1、第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组A卷)一、填空题(每题10分,共80分)1(10分)计算:7(2.4+14)1 2(10分)中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日,星期 (今天是2016年3月12日,星期六)3(10分)如图中,AB5厘米,ABC85,BCA45,DBC20,AD 厘米4(10分)在99的格子纸上,11小方格的顶点叫做格点如图,三角形ABC的三个顶点都是格点若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等,就称P点为“好点”那么在这张格子纸上共有 个“好点”5(10分
2、)对于任意一个三位数n,用表示删掉n中为0的数位得到的数例如n102时12那么满足n且是n的约数的三位数n有 个6(10分)共有12名同学玩一种扑克游戏,每次4人参加,且任意2位同学同时参加的次数不超过1那么他们最多可以玩 次7(10分)如果238能表示成k个连续正整数的和,则k的最大值为 8(10分)两把小尺子组成套尺,小尺可以沿着大尺滑动大尺上每一个单位都标有自然数,第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10,第二把小尺将大尺上9个单位等分为10,两把小尺的起点都为0,都分别记为1至10现测量A,B两点间距离,A点在大尺的0单位处,B点介于大尺的18与19单位之间,将第一把小尺的0单位处于B
3、点时,其单位3怡好与大尺上某一单位相合如果将第二把小尺的0单位处置于B点,那么第二把小尺的第 个单位怡好与大尺上某一单位相合二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9(10分)复活赛上,甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额投票人数固定,每票必须投给甲乙二人之一最后,乙的得票数为甲的得票数的,甲胜出但是,若乙得票数至少増加4票,则可胜甲,请计算甲乙所得的票数10(10分)如图,三角形ABC中,AB180厘米,AC204厘米,D、F是AB上的点,E,G是AC上的点,连结CD,DE,EF,FG,将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形,则AF+AG为多少厘米11(10分)
4、某水池有甲、乙两个进水阀,只打开甲注水,10小时可将空水池注满;只打开乙,15小时可将空水池往满现要求7个小时将空水池注满,可以只打开甲注水若干小时,接着只打开乙注水若干小时,最后同时打开甲乙注水那么同时打开甲乙的时间是多少小时?12(10分)将一个五边形沿一条直线简称两个多边形,再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,得到了三个多边形,然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,如此下去在得到的多边形中要有20个五边形,则最少剪多少次?三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13(15分)如图,有一张由四个11的小方格组成的凸字行纸片和一张56的方格纸,现将凸字形纸片粘到方格
5、纸上,要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的图形?(两图形经旋转后相同看作相同图形)14(15分)设n是正整数,若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a,b,c,d使得a+bcd能被20整除则n的最小值是多少?参考答案一、填空题(每题10分,共80分)1【解答】解:7(2.4+14)17(2.4+)17172故答案为:22【解答】解:依题意可知:平年365天是52个星期多1天润年是52个星期多2天2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年,向后推的天数为1+1+1+1+1+27恰好为星期六那么2022年的2月4日到2022年
6、的3月12日经过24+1236天36751从星期六前推前天说明2022年的2月4日是星期五故答案为:五3【解答】解:依题意可知:ABC85,BCA45那么A50ABDABCDBC852065ADB180AABD180506565;ADBABD,ABAD5故答案为:54【解答】解:(1)BDA与CDA等底等高,所以面积相等;(2)ABE与ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半,所以面积相等;(3)ABF的面积BDF的面积BDA的面积,CAF的面积CDF的面积CDA的面积,又因为BDA与CDA面积相等,所以ABF的面积CAF的面积;(4)ABI和ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半,
