1、2023年广东省湛江市霞山区中考一模数学试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 的倒数是( )A. B. C. D. 2. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目个数分别为7，5，3，5，10，
2、则关于这组数据的说法正确的是（）A. 方差是3.6B. 众数是10C. 中位数是3D. 平均数是66. 下列说法中，正确的是（ ）对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；对角线相等的四边形是矩形；同弧或等弧所对的圆周角相等；弧分为优弧和劣弧A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（）A. B. C. D. 8. 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ）A. 8
3、2x2 = (x3)2B. 82(x+3)2= x2C 82(x3)2= x2D. x2(x3)2= 829. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点是边上的一点，且的面积为，则的周长的最小值是（ ） A. 10B. 12C. 14D. 16二填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11. 分解因式：_12. 函数自变量x的取值范围是_13. 如图，直线a，b被直线c所截，已知，则为_度14. 已知x2-x+m=0有两个不相等实数根，则m的取值范围是_15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交
4、轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为_三解答题（共8小题，满分75分）16. 计算：17. 先化简，再求值： ,其中a满足.18. 如图，在平行四边形中，是对角线（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；（2）在（1）条件下，求证：19. 神舟十五号航天员于2023年2月10日圆满完成出舱活动全部既定任务，这见证着我国迈向航天强国.为激发同学们航天热情，某校八年级举办了航天知识竞赛，随机调查了该年级20名学生成绩如下：80，80，100，90，70，80，100，90，80，70，80，90，80，80，90，
5、90，70，80，90，80根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：成绩100908070人数29根据以上信息解答以下问题：（1）表格中_，_；（2）这次调查中，知识竞赛成绩的中位数是_；（3）请计算这20名学生本次知识竞赛的平均成绩.20. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？21. 如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上
6、一点，（1）求证：为的切线；（2）若的半径为5，求的长22. 在学习圆这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点D是内一点，连接，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接，并延长交于点F当点D在如图所示的位置时：（1）观察填空：与全等的三角形是_；（2）利用（1）中的结论，求的度数（3）判断线段，之间的数量关系，并说明理由23. 如图，直线与x轴、y轴
7、分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D （1）求抛物线的解析式（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线段于点E，求的度数（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2023年广东省湛江市霞山区中考一模数学试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 的倒数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用倒数的定义得出答案，倒数：乘积是的两数互为倒数【详解】的倒数是，故选：【点睛】此题考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题的关键2. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的
8、图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答【详解】解：A.B.D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C.选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，解决轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3. 我国是世界人口
9、大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用科学记数法的表示形式求解即可【详解】解：1 800 000 ，故选：【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n 的值4. 下列运算结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项、幂的除法、积的乘方及完全平方公式即可求解【详解】解：A.，故错误； B.，故正确；C.，故错误； D.，故错误；故选
10、：B【点睛】此题主要考查合并同类项、幂的除法、积的乘方及完全平方公式，解题的关键是熟知各自的运算法则5. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（）A. 方差是3.6B. 众数是10C. 中位数是3D. 平均数是6【答案】D【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可【详解】解：平均数为；方差为；数据中5出现2次，所以众数为5；数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；故选：D【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不
11、大6. 下列说法中，正确的是（ ）对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；对角线相等的四边形是矩形；同弧或等弧所对的圆周角相等；弧分为优弧和劣弧A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据菱形和矩形判定方法、圆周角定理、弧的分类，逐项判断即可得出答案【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故该选项错误；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；弧分为优弧、劣弧、半圆弧，半圆也是弧，故该项正确；综上可知，正确的有，故选：A【点睛】本题考查菱形、矩形的判定
12、，圆周角定理，弧的分类，属于基础题，熟练掌握上述知识点是解题的关键7. 如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线定理即可求解【详解】解：点，分别是，边上的中点，,故选：A【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键8. 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ）A. 82x2 = (x3
13、)2B. 82(x+3)2= x2C. 82(x3)2= x2D. x2(x3)2= 82【答案】C【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2，故选C【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从二次函数图象的开口方向和对称轴的位置，可以得到，可知直线经过第一、二、四象限【详解】解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴，一次函数的图象是经过第一、二、四象限.只有选
14、项C符号条件，故选：C【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是由二次函数的图象得到的符号，从而判断直线的位置10. 如图，在中，点是边上的一点，且的面积为，则的周长的最小值是（ ） A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】利用已知条件可以求出边的长度，再根据“将军饮马”问题，求最短距离即可【详解】如图1，过作，作点关于直线对称点，交于点，连接，交于点， 由，；，即，解得：，要使周长最小，则需点与重合时，即点共线时，如图2由勾股定理得：， 的周长的最小值是，故选：【点睛】本题考查了求线段和最短距离，解题的关键是灵活利用轴对称的有关定理及将军饮马数学模型二填空
