1、 “迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小高组决赛A卷）一、填空题（每题6分，共30分）1（6分）算式（1+）（+）的计算结果是 2（6分）一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是 平方厘米3（6分）A、B、C、D四个人住进编号为1、2、3、4的四个房间，每个房间给住一人；那么B不住2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有 种4（6分）算式2015的计算结果是 5（6分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分
2、比）他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为 %二、填空题（每题10分，共50分）6（10分）一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2、1、0道题这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了3句话（如下） 甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁 乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁 丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲 丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙 如果每人都是对了几道题就说几句真话设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道
3、题，那么四位数 7（10分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字如果2015，且是质数，那么 8（10分）如图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八边形）如果圆的半径为60厘米，那么阴影部分的面积是 平方厘米（取3.14）9（10分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”例如25254是“均衡数”，因为5+2+24+5如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”那么最小的一对“孪生均衡数”的和是 10（10分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；
4、如果第1小时、第2小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时2千米；那么轮船往返A、B两港共行 千米三、填空题（每题10分，共48分）11（10分）三位数除以它的各位数字和的余数是1，三位数除以它的各位数字和的余数也是1如果不同的字母代表不同的数字，且ac，那么 12（10分）在每个方格里填入数字16中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和那么五位数 13（10分）某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1，2，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2号，30号现
5、在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除那么电影票共有 种不同的发放方式14（10分）图2的88表格中共含有168个如图1的“T”形现对图2中的每个小 方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有 个参考答案一、填空题（每题6分，共30分）1（6分）算式（1+）（+）的计算结果是1【解答】原式 （）故答案为：12（6分）一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层
6、纸片的面积是75平方厘米【解答】解：根据分析，折叠一次，面积变为一半，折叠两次后变成原来面积的四分之一，沿中位线剪去一个角，显然剪去的这个角的面积为原来正方形的面积的44，余下的部分为原来正方形的面积的，余下部分展开为单层纸片的面积101075（平方厘米）故答案是：753（6分）A、B、C、D四个人住进编号为1、2、3、4的四个房间，每个房间给住一人；那么B不住2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有8种【解答】解：根据题意，B不住2号房间，则B可以住在1、3、4号房间，若B住在1号房间，则C可以住在2号房间，剩下2人安排在其他2个房间，此时，有A222种情况，若B住在3号房间，
7、则C可以住在2、4两个房间，有2种情况，剩下2人安排在其他2个房间，此时，有2A224种情况，若B住在4号房间，则C可以住在3号房间，剩下2人安排在其他2个房间，此时，有A222种情况，共有2+4+28种情况，故答案为84（6分）算式2015的计算结果是503【解答】解：503+0503故答案为：5035（6分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普
8、通型“生死水”的浓度为11%【解答】解：设普通型“生死水”的浓度为x%，初始重量为100，连续两次加入的水仙根粉末和艾草浸液重量都是a，则，化简为，解得x11，综上所述，普通型“生死水”的浓度为11%，故答案为11二、填空题（每题10分，共50分）6（10分）一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2、1、0道题这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了3句话（如下） 甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁 乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁 丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲 丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙 如果每人都是对了几道题就说几句真话
9、设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那么四位数1203【解答】解：根据分析，全队的人不会说自己对的题少于3，所以只有乙、丁可能全对若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的：“丁对了两道”是假话矛盾；若丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第2名，又由丁的“甲考的不如乙”可以知道第2名是乙，所以丙全错，甲只有“丙考的不如丁”是真话，排名是丁、乙、甲、丙，经验证4人的话没有矛盾所以甲、乙、丙、丁分别对1、2、0、3道题故答案是：12037（10分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字如果2015，且是质数，那么8369【解答】解：依题意可知：首先对于09共10个数字，那么2015用去4个
10、还有3，4，6，7，8，9数字3和9，4和8是倍数关系不能同时出现质数中，那么是12的倍数同时也满足3的整除特性质数有37，43，47，67，73，79，83，89共8个数字当质数为37时，2015371978不是3的倍数当质数为43时，2015431972不是3的倍数当质数为47时，2015471968是12的倍数不能用剩余的写成3，6，8，9的乘法算式当质数为67时，2015671948不是3的倍数当质数为73时，2015731942不是3的倍数当质数为79时，2015791936不是3的倍数当质数为83时，2015831932是12的倍数在剩余的数字4，6，7，9中69741902；当质