7、所以相等;(5)ABH的面积是ABI面积的一半,ACH的面积是ACI的面积的一半,所以ABH与ACH面积相等;(6)AGB和AGC有相同底AG,这条底边上的两个三角形高是相等的,所以这两个三角形面积相等故此题的好点一共有6个5【解答】解:根据分析,第一种,十位为0的三位数中,能满足是n的约数的n只有:105、108、405,三个数删掉0后得:15、18、45分别为105、108、405的约数;第二种,个位为0的三位数共有:91090个,删掉0后均能满足是n的约数,故满足题意的三位数n有90个,综上,满足题意的三位数一共有90+393个故答案是:936【解答】解:依题意可知:将学生进行编号112
8、如果是14一组,58一组,912一组下一组就没有符合题意的了,那么要求尽可能多分组即第一次是1,2,3,4第二次是1,5,6,7第三次是2,5,8,9第四组是3,6,8,10第五组是4,5,8,11第六组是3,5,9,10第七组是4,6,9,11第八组是1,7,9,12第九组是2,6,10,12故答案为:97【解答】解:设k个连续正整数的首项为n,则末项为n+k1则k个连续正整数的和(n+n+k1)k2238,所以(2n+k1)k2238,所以k的最大值为1082233,此时2n+k135,n68,故k的最大值为108故答案为1088【解答】解:11:10?:3 ?3.3 那B点处在单位18与
9、19之间的应是:18.718.7只有加上一个末位上是3的数(令其为X)才能凑整十数?是在1一10之间的自然数,所以只有?7符合条件二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9【解答】解:根据分析,设甲得票数为x,则乙的得票数为,由题意得:x168,又x为正整数,且也为正整数x147,x126,即:甲得票数是147票,乙的得票数是140票;甲得票数是126票,乙的得票数是120票故答案是:甲147票,乙140票或,甲126票,乙120票10【解答】解:在ABC中,因为SADC4SDBC,所以AD4BD4(1805)144(厘米);在ADC中,因为SADE3SEDC,所以AE3EC
10、3(2044)153(厘米);在ADE中,因为SAFE2SEFD,所以AF2DF2(1443)96(厘米);在AFE中,因为SAFGSGFE,所以AGGE153276.5(厘米);所以,AF+AG96+76.5172.5(厘米);答:AF+AG为172.5厘米11【解答】解:根据分析,设水池注满时水的总量为1份,甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时,则甲乙同时开的时候总速度为+,设刚开始只打开甲a小时,接着打开乙b小时,最后同时打开甲乙7ab小时,则:a+b+(7ab)1,化简得:2a+3b5,又a1,b1,a1,b1,甲乙同时打开的时间为:7ab7115(小时)故答案是:512【解答】
11、解:根据分析,一个多边形被分成两部分,其内角和至多增加360,剪K次共增加的度数至多为K360,所以这(K+1)个多边形的度数和至多是K360+540,另一方面,20个五边形的度数和为20540,剩余的(K19)个多边形的度数和最小是(K19)180,这样得到:(K19)180+20540K360+540;整理得:K38,当K38时,可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形,然后用18次将四边形分成19个四边形,再用19次将每个四边形切成五边形,这样就用38次将其切成20个五边形综上,则最少剪38次故答案是:38三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13【解答】解:根据分析
12、,把凸字形上面那个小方格称为它的头,粘出的图形可以分为两类:凸字形的头在方格纸的边框上位第一类,凸字形的头在方格纸的内部为第二类对于第一类,凸字形的头不能粘在方格纸的四个角,边框上(不是角)的小方格共有:23+2414(个),有14个图形,第二类,方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头,有头朝上,头朝下,头朝左,头朝右之分,所以,这类图形有4(34)48(个)由加法原理知,共有14+4862中图形,由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称,所以总的不同图形为:62231(个)故答案是:3114【解答】解:存在8个数:0,1,2,4,7,12,20,40它们中任何四个数都不能满足条件,所以n的最小值大于等于9因为任意取9个非负整数,从中任意取7个,它们的两两之和有21个,这21个和数除以20的余数有21个,因为余数最多有20个不同的值,所以有下面两种情形之一发生:(1)有4个不同的数a、b、c、d,使得a+b与c+d除以20有相同的余数,此时四个数满足条件(2)有3个不同的数a、c、x,使得a+x与b+x除以20有相同的余数,则(a+x)(c+x)ac是20的倍数,将a、c取出,在剩下的7个数中,同理可得:要么四个不同的数,满足条件,要么有两个数b、d,使得bd是20的倍数,如此一来,总有a、b、c、d,使得a+bcd能被20整除综上所述,n的最小值为9