1、第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）+ 2（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5：4出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了 分钟3（10分）在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一
2、种摆放方法）4（10分）小于1000的自然数中，有 个数的数字组成中最多有两个不同的数字5（10分）如图，ABC的面积为100平方厘米，ABD的面积为72平方厘米M为CD边的中点，MHB90，已知AB20厘米，则MH的长度为 厘米6（10分）一列数a1、a2，an，记S（ai）为ai的所有数字之和，如S（22）2+24，若a12017，a222，anS（an1）+S（an2），那么a2017等于 7（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有 个8（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F开始的时候“华罗庚金杯赛
3、”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 种二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？10（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数11（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法12（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少三、解答下列各题（
4、每小题15分，共30分）13（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由14（15分）77的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：2（2+4+6+8+2016）22018100820341442【解答】解：依题意可知：甲乙两车的后来速度比：5（1+20%）：43：2，甲回来走3份乙走两份路程得知甲车爆胎的位置是A
5、C的处如果不爆胎的甲行驶的时间和速度成反比：设甲行驶的时间为x则有：4：5x：3，x甲在行驶AC的爆胎位置到中点的正常时间为：（小时）；甲乙爆胎前后的速度比为：5：5（1+20%）5：6；路程一定时间和速度成反比：设爆胎后到中点的时间为y则有：6：5：y，y；修车时间为：3（小时）52（分）故答案为：52分3【解答】解：根据分析，份三种情况：当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC
6、、AI；当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH综上，共有：2+4+2+210种不同摆放方法4【解答】解：根据分析，小于1000的自然数中，有三个不同数字的数有：998648个，则最多有两个不同数字的数有：1000648352个故答案是：3525【解答】解：根据分析，过D，C分别作DEAB交AB于E，CFAB交AB于F，如图：ABD的面积72，DE7.2厘米，ABC的面积100，CF10厘米；又MH（7.2+10）8.6厘米故答案是：8.66【解答】解：S（ai）表示自然数ai的数字和，又anS（an1）+S（an2），在下表中列出n1，2，3，4，时的an和
7、S（an），nanS（an）120171022243145499514561457101866977101341111212661388141451513416991713418134198820123211122255237724123251012644275528992914530145311013266由上表可以得出：a4a289，S（a4）S（a28）9；a5a2914，S（a5）S（a29）5；可以得到规律：当i4时，aiai+24，S（ai）S（ai+24），201732014，2014248322，所以：a2017a3+22a25107【解答】解：枚举法：（1）尾数为0的有：10
8、，20，30，40，50，60，70，80，90（2）尾数不为0 的有：12，21，24，36，42，45，48，54，63，84故答案为：198【解答】解：根据分析，分两类情况：按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法综上，共有：1+1+24种不同摆放方法故答案是：4二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9【解答】解：根据分析，若5条直线互相平行，则形成的交点为0，故m为0；若有4条直线互相平行，则交点个数m4； 若有三条直线互相平行，则m5，6，7；若有两条直线互相平行，则m5，6，
9、7，8，9；若没有直线平行，则m1，5，6，7，8，9，10综上，m的可能取值有：0、1、4、5、6、7、8、9、10共9种不同的数值故答案是：910【解答】解：要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1 根据能被7整除的数的特征可得，111111是每个数位均为1且能被7整除的最小数又有：20176336+16335+7 当有336个111111组成时，因为所有数字之和要是2017，首位数字只能是1，不能被7整除； 当有335个111111组成时，前面还需要加上一个正整数，使得它各位数字之和等于7，且这个数最大满足这个条件的最大整数是13111 说明：我们可
10、以用以下方法，构造一个能被7整除且除了首位数之外，其余数字均为1的数列如下：21，490+21511，700+5111211，5600+5116111，7000+611113111，35000+611141111，70000+41111111111，70000+41111111111，我们注意到，7000+611113111是能被7整除且各位数字之和等于7 的最大正整数 所以，各位数字和为 2017 的最大正整数1311111，其中1的个数是3356+42014，即答：能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数是11【解答】解：依题意可知：根据四个数的结果是偶数那么必定是0
11、个奇数，2个奇数或者是4个奇数在1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009奇数的个数为5个，偶数的个数为4个当0个奇数时有一种情况当是2个奇数2个偶数时是60种当选择4个奇数时有5种60+5+166（种）答：共有66种选择方法12【解答】解：不为最简，表明（5n+1，3n+2）a1，根据辗转相除原理有1a|（5n+1）3（3n+2）5即1a|7，则a只能等于7，一次尝试可知5n+11或6或11或16或21，因为2137，所以5n+121时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，10
12、2+109+116+998（102+998）129270950答：使不为最简分数的三位数n之和等于70950三、解答下列各题（每小题15分，共30分）13【解答】解：依题意可知：分两种情况讨论：假设将最小数放在中心位置，我们只能在外圈顺时针依次从小到达放数字但是只能满足五个三角形，最后一个三角形无法满足条件假设将最小的数字放在外圈，然后在周边顺时针依次从小到大放数字，如果想要五个三角形都满足条件，则中心位置必须放大数字，但这样的话，最后一个又不能满足条件综上所述：不能找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列14【解答】解：根据分析，1黑格和白格的行数7；1列数7，当m7时，可以设7列之中黑格个数为3，则黑格总数为：3721然后，可以把21个黑格在15行之中每行放4个，第6行放1个，第7行不放这样就有5行中黑格数量超过白格，所以n5，从而使得m+n12为最大如下图1所示：当m6时，可以设6列之中黑格个数均为3，其余一列黑格个数为7，这样黑格总数为36+725然后，我们使得16行黑格个数为4个，最后一行只有1个这样就有6行中黑格数列超过白格，所以n6，从而使得m+n12，如图2所示：当m5时，m+n12综上，m+n的最大值为12故答案是：12