，故选项B不合题意；若，则，故选项C不合题意；若，不能证明，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，证明三角形相似是解题的关键8.
13、二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（）A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可【详解】由图可知，或时二次函数图象在一次函数图象下方，所以，满足的x的取值范围是或故选：A【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键二、填空题（共16分，每小题2分）9. 二次函数y（x+1）22的最大值是_【答案】-2【解析】【分析】根据二次函数性质和已知得出最大值即可【详解】解：y（x+1）22中10，函数的图象开口向下，函数有最大值，当x1时，函数的最大值是2，故答案：2【点睛】
14、本题考查了二次函数的基本性质最值问题，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式10. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可【详解】抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）二次函数的一般表达式中，a0，c=1，二次函数表达式可以为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.11. 古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段
15、上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此如图，若，则的长为_ 【答案】#【解析】【分析】根据已知线段的比例关系与已知条件，将代入转化一元二次方程求解即可【详解】，即解关于为未知数的一元二次方程得，舍去负值，得：故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键是将待求的线段转化为求解一元二次方程的问题12. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是_【答案】【解析】【分析】由题意得，即可求解【详解】解：抛物线与x轴只有一个交点，方程有两个相等的实数根，则，解得故答案为：【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x轴的交点就
16、是求一元二次方程的解13. 如图，中，若的面积为3，则的面积为_ 【答案】12【解析】【分析】根据的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得的面积【详解】解： ，即，故答案为：12【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是_ 【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解【详解】解：，且，即：，解得：（），（），树高是，故答案为：
17、【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键15. 二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：04004给出下面五个结论：抛物线的开口向下；抛物线的对称轴是直线；二次函数的最小值为；当时，随的增大而减小；上述结论中，所有正确的结论有_（填写序号）【答案】#【解析】【分析】先根据表格中的数据求得二次函数的解析式，然后根据a的符号可判断；由可判断；将对称轴代入二次函数的解析式可判断；由对称轴两侧的函数增减性可判断；由已求得的抛物线表达式可判断【详解】任取表格中的三组数据代入抛物线的解析式得：解得：抛物线的解析式为：，抛物线的开口向上，错误；抛物线的对称轴是，
18、正确；二次函数的最小值是，错误；因抛物线的对称轴是，且，故当时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，故错误；由抛物线的解析式可知，故正确故正确的结论有：故答案为：【点睛】本题考查了求抛物线的解析式、对称轴、最小值、分析二次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质16. 如图，在中，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是_【答案】【解析】【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，即可求解；【详解】，点是边的中点，又，；故答案为：；【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是运
19、用相似三角形的相似比等于高之比，面积比等于相似比的平方三、解答题（共68分；17-20题，每小题5分；21题6分；22题5分；23-25题，每小题6分；26题5分；27-28题，每小题7分）17. 如图，在中，是斜边上的高 （1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据有两个角对应相等的三角形相似即可证明（2）根据相似三角形的性质即可求得的长【小问1详解】证明：是斜边上的高，又【小问2详解】，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准判定相似三角形的条件18. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上 （1）求的值；（2）求该函数图象
20、的对称轴和顶点坐标；（3）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象【答案】（1） （2）该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）见解析【解析】【分析】（1）将点代入求出表达式，然后将点代入求得的表达式即可求出m的值；（2）根据的性质求解即可；（3）首先根据表达式列表，然后描点，然后画出图象即可【小问1详解】将代入，得解得，将代入得，解得；【小问2详解】该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；【小问3详解】列表如下：x012y82028画图如下： 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求抛物线与坐标轴的交点，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键19. 已知：二次函数（1）写出该
21、函数图象的顶点坐标；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而增大？【答案】（1） （2）该函数图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为和； （3）当时，随的增大而增大【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，即可求解；（2）令和，解方程求解即可；（3）根据二次函数的性质，即可求解【小问1详解】二次函数该函数图象的顶点坐标为；【小问2详解】二次函数当时，该函数图象与y轴的交点坐标为；当时，解得，该函数图象与x轴的交点坐标为和；【小问3详解】二次函数，二次项系数为开口向上，顶点坐标为，当时，随的增大而增大【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关
