1、第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且ABBCCD3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 处的木桩上2（10分）在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是 3（10分）从18这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 种4（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端
2、点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为 平方厘米5（10分）如果，则“”与“”中可以填入的非零自然数之和最大为 6（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数06分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是 7（10分）学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车如果要求恰好每人一座且每座一人，则有 种租车方案8（10分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB8厘米，BC4厘米，AD5厘米，DE1厘米，AC12厘米，AE6厘米如果三角形EAB的面积为24平方厘米则点A到CD的距离等于 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9
3、（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上如图给出了n6时所有不同放置的方法，那么n9时有多少种不同放置方法？10（10分）有一杯子装满了浓度为16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：4：3，首先将小球深入盐水杯中结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球深入盐水杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）11（10分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募如果汽车行驶1小时后，
4、将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72km，再将车速提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到那么从学校到烈士陵园有多少km？12（10分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF2BF，CE3AE，连接CF交DE于P点，求的值三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）从连续自然数1，2，3，2014中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个数是另一个数的5倍，试求n的最大值，并说明理由14（15分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“”代表十个数字0到9中的一个，其中a、b、c、d四个字母代表不同的数字，求a
5、、b、c、d数字之和参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：SA42+（43）28.25（平方米）；SB4212（平方米）；SC42+（43）28.25（平方米）；SD428（平方米），8.2512，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上故答案为：B2【解答】解：20和14的最小公倍数是140，在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是1960，共14个，（140+1960）142210014214700答：在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数的数之和是14700故答案为：147003【解答】解：56（种）有两个
6、连续数的可能是：52+5430（种）有三个连续的数的可能有6种：5630620（种）答：没有连续自然数取法为20种故答案为：204【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.556（平方厘米）故答案是：565【解答】解：通分为：所以，435，则9；与通分为：所以，77，则，的乘积最大为76，只要使“”与“”之和最大，应当使两数的差最大，76176，所以，当1，76时，两数之和最大，即，+1+7677答：“”与“”中可以填入的非零自然数之和最大为 77
7、故答案为：776【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+06+4+3+26+5+3+115；所以，和的最大值是 15故答案为：157【解答】解：设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程：42x+25y1511所以x因为42是偶数，而1511是奇数，所以115125y必须是偶数；所以y必须是奇数；而151125611所以42x除以25也必须余数是11，所以42与x的乘积个位数字是6，所以当x8，而y47或者x8+2533时，而y5时符合条件所以第一种租车方式为租33辆大巴，5辆中巴；第二种租车方式为租8辆大巴，47辆中巴；故共有2种租车方案答：有2种租车方案故答案为：28【解答】解：根据分
8、析，A、B、C三点在同一条直线上，A、D、E三点也在同一条直线上，画出图形如图所示：24，即68sinEAB24，所以sinEAB1，所以EAB90，在RtADC中，由勾股定理可得，CD13（cm），设AFCDADAC，即AF13512，故AF，即点A到CD距离为故答案是：（或写作4）二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：当层数为2时：（1）8+1：7种（2）7+2：5种（3）6+3：3种（4）5+4：1种当层数为3时：（1）6+2+1：4种（2）5+3+1：4种（3）4+3+2：1种层数为4时无法满足因此共有：7+5+3+1+4+4+125（种）答：n9时有
9、25种不同放置方法10【解答】解：10%，答：此时杯中盐水的浓度是10.7%11【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就是预定时间是1（1+），则预定时间是20（1）120分钟，所以全程的预定时间就是1小时+120分钟180分钟；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1（1+），即提前180（1）45分钟，但实际却提前了30分钟，说明有3045的路程提高了速度；72（1）216（千米）答：从学校到烈士陵园有216千米12【解答】解：连接EF、DFEP：DPSEFC：SDFC，又SDFCSBFC，SEFCSAFC，SFB
10、CSAFC，EP：DPSAFC：SBFCSAFC：SAFC3：1，3三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：依题意可知：201454024则403的5倍大于2014那么从4032014这些数字中不会有一个数是另一个数的5倍4025802说明数字可以取值80时，也没有5倍数的存在80516，那么在1780这些数字中没有5倍数的存在16531说明取值1，2，3时没有5倍数的存在取值为13，1780，40320142014403+1+8017+1+31+11679综上所述答案为：167914【解答】解：根据竖式可得：a6b+4cd1000或a6b+4cd1001；（1）c3时，b+d进位，假设a6b+4cd1000；个位上b+d10，向十位进1；十位上：6+c+110，c3，向百位进1；百位上：a+4+110，a5；那么a+b+c+d5+10+318；假设a6b+4cd1001；个位上b+d11，向十位进1；十位上：6+c+110，c3，向百位进1；百位上：a+4+110，a5；那么a+b+c+d5+11+319（4）c4时，b+d不进位，此时b+d1，0+11符合要求a+b+c+d5+1+410答：a、b、c、d数字之和是10、18或19