1、第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（小学组-深圳）一、填空（每题10分，共80分）1（10分）+ 2（10分）甲车从A出发驶向B，往返来回；乙车从B同时出发驶向A，往返来回两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，乙车继续行驶1小时到达A若A，B两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B时，乙车的位置距离A 千米3（10分）每个铅字上刻有一个数码如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余那么，这本书最多有 页最少剩余 个铅字4（10分）一列数：8，3，1，
2、4，从第三个开始，每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数那么第2011个数是 5（10分）编号从1到50的50个球排成一行，现在按照如下方法涂色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的，这两种涂法就称为”不同的”那么不同的涂色方法有 种6（10分）A，B两地相距100千米甲车从A 到B 要走m个小时，乙车从A到B要走n个小时，m，n是整数现在甲车从A，乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是 千米7（10分）自然数b与175的最大公约数记为d如果 176（
3、b11d+1）5d+1，则b 8（10分）如图ABCD为平行四边形AE2EB若三角形CEF的面积1那么，平行四边形ABCD的面积 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数，称为”好数”共有多少个好数？10（10分）在下列2n个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或？3，32，322，323，324，325，322n111（10分）一个四位数 和它的反序数 都是65的倍数求这个数12（10分）用写有+1和1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解
4、答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球，且白球不多于12个你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14（15分）求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和参考答案一、填空（每题10分，共80分）1【解答】解：（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+1+1+9+9（1+2+3+19）（1+19）19219095LL故答案为：95L2【解答】解：设甲车车速为v1，乙车车速为v2如图，第一次相遇在C 点，则，而ACv2，BC4v1
5、，v22v1，所以，当甲车第一次到达B时，乙车的位置在B处，距离A100千米故答案为：1003【解答】解：前9页用9个铅字，从第10页到99页每页用2个铅字，99页共用，9+（10010）2189（个）从第100页到999页每页用3个铅字一页，100页共用189+3个铅字，设一共有k页，根据题意得189+3（k99）2011，3k2011+29718921193706+1答这本书最多706页最少剩余1个铅字4【解答】解写下这列数的前若干个数：8，3，1，4，5，9，4，3，7，0，7，7，4，1，5，6，1，7，8，5，3，8，1，9，0，9，9，8，7，5，2，7，9，6，5，1，6，7，3
6、，0，3，3，6，9，5，4，9，3，2，5，7，2，9，1，0，1，1，2，3，5，8，3，第一个数第61个数，第二个数第62个数，60为数的出现的周期20113360+31，第31个数是2所以第2011个数是25【解答】解：设被涂色的球中的小号码为K，1K50347，则另一个被涂色的求的号码可能是K+3，50；一共有50（K+2）48K种不同涂法，K可以取值1，2，47；那么总共有：（481）+（482）+（483）+（4847）1+2+47（1+47）24724471128答：那么不同的涂色方法有 1128种故答案为：11286【解答】解：5，则+令m5+p，n5+q则：+，5（5+p+
7、5+q）（5+p）（5+q），50+5（p+q）25+5（p+q）+pq，pq25，（1）p5，q5，m10，AC5ABAB；