1、浙江省宁波六校联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1已知向量，则的坐标为（ ）A B C D2已知x，若（i为虚数单位），则x的值为（ ）A B1 C D23已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ）A8 B C16 D4在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A， B，C， D，5已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）A2 B C D16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当角C取得最大值时，三角形是（ ）A锐角三角形 B直角三角形
2、 C钝角三角形 D等腰直角三角形7如图，在ABC中，已知，线段AM和BN交于点P，则NPM的余弦值为（ ）A B C D8已知，为平面内两个不共线的向量，满足，则与的夹角的最小值是（ ）A B C D二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9下列命题中为假命题的是（ ）A长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱D正四棱柱是平行六面体10已知复数，（i为虚数单位），若为实数，则（ ）A BC为纯虚数 D复数在复平
3、面内对应的点位于第四象限11已知ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ）AB若，则C若，则D若，则当取得最小值时，12已知点A，B，C，D是半径为2的球面上不共面的四个点，且，则四面体ABCD体积的值可能为（ ）A3 B4 C D6三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，若，则实数 14设复数满足（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第一象限，则 15古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著数学汇编里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的
4、最小值为 16已知ABC中，且的最小值为，则 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分10分）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程（）求实数a的值；（）若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90，得到向量求向量对应的复数（用代数形式表示）18（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，侧面的中心为O，点E是侧棱上的一个动点（）求直三棱柱的侧面积；（）求证：三棱锥的体积为定值19（本题满分12分）已知点，O为坐标原点，函数（）求函数的解析式和最小正周期；（）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC
5、的角平分线，若，求ACD面积20（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，且，（）（）若，求实数的值；（）求的取值范围21（本题满分12分）如图，某专用零件四边形ABCD由平面图是一个半圆形钢板切割而成，其中O为圆心，OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，设（）当时，求该零件的面积；（）若该零件周长为函数，且恒成立，求实数m的取值范围22（本题满分12分）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上（）若点A，B，C，D恰
6、为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；（）求该八面体表面积S的取值范围参考答案1【答案】B【解析】，故选：B2【答案】D【解析】，故选：D3【答案】B【解析】，由，故选：B4【答案】C【解析】由正弦定理可得，对于选项A，有，故ABC有唯一解对于选项B，又，故，故ABC无解对于选项C，有，又，故ABC有两个解对于选项D，由，得，故B为锐角，故ABC有唯一解故选：C5【答案】B【解析】令，x，则表示与点距离为1的点集，即，此时，表示圆上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，而圆心到原点距离为，且半径为1，所以圆上点到原点的距离的最大值为故选：B6【答案】C【解析】由正弦定理得
7、，即又当且仅当，即时，取到最小值，从而角C取到最大值当时，则所以，从而故选：C7【答案】A【解析】法一：坐标法：如图以B为原点建立平面直角坐标系，则，计算可得，可得，所以法二：基底法设，可得，可得故选：A8【答案】C【解析】设，并设，；，；由题意：，由余弦定理：，即，两边同时平方，整理得：，再一次两边平方得：，由于，；由于，所以；，；在ABM中，解得：，故选：C二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9【答案】ABC【解析】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体；对于选项B，根
8、据棱柱的定义，显然不成立；对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体故选：ABC10【答案】AD【解析】因为，所以，因为为实数，所以，解得，所以A正确，所以，所以B错误，为纯虚数，所以C错误，所以D正确，故选：AD11【答案】AC【解析】设AB的中点为D，则，则，即，由重心性质可知成立，故A正确；，则，即，所以E为边BC上靠近点B的三等分点，则ABE的面积是ABC面积的，故B错误；在ABC中，设D为BC的中点，则；，故C正确；当取得最小值时，则当时，取得最小值，此时，故D错误故选：AC12【答案】AB【解析】设O为A，B，C，D所在球面的球心，且E，F分别是AB，CD的中点，且，则E、F均是
9、以O为球心，1为半径的球面上的点，则，E是AB中点，d为点A到平面CDE距离，又，h为点E到CD距离，当且仅当E，O，F三点共线，且时，等号成立故选：AB非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13【答案】1【解析】，14【答案】【解析】，所以，得，15【答案】【解析】根据圆内接四边形的性质可知，所以，即，在BAD中，故，由题意可知：，则，所以，故，当且仅当时等号取得，又，所以，则，则实数的最小值为16【答案】4【解析】记，则，又，则B、D、E三点共线当与垂直时，有最小值，所以所以四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本
10、题满分10分）解：（）因为复数，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，因为点满足方程，所以，（）向量与复数z对应，由题意可知，如图，18（本题满分10分）解：（）在直三棱柱中，底面ABC和均是等腰直角三角形，侧面均是矩形，（）三棱锥的体积即为三棱锥的体积，点E是侧棱上的一个动点，的面积不变，又O的位置不变，三棱锥的高不变，三棱锥的体积不变19（本题满分10分）解：（），（），即，ABC为锐角三角形，如图，AD为BAC的角平分线，设，由余弦定理可知，20（本题满分10分）解：（）在平行四边形ABCD中，建立如图坐标系，则，E为CD中点，故，故，所以，；（）由（）可知，所以，当时，的最大值为，当时，最小值为21（本题满分10分）解：（）OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，（）由题意，在BOC中，由正弦定理同理在AOD中，由正弦定理，令时，即，的最大值为5，恒成立，或22（本题满分10分）解：（）由点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，（）如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为，且的中心为O，过点O作，垂足为G由对称性，不妨设，则，设AD的中点为H，如图2，则，所以因为，所以，则，故，所以，所以此八面体的表面积S的取值范围为