15、题（共5小题，满分15分，每小题3分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】直接提取公因式2m即可求解.【详解】解：提取公因式2m后，故原式=.故答案为：.【点睛】本题考查了因式分解的常用方法提公因式法，熟练掌握因式分解的一般方法是解决此类题的关键.12. 函数自变量x的取值范围是_【答案】【解析】【详解】由题意得： 13. 如图，直线a，b被直线c所截，已知，则为_度【答案】50【解析】【分析】先根据平行线的性质得出3=130，再由邻补角得到2=50【详解】解：如图，3=130，又2+3=180，2=180-3=180-130=50故答案为：50【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻
16、补角，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键14. 已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_【答案】m0，即(-2)2-4m0，求解即可【详解】解：x-x+m=0有两个不相等的实数根，=(-2)2-4m0解得：m3，故答案为: m0；当方程有两个相等的实数根，=0；当方程没有实数根，0”是解题的关键15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为_【答案】【解析】【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可【详解】解：正六边形边长为2，中心与原点O重合，
17、轴，第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，4次一个循环，第次旋转结束时，点A的坐标为故答案为：【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型三解答题（共8小题，满分75分）16. 计算：【答案】【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简是解题的关键17. 先化简，再求
18、值： ,其中a满足.【答案】-1【解析】【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把进行变形，代入运算即可.【详解】原式， 原式【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序是解题的关键.18. 如图，在平行四边形中，是对角线（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；（2）在（1）的条件下，求证：【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）分别以点B和D为圆心，大于二分之一长为半径画弧，即可作的垂直平分线；（2）在（1）的条件下，利用证明即可得【小问1详解】解：如图，直线即为所求；【小问2详解】证明
19、：四边形平行四边形，由作图过程可知：，在和中，【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到19. 神舟十五号航天员于2023年2月10日圆满完成出舱活动全部既定任务，这见证着我国迈向航天强国.为激发同学们的航天热情，某校八年级举办了航天知识竞赛，随机调查了该年级20名学生成绩如下：80，80，100，90，70，80，100，90，80，70，80，90，80，80，90，90，70，80，90，80根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：成绩100908070人数29根据以上信息解答以下问题：（1）
20、表格中_，_；（2）这次调查中，知识竞赛成绩的中位数是_；（3）请计算这20名学生本次知识竞赛的平均成绩.【答案】（1）6；3 （2）80 （3）【解析】【分析】（1）将数据从小到大进行排序后即可数清成绩为90和70人数；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）利用加权平均数公式求解即可【小问1详解】解：将数据从小到大进行排序为：70，70，70，80，80，80，80，80，80，80，80，80，90，90，90，90，90，90，100，100，成绩为90和70的人数分别为：6人，3人，即：，故答案为：6；3；【小问2详解】由题意可知20个数据的中位数应为地10个和第11个的平均数，知识竞
21、赛成绩的中位数是，故答案为：80；【小问3详解】这20名学生本次知识竞赛的平均成绩为：【点睛】本题主要考查频数、中位数及加权平均数，解题的关键是掌握频数、中位数及加权平均数的定义20. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）平均每天销售数量为32件 （2）当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元【解析】
22、【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，列出平均每天销售的数量即可，（2）设每件商品降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可【小问1详解】解：根据题意得：若降价6元，则多售出12件，平均每天销售数量为：（件)，答：平均每天销售数量为32件；【小问2详解】解：设每件商品降价元，根据题意得：，解得：，（符合题意），（舍去），答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元【点睛】
23、本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键21. 如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，（1）求证：为的切线；（2）若的半径为5，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等边对等角和已知条件证明，推出，由此即可证明为的切线；（2）先解，得到 ，证明，得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案【小问1详解】证明：如图所示，连接，为的直径，又，即，为的切线；【小问2详解】解：在中，即，设，则，在中，由勾股定理得：，解得（不合题意的值舍去），【点睛】本题主要考查了切线的判
24、定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键22. 在学习圆这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点D是内一点，连接，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接，并延长交于点F当点D在如图所示的位置时：（1）观察填空：与全等三角形是_；（2）利用（1）中的结论，求的度数（3）判断线段，之间的数量关系，并
25、说明理由【答案】（1） （2） （3），理由见解析【解析】【分析】对于（1），根据等边三角形的性质得，可知，再说明是等边三角形，可得，进而得出，即可得出答案；对于（2），先说明点C，D，F，E四点共圆，可得，再根据，可得答案；对于（3），先证明是等边三角形，再根据证明，得出，进而得出答案【小问1详解】解：是等边三角形，由旋转可知，是等边三角形，故答案为：；【小问2详解】由（1）知，点C，D，F，E四点共圆，；【小问3详解】由（1）知是等边三角形，由（2）得，点C，D，F，E四点共圆，在上取一点G，使，是等边三角形，点C，D，F，E四点共圆，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角
26、形的性质和判定，四点共圆等，构造全等三角形是解题的关键23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D （1）求抛物线的解析式（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线段于点E，求的度数（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）利用一次函数求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式求解即可；（2）先作出相应图形，得出，可得等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等即可求解；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求
27、解【小问1详解】解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，令，则，令，则，点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，抛物线解析式；【小问2详解】解：如图， 点B、C的坐标分别为、，又， 等腰直角三角形，根据圆周角定理可得：；【小问3详解】解：当点P在x轴上方时，如图， 由（2）知，令，解得或，过点B作于点H，设，则，由抛物线的对称性可得：，由勾股定理得：，解得，；当点P在x轴下方时，同理可得综上可得，的值为16+8【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键