1、湖南省百所学校2021-2022学年高一下期中考试数学试卷一、选择题:共8小题, 每小题5分, 共40分. 1. 设集合 A=x-3x2,B=xx+1x-30, 则 AB=A. x-1x2 B. x-3x3 C. x-310 ” 是 “ m3 ” 的A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件4. 一个实心小铜球的半径为 2cm, 密度为 9g/cm3,3.14, 则该铜球的质量约 A.297g B.299g C.301g D. 303g5. 函数 y=x+1xcosx+1 的部分图象大致为6. 已知向量 a,b 的夹角为 5, 且 a=b, 则 b
2、与 a-b 的夹角为A. 5 B. 310 C. 25 D. 357. 设 a=log3log46,b=log6log43,c=log6log63, 则A. abc B. cba C. bca D. casin2C, 且 a=3,c=5, 则b 的一个值可以为 . 16. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图 1 所示, 该窗有两个正方形, 将这两个正方形 (它们有共同的对称中心与对称轴) 单独拿出来放置于同一平面, 如图 2 所示. 已知 AB=6 分米, FG=3 分米, 点 P 在正方形 ABCD 的四条边上运动, 当 AEAP 取得最大值时, AE 与 AP 夹角的余弦值为 . 四、解答题:
3、 本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)在 ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.(1) 若 b=4,A=4,C=12, 求 asinA;(2) 若 A=3,a=7,c=3, 求 ABC 的周长.18. (12 分)已知向量 a,b 满足 a=2,b=1, 且 a-ba-2b=9.(1) 求 a+3b;(2) 记向量 b 与向量 a+3b 的夹角为 , 求 cos.19. (12 分)在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是正方形, 且侧棱 AA1 垂直于底面 ABCD,AA1=AD=2A1D1=
4、4,O,E 分别是 AC 与 DD1 的中点.(1) 证明: OE/ 平面 A1BD1.(2) 求三棱锥 D-ACE 的侧面积.20. (12 分)如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点, AE 与 BD 交于点 G.(1)用 AB,AD 表示 BG.(2) 若 BAD=3, 四边形 ABCD 的面积为 63,BF=2FC, 试问 AEAF 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由。21. (12 分)在某片海域上,一艘海上护卫舰位于点 A 处, 一艘货轮在点 A 东偏北 15 方向的点 B 处行驶着, 通过雷达监测, 发现在点 A 北偏东 30 方向且距离点 A
5、24 海里处的点 C 处出现一艘海盗船, 此时海盗船与货轮相距 86 海里, 且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离;(2)护卫舰为确保货轮的安全, 护卫舰开始以 203 海里/小时的速度追击海盗船, 与此同时,海盗船开始以 20 海里/小时的速度沿着北偏西 30 方向逃窜, 求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.22. (12 分)如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, E 是 BC 的中点, OAD 是等边三角形, 底面 ABCD 为菱形,AD=2,DAB=60.(1)若 OB=6, 证明: 平面 ODE 平面 OAD.(2)若异面直线 OB 与 DE 所成的角为 30, 求四棱锥 O-ABCD 的体积.