1、迎春杯数学花园探秘科普活动（小中组）决赛试卷（C）一、填空题（每题6分，共24分）1（6分）算式20152228的计算结果是 2（6分）如图中共能数出 个三角形3（6分）在2015和131之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相等，那么插入的两个数的和是 4（6分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字那么四位数的最小值是 二、填空题（每题10分，共40分）5（10分）黑板上写有一些自然数，平均数是30；再写上100，平均数就变成了40；如果最后再写上一个数，平均数就变成了50，那么最后写上的这个数是 6（10分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B双方交替
2、走棋，警察先走，每次必须沿着线走一步那么警察至少需要走 步才能保证抓住小偷7（10分）30只老虎和30只狐狸分为20组，每组3只动物老虎总说真话，狐狸总说假话，当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这60只动物中有39只回答“没有”那么同组3只动物全是老虎的共有 组8（10分）正六边形中如图摆放着两个面积各为30平方厘米的等边三角形，那么正六边形的面积是 平方厘米三、填空题（每题12分，共48分）9（12分）如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑第一次跑10米，第二次跑14米；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方
3、向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点 米10（12分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字那么四位数是 （如图是一个33的例子）11（12分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以2，如果它是奇数就把它乘3再加上1在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到1呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数成为它的路径长，
4、那么“角谷猜想”中所有路径长为10的自然数的总和是 参考答案一、填空题（每题6分，共24分）1（6分）算式20152228的计算结果是1399【解答】解：2015222820156161399故答案为：13992（6分）如图中共能数出11个三角形【解答】解：根据分析可得，（3+2+1）+2+2+16+511（个）答：图中共能数出 11个三角形故答案为：113（6分）在2015和131之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相等，那么插入的两个数的和是2146【解答】解：根据分析，插入两个数后，排成的数成等差数列，利用等差数列的性质，可求出两个数的和，中间两个数之和2015+1
5、312146故答案是：21464（6分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字那么四位数的最小值是1930【解答】解：依题意可知：若要四位数的最小值那么需要取到最大值首先分析千位和百位数字是固定的1和9那么当可以取到87时，尾数不能有5那么当为86时，尾数是9才能构成5不符合题意当为85时2015851930故答案为：1930二、填空题（每题10分，共40分）5（10分）黑板上写有一些自然数，平均数是30；再写上100，平均数就变成了40；如果最后再写上一个数，平均数就变成了50，那么最后写上的这个数是120【解答】解：（10040）（4030）60106（个）6+17（个）7+18（个）5
6、08407400280120答：最后写上的这个数是 120故答案为：1206（10分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B双方交替走棋，警察先走，每次必须沿着线走一步那么警察至少需要走4步才能保证抓住小偷【解答】解：如图，把六个位置编号如下：第一步警察由F走到C，小偷只能由B走到A；第二步警察由C走到D，小偷只能由A走到B；第三步警察由D走到F，小偷只能由B到A或者B到C第四步小偷无论往哪个方向走都会被警察抓住答：警察最少需要4步才能抓住小偷故答案为：47（10分）30只老虎和30只狐狸分为20组，每组3只动物老虎总说真话，狐狸总说假话，当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这60只
7、动物中有39只回答“没有”那么同组3只动物全是老虎的共有3组【解答】解：根据分析，因为狐狸有30只，它们都说谎话，当问及“组内是否有狐狸”时，它们肯定都说“没有”，所以狐狸说“没有”的一共30声老虎说真话，当有老虎的这一组中狐狸时，老虎就会说“有”，而当3只动物都是老虎时，它们才说“没有”因此有3只老虎在同一组时，就会有3声“没有”故同组3只动物全是老虎的共有：（3930）3933（组）故答案是：38（10分）正六边形中如图摆放着两个面积各为30平方厘米的等边三角形，那么正六边形的面积是135平方厘米【解答】解：根据分析，如图，连接FH、EH、BG、CG、AD，由题意可知，ABG、DCG、DE
8、H、AFH的面积全等，且均与AOH的面积相等，BCG、EFH的面积相等，且二者拼接后如图2所示，因四边形BHCG为棱形，且BHAG60，HAGD120，BH：DH1：2，S棱形BHCG：S棱形AGDH1：4；SABG+SDCG+SDEH+SAFHSAOG+SDOG+SDOH+SAOHS阴影；SEFH+SBCGS棱形BHCG；综上，正六边形的面积2S阴影+135（平方厘米）故答案是：135三、填空题（每题12分，共48分）9（12分）如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑第一次跑10米，第二次跑14米；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次
9、跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点7米【解答】解：设中点的位置为0，左边为负，右边为正则第20次之后的位置是28214，14113，表示为+13第19次之后的位置是+13141第18次之后的位置是11011第17次之后的位置是11+14+3第16次之后的位置是+3+10+13从上面可以看出，经过4次之后又回到了+13这个位置由此可以退出，第4次之后，小狗回到了+13这个位置第3次之后小狗回到+13141位置第2次之后小狗位置是11011第1次之后小狗的位置是11+14+3位置因
10、为原始位置在M点左侧，所以原始位置是+3107位置原始位置距离A点1477米故此题填710（12分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字那么四位数是2112（如图是一个33的例子）【解答】解：如图，由第二行第一个，第二行第三个，第三行第二个，箭头只指向一个箭头，此位置的数只能是1，如图红色数字，第三行第一个箭头指向两个数字不同的箭头，所以只能是2，所以，第四行第一个位置的数字必是3，如果第四行第二个位置是1，那么此行第三个必须是3，但不符合此行第四个数字，所以，第四行第二个箭头上的数字只能是2，此行第三个数只能是1，即可得出第三列的数字全部是1，
11、第二行第二个和第四个也是2，进而第一行第二个数字也是2，第一行第四个只能是3，第三行第四个必是2，即：A，B，C，D位置的数分别是2，1，1，2，故答案为211211（12分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以2，如果它是奇数就把它乘3再加上1在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到1呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数成为它的路径长，那么“角谷猜想”中所有路径长为10的自然数的总和是1604【解答】解：从1开始倒推1024+170+28+168+160+26+4+241604