11、数为89时，2015891926不是12的倍数201583+6974；故答案为：83698（10分）如图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八边形）如果圆的半径为60厘米，那么阴影部分的面积是3096平方厘米（取3.14）【解答】解：如下图：连接AB、AD，因为AD是园的直径，所以ABD90；设，ABa，BDb，即：小直角三角形的ABC的小斜边长为a（其余7个小直角三角形也是a），2个大正方形的边长为b；由勾股定理：a2+b2AD 2（2R）2120 214400（平方厘米）；小直角三角形的ABC的面积ACBCa2，即4个直角三角形的面积等于a2，而b2表示大正方
12、形的面积；则：4个直角三角形的面积+大正方形的面积14400（平方厘米）；从图中可以看出：图形总面积正八边形面积+8个小正方形面积；而大正方形面积正八边形面积+4个小正方形面积；即：图形总面积正八边形面积+8个小正方形面积正八边形面积+4个小正方形面积+4个小正方形面积大正方形面积+4个小正方形面积a2+b214400（平方厘米）；阴影部分面积图形总面积园的面积144002144003.1460 23096（平方厘米）故填：30969（10分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”例如25254是“均衡数”，因为5+2+24+5如果相邻的两个自然
13、数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”那么最小的一对“孪生均衡数”的和是1099【解答】解：（1）两位数中的“均衡数”有11、22、33、44、55、66、77、88、99，没有符合要求的（2）两位数与三位数中99、100也不符合要求（3）三位数中，两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进1次位（数字和加1再减9），即这两个数是AB9和A（B+1）0，所以有：A+B9和AB+1解得：A5，B4所以这两个数是549和550549+5501099故：最小的一对“孪生均衡数”的和是109910（10分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共
14、用3.2小时；如果第1小时、第2小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时2千米；那么轮船往返A、B两港共行102千米【解答】解：第一小时全顺水，同理第三小时全逆水，第二小时必为半小时顺水半小时逆水，顺水行驶的时间：1+0.51.5（小时）逆水行驶的时间：3.21.51.7（小时）所以V顺：V逆1.7：1.517：15，V顺V逆224（千米）4（1715）1721734（千米/时）341.52512102（千米）答：轮船往返A、B两港共行 102千米故答案为：102三、填空题（每题10分，共48分）11（10分）三位数除以它的各位数字和的余数是1，三位数除以它的各位数字和
15、的余数也是1如果不同的字母代表不同的数字，且ac，那么452【解答】解：根据分析，与的数字和都是：a+b+c，三位数和除以各位数字和的余数都是1，按余数原理，a+b+c，与之差即可被a+b+c整除，设，根据位值原则，有：；，则：n（a+b+c）99（ac）n（a+b+c）911（ac）n（a+b+c）；n和（a+b+c）至少有一个是11的倍数和9的倍数，又a、b、c均为整数，且9ac1，0b9，32+1+0a+b+c9+8+724，a+b+c的可能取值为：9，11，18，22，a+b+c9时，根据被9整除的特征，和被9除余数为0，与题意矛盾；a+b+c11时，此三位数为：281、362、371
16、、452、461、524、542、614、623、632、641、731、713、812、821、704、902、605，经排查，只有452符合条件；a+b+c22时，此三位数为：985、976、967、958、796、895，符合题意的为0个；a+b+c18时，此三位数为：954、972、945、963、981、936、927、918、891、873、864、846、837、792、783、765、695、685、693、594，排查后，符合题中条件的个数为0个综上，452，故答案是：45212（10分）在每个方格里填入数字16中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复右边的数表示由粗线隔开的
17、前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和那么五位数41244【解答】解：根据尾数和能够构成结果的尾数：结果中尾数是5那么这3个数字尾数一定是4，5，6组合唯一法、排除法：只能填写一个数字首位分析法：第六行的结果是669那么百位数字一定是6如图：故答案为：4124413（10分）某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1，2，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2号，30号现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除那么电影票共有48种不同的发放方式【解答】解：1号学生
18、有29人是其倍数，故1号学生只能拿1号电影票；2号学生有14人是其倍数，故2号学生只能拿2号电影票；3号学生有9人是其倍数，故3号学生只能拿3号电影票；4号学生有6人是其倍数，故4号学生只能拿4号电影票；5号学生有5人是其倍数，故5号学生只能拿5号电影票；6号学生有4人是其倍数，故6号学生只能拿6号电影票；7号学生有3人是其倍数，故7号学生只能拿7号电影票；8号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是4号学生（4）的倍数，同时有2人是其倍数，故8号学生只能拿8号电影票；9号学生必须是3号学生（3）的倍数，还不能是6，同时有2人是其倍数，故9号学生只能拿9号电影票；10号学生必须是2号学生（2）
19、的倍数，也必须是5号学生（5）的倍数，同时有2人是其倍数，故10号学生只能拿10号电影票；12号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是4号学生（4）的倍数，同时有1人是其倍数，故12号学生只能拿12号电影票，同时24号学生只能拿24号电影票；14号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是7号学生（7）的倍数，同时有1人是其倍数，故14号学生只能拿14号电影票，同时28号学生只能拿28号电影票；15号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是5号学生（5）的倍数，同时有1人是其倍数，故15号学生只能拿15号电影票，同时30号学生只能拿30号电影票；之后的数，2，918，18必拿18，同时是9的倍
20、数的27只能拿27；4，520，20必拿20；3，721，21必拿21；3，824，24必拿24，同时是8的倍数的16只能拿16；4，728，28必拿28；5，630，30必拿30，同时是5的倍数的25只能拿25目前还没有确定的数是11、22、13、26、17、19、23、29号，11、22互为一组成倍数；13、26互为一组成倍数，有两种拿法：11号拿11，22号拿22，13号拿13，26号拿26或11号拿13，22号拿26，13号拿11，26号拿22，17、19、23、29是大质数，没有限制，可随意拿，有24种拿法，故共有22448种拿法14（10分）图2的88表格中共含有168个如图1的“
21、T”形现对图2中的每个小 方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有132个【解答】解：（1）把88的方格阵进行染色，如图2其中含有图形3的个数是：从左到右的第一、八行均无；第二、四、六行均为2；第三、五、七行均是1；共计（2+1）39从右到左、从上到下、从下到上均为9，所以总数是9436（2）每个图形3都有图形1的个数是4，若图形1是2黑2白“和谐”的，那每个图形3都有图形1“和谐”的个数至多是3所以，图形2中必然至少有36个图形1不是“和谐”的故：图形2中至多有“和谐”的图形1个数为：16836132（个）