1、第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：+ 2（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字则“数学竞赛”所代表的四位数是 3（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为 4（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米水平爬行速为每秒
2、4厘米则蚂蚁至少爬行了 秒5（10分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 abcde，a+2b+3c+4d+5e300，则 a+b 的最大值为 6（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要 个小时7（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有 种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）8（10分）如图，在三角形ABC中，AF2BF，CE3AE，CD4
3、BD连接CF交DE于P点，求 的值 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元问仓库应该建在何处才能使运费最低？10（10分）把，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？11（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用
4、若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）12（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点将110这十个自然数分别放到这十个点上用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把110分成两组对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K问所有的摆放中，K最大为多少？14（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或
5、蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色； （2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同问：和分别染成什么颜色？参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：+1；故答案为：12【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”20；再看后两位，竞赛+竞赛24，所以“竞赛”24212；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去（2）如果百位退位，则“数学”19，再看后两位，则竞赛+竞赛20241900124，所以“竞赛”124262，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962答
6、：“数学竞赛”所代表的四位数1962故答案为：19623【解答】解：因为AF2FB，所以AF：FB2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BEAC，则ADFBEF，EFBDFA，所以ADFBEF，所以FD：EFAF：FB2：1，故答案为：2：14【解答】解：所爬路线如图：（542+212）464416（秒）122212（秒）12238（秒）16+12+836（秒）答：蚂蚁至少爬行了36秒故答案为：365【解答】解：如果 a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e1+22+33+44+5555如果它们都再加上1，则总和将会增
7、加：1+2+3+4+515（30055）15165余数是5，只能加在e上，所以，a1+1617，b2+1618，所以，a+b 的最大值为：17+1835答：a+b 的最大值为35故答案为：356【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x4小时， +（+）x（x4）（x+5）x（x4）（x+5） x（x4）+（x4）（x+5）x（x+5） 2x23x20x2+5x x28x200解得x10或x2（舍去）（104）64（小时）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时故答案为：47【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；分为
8、3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，综上，共有10种堆法故答案是：108【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：SEFC：SFDCEP：PD又AF2BFSAFC：SBFCAF：BF2：1，；同理：CE3AESEFC：SAEFEC：AE3：1；CD4BDSCDF：SBDFCD：BD4：1故：EP：PDSEFC：SFDC故答案是：二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：（1）假设在AB之间建立仓库，设到A的距离为x千米那么
9、总费用为：50x1.5+10（500x）1+60（1700x）1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x0，即设在A点总费用最低（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处 那么总费用为：50（500+y）1.5+1.510y+60（1200y）1整理得到：109500+30y，同理，y0，最小费用为109500，此时设在B点 107000109000综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元答：仓库应该建在A处才能使运费最低10【解答】解：20142100721953，2的倍数：1007个，19的倍数：106个，53的倍
10、数：38个，219的倍数：53个，253的倍数：19个，1953的倍数：2个，21953的倍数：1个，分母不是2014的共有：1007+106+3853192+11078（个），不包括，那么共：107811077（个）每2个和为1，分母是2014的最简分数共：20131077936（个）和为：936246811【解答】解：51+2+2，此类为3个选一个，有C313种；51+1+1+1+1，此类只有1种；52+3，此类为2个选一个，有C212种53+1+1，此类为3个选一个，有C313种；52+1+1+1，此类为4个选一个，有C414种；一共：3+1+2+3+413种答：一共有13种不同的摆放方
11、式12【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：a2+39b2+144，即，a2b2105，（a+b）（ab）105，105357，所以，（a+b）、（ab）有四种对应取值：，相对应求得四组符合题意的解是：，所以这个自然数可以是：112+39160，132+39208，192+39400，532+392848，答：此自然数可以是160、208、400、2848三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10555527+28所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是2728756答：所有的摆放中，K最大是75614【解答】解：依题意可知：数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的2014是偶数，就涂的是红色就是红色的综上所述是红色的，是蓝色的