1、天津市红桥区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（）A B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A. ，3，B. 1，2C. ，2D. 1，4. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，配方所得的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 某学校连续三
2、年里组织学生参加义务植树活动，其中第一年植树400棵，三年总共植树1525棵设该学校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（ ）A. B. C. D. 8. 若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的两个实数根分别为，则代数式的值为（ ）A. B. 0C. 2D. 1010. 已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若点，则的面积S的大小为（ ）A. 3B. 6C. 15D. 3011. 如图，将绕点顺时针旋转得到
3、，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线有下列结论：；关于x的方程有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3第卷注意事项：1用黑色字迹的签字笔将答案在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）2本卷共13题，共84分二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 抛物线的顶点坐标是_14. 若关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，则k的值为_15. 二次函数的最大值为_16. 设，是方程的两个实数根，则的值为_17. 如图，要围一个矩形
4、菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m有下列结论：AB的长可以为9m；AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；菜园ABCD面积的最大值为其中，正确结论的序号是_18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，C是小正方形边的中点（）的面积等于_；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出绕点O逆时针旋转后的图形，并简要说明点的位置是如何找到的_（不要求证明）三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解一元二次方程20. 如图，在平面直角坐标系中，
5、已知顶点，（1）顶点C的坐标为_；（2）请在图中画出绕点O逆时针旋转180后的图形，并写出各顶点的坐标21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）若是该方程的一个根，求m的值；（2）当时求该方程的根；（3）当时，判断该方程的根的情况，并说明理由22. 已知二次函数的图象为抛物线C（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向
6、为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明24. 小明在一次数学活动中，进行了如下探究活动：如图，在矩形中，以点B为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为G、F、E （1）如图，当点G落在边上时，求长；（2）如图，当点G落在线段上时，与交于点H求证：；求的长（3）记点K为矩形对角线的交点，连接，记面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）25. 已知抛物线（a，b，c
7、为常数，）经过，两点，与x轴的正半轴交于点C（1）求a，b满足关系式及c的值；（2）若，设P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长取得最小值时，求点P的坐标；（3）若，设Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作于点D，当QD取得最大值时，求点Q的坐标天津市红桥区2023-2024学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：形如为常数且，即可解答【详解】A、，未知数最高次数是1次，是一元一次方程，该选项不符合题意；B、，是一元二次方程，该选项符合题
8、意；C、，有两个未知数，是二元一次方程，该选项不符合题意；D、，是分式方程，该选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键2. 解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答【详解】解：，或故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A. ，3，B. 1，2C.
9、，2D. 1，【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义化方程为的形式解答【详解】解：，移项得：，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式的结构是解题的关键4. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不中心对称图形，不符
10、合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义5. 用配方法解一元二次方程时，配方所得的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案【详解】解：故选：B【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键6. 某学校连续三年里组织学生参加义务植树活动，其中第一年植树400棵，三年总共植树1525棵设该学校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
11、解析】【分析】设该学校植树棵数的年平均增长率为x，第二年植树棵，第三年植树棵，由此列得方程【详解】解：设该学校植树棵数的年平均增长率为x，则，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解增长率问题的计算公式是解题的关键7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用根与系数的关系求出，得到方程，再利用因式分解法解方程即可【详解】解：关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，原方程为，故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键
12、8. 若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此可得答案【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，点，都在二次函数的图象上，故选A【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，正确得到离对称轴越远函数值越大是解题的关键9. 若一元二次方程的两个实数根分别为，则代数式的值为（ ）A. B. 0C. 2D. 10【答案】A【解析】【分析】直接根据根与系数的关系求出，再把变形为，然后整体代入计算即可【详解】解：，是一元二次方
13、程的两个实数根，故选A【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将原式合理变形并灵活运用根与系数的关系，10. 已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若点，则的面积S的大小为（ ）A. 3B. 6C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】将点代入中，求出抛物线解析式为，分别求出点A，B，C的坐标，再利用面积公式计算【详解】解：将点代入中，得，得，抛物线解析式为，当时，解得，当时，的底边，高为6，的面积，故选：C【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，求三角形的面积，正确掌握待定系数法求函数解析式及与函数图象坐标轴的交点坐标是
14、解题的关键11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，所以选项A、C不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB判断选项B不一定正确即可【详解】解：绕点顺时针旋转得到，AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，A=CDA=；EBC=BEC=，选项A、C不一定正确，A =EBC，选项D正确EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB不一定等于，选项B不一定正确；故选D【
15、点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰三角形的性质12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线有下列结论：；关于x的方程有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据题意抛物线经过点，可得，再由其对称轴是直线，可得，从而得到，然后根据，可得，故正确；，故正确；利用一元二次方程根与系数的关系可得，从而得到关于x的方程有两个不相等的实数根，故正确，即可【详解】解：抛物线经过点，其对称轴是直线，即，故正确；，故正确；对于，即，
16、关于x的方程有两个不相等的实数根，故正确；正确结论的个数有3个故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键第卷注意事项：1用黑色字迹的签字笔将答案在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）2本卷共13题，共84分二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 抛物线的顶点坐标是_【答案】（2，-3）【解析】【分析】根据二次函数的性质：y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）即可求解【详解】解：抛物线的顶点坐标是（2，-3）故答案为：（2，-3）【点睛】本题考查二次函数的性质，准确记忆y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）（a0）是解