22、键是熟练掌握二次函数的图象与性质20. 已知：二次函数的图象经过（1）求此二次函数的表达式；（2）用配方法将其化为的形式【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）把点代入函数解析式即可求；（2）利用配方法化成顶点式即可【小问1详解】二次函数的图象经过将代入得，解得，；【小问2详解】配方得，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算21. 已知二次函数的图象经过，（1）求此二次函数的表达式；（2）画出该函数图象；（3）结合图象，写出当时，的取值范围【答案】（1） （2）见详解 （3）【解析】【分析】（1）把点、的坐标代入得到关于、的方程组，
23、然后解方程组即可；（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；（3）由于当，由于时，有最小值，从而可确定当时，的取值范围【小问1详解】解：把分别代入，得，解得，此二次函数的表达式为；【小问2详解】当时，则抛物线与轴的交点坐标为，当时，解得，则抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，如图，【小问3详解】当时，时，而时，有最小值，所以当时，的取值范围为【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数的性质及画函数图象22. 如图，点是平行四边
24、形的边上一点，连接并延长与的延长线交于点写出一对相似三角形并证明 【答案】，证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，然后利用相似三角形的判定证明即可【详解】四边形是平行四边形，；四边形是平行四边形，；四边形是平行四边形，【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点23. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过18米，其余的三边，用篱笆，且这三边的和为32米设边的长度为米，矩形的面积为平方米 （1）求与之间的函数表达式及自变量的取值范围；（2）如果矩形的面积为96平方米，求边的长【答案】（1） （2）12米【解析】【分析】（1）由
25、题意得，米，则，即可求解；（2）由题意得：，即可求解【小问1详解】解：由题意得，米，则，解得：，则；【小问2详解】由题意得：，解得：（舍去）或12（米），即长为12米【点睛】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型24. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点 （1）求证：；（2）若，且，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用同角的余角相等得到，即可证明出；（2）首先根据相似三角形的性质得到，即，求出，然后利用勾股定理列方程求解即可【小问1详解】四边形是矩形，沿直线将
26、翻折，使得点落在边上，；【小问2详解】，即解得四边形是矩形沿直线将翻折，使得点落在边上，即解得【点睛】本题主要考查矩形折叠问题，三角形相似的判定，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相等25. 旅游盛夏季，在延庆世园公园妫汭湖畔，上演了名为世园之心的音乐喷泉光影秀如图，是其中一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面3米，喷出的水流的运动路线是抛物线如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离是1米，水流的落地点到水枪底部的距离是3米那么水流最高点与地面的距离是多少米？【答案】水流最高点C与地面的距离是4米【解析】【分析】依据题意，以A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立
27、平面直角坐标系，进而求出顶点纵坐标即可得解【详解】解：以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点B的坐标是，点D的坐标是，水流轨迹抛物线的对称轴是，从而可设抛物线为，且顶点水流最高点C与地面的距离是4米【点睛】本题主要考查了二次函数的的性质，正确得出函数解析式是解题关键26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究（1）函数的自变量x的取值范围是_；（2）下表是y与x的几组对应值，请你求m的值；x0234y3m（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组数值所对应的点，请你画出该函数的图象；（4）结合
28、函数的图象，写出该函数的一条性质：_【答案】（1） （2） （3）作图见解析 （4）函数图象与y轴交于点（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由图象可知，可得，即可求解；（2）根据图表可知当时的函数值为m，把代入解析式求值即可；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）根据函数图象求解即可【小问1详解】解：，故答案：；【小问2详解】解：把代入得，；【小问3详解】解：函数的图象如图所示，【小问4详解】解：由图象可得，函数图象与y轴交于点【点睛】本题考查函数图象与性质，根据图表画出函数图象是解题的关键27. 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，且，求的长 小明发现，过点作，交的延
29、长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2） （1）请回答：的度数为_；的长为_；（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，与交于点，且，求的长 【答案】（1） （2）；计算过程见解析【解析】【分析】（1）根据两直线平行，则同旁内角互补，先求得，再求得；先由可求得的长，于是可求得的长，再由可得求解（2）作，仿照（1）可求得，于是求得的长，再由可求得，再证得，最后由勾股定理可求得的长【小问1详解】由得，即：故答案为：【小问2详解】过点A作，与的延长线相交于点F（如图） 则由知，又由得，则，由得，在中，在中，即的长为【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股
30、定理的应用、等角对等边、三角形内角和定理，解题的关键是作出正确的辅助线28. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为 （1）求的值；（2）若抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值；（3）点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围【答案】（1） （2）或 （3）或【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴的公式即可求解；（2）先求得点的坐标，再根据是等腰直角三角形得出点的坐标，代入求得即可；（3）分两种情况：抛物线的顶点在轴上和抛物线的顶点在轴下方两种情况求解可得【小问1详解】解：二次函数的对称轴是直线，解得：；【小问2详解】抛物线对称轴与轴交于点，则，当时，当是等腰直角三角形时，即，解得：或；【小问3详解】由（1）知，抛物线的表达式为：，当抛物线的顶点在轴上时，解得：；当抛物线的顶点在轴下方时，如图， 由图可知当时，；当时，即且，解得：，综上：或【点睛】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段有且只有一个公共点得出时，时，的结论