17、题关键14. 若关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，则k的值为_【答案】3【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，解得，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程（为常数）根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根15. 二次函数的最大值为_【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质直接求解即可【详解】解：a=-10当时有最大值即：故答案为：1【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值16. 设，是方程的两个实数根，则的值为_【答案】#【解析】【分析】
18、根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可【详解】解：，是方程的两个实数根，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则17. 如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m有下列结论：AB的长可以为9m；AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；菜园ABCD面积的最大值为其中，正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程
19、求解即可【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得：，其中，的长可以为，故结论正确；当时，解得或；故结论正确；菜园面积的最大值为，故结论正确.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，C是小正方形边的中点（）的面积等于_；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出绕点O逆时针旋转后的图形，并简要说明点的位置是如何找到的_（不要求证明）【答案】 . 3 . 连接交于一点，该点即为点【解析】【分析】（）利用三角形面积公式求出结果即可；（）连接交于一点，
20、即可得出点【详解】解：（）的面积为；故答案为：3（）连接交于一点，该点即为点；连接，如图所示：根据方格特点可知，点为为中点，C是小正方形边的中点，点是点绕点O逆时针旋转的对应点故答案为：连接交于一点，该点即为点【点睛】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，旋转变换，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合熟练掌握旋转的特点三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解一元二次方程【答案】，【解析】【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可【详解】解得，【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程解题
21、的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，（1）顶点C的坐标为_；（2）请在图中画出绕点O逆时针旋转180后的图形，并写出各顶点的坐标【答案】（1） （2）见解析，【解析】【分析】（1）根据点A到点D的平移过程为向上平移1各单位长度，向右平移4个单位长度，点B向上平移1各单位长度，向右平移4个单位长度得到点C，写出坐标即可；（2）描出点A，B，C，D的对应点，连线作出，然后写出各点的坐标即可【小问1详解】解：由题可知点A到点D的平移过程为向上平移1各单
22、位长度，向右平移4个单位长度，点C也可以由点B向上平移1各单位长度，向右平移4个单位长度得到，点C的坐标为，故答案为：【小问2详解】如图所示，即为所作，各顶点的坐标为：【点睛】本题主要考查了作旋转图形，确定图形各顶点旋转后的对应点是解题的关键21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）若是该方程的一个根，求m的值；（2）当时求该方程的根；（3）当时，判断该方程的根的情况，并说明理由【答案】（1） （2） （3）该方程有两个不相等的实数根【解析】【分析】（1）代入可得出关于m的方程，解之即可得出m的值；（2）代入，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；（3）根据方程根的判别式
23、，即可得出关于m的一元一次不等式，得到，由此判断方程的根的情况【小问1详解】解：将代入原方程，得：，解得：，m的值为；小问2详解】当时，原方程为，解得：，该方程得实数根为；【小问3详解】，即，该方程有两个不相等的实数根【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，解一元二次方程，由一元二次方程根的情况求参数掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值，解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键22. 已知二次函数的图象为抛物线C（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当时，求该二次函数
24、的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式【答案】22. 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 23. 24. 【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据二次函数的性质可得出答案；根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式.【小问1详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ；【小问2详解】，当 时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，当 时 ；当 时, ；当时，二次函数的函数值的取值范围为【小问3详解】抛物线向右平移个单位长度，再向上平
25、移个单位长度得到抛物线即【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【解析】【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的
26、长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上当时，（2）由题意得，D点在图象上令，得解得：（不合题意，舍去）（3）当时，不会碰到水柱【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质24. 小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，以点B为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为G、F、E （1）如图，当点G落在边上时，求的长；（2）如图，当点G落在线段上时，与交于点H求证：；求的长（3）记点K为矩形对角线的交点，连接，记面积为S，求S的取值范围（直接写出结果
27、即可）【答案】（1）； （2）见解析； （3）【解析】【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得；（2）利用旋转的性质可得：，由可证；由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值；（3）由勾股定理可求的值，可得，当点G在线段上时，面积有最小值，当点G在线段延长线上时，面积有最大值，据此求解即可小问1详解】解：由旋转的性质知，四边形是矩形，；【小问2详解】证明：由旋转知：，又，；解：设，由知，又在矩形中，有，在中，由勾股定理得：，即；【小问3详解】解：四边形是矩形，如图，始终在以B为圆心，为半径的圆上，的底是定值为3，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或
28、最大值， 当点G在线段上时，此时最短，则面积有最小值；当点G在延长线上时，此时最长，则面积有最大值；分情况讨论：当点G在线段上时，面积有最小值，；当点G在线段延长线上时，面积有最大值【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与x轴的正半轴交于点C（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）若，设P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长取得最小值时，求点P的坐标；（3）若，设Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q
29、作于点D，当QD取得最大值时，求点Q的坐标【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）将已知点代入解析式即可求解；（2）确定二次函数解析式，化为顶点式，得对称轴，连接，则，于是当值最小时，的周长最小连接，当点P为与直线的交点时，最小可求直线的解析式，于是得P的坐标为；（3）确定二次函数解析式可证是等腰直角三角形，如图，过点Q作轴于点F，交于点E，则是等腰直角三角形待定系数法确定直线的解析式为，设，则，于是运用二次函数性质，得时，取最大值，进一步求得【小问1详解】解：抛物线经过，两点，得，【小问2详解】解：时，解得；抛物线解析式为，抛物线对称轴为由对称性，知连接，则，当值最小时，的周长最小连接，当点P为与直线的交点时，最小，即设直线的解析式为，则解得，直线的解析式为时，的周长最小时，点P的坐标为【小问3详解】解：当时，得，是等腰直角三角形如图，过点Q作轴于点F，交于点E，则，是等腰直角三角形设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为设，则，时，取最大值，此时取最大值当时，综上，点Q的坐标为时，有最大值，【点睛】本题考查二次函数性质，待定系数法确定函数解析式，轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，运用轴对称作线段的等量转移，及运用方程解决函数问题的思想是解题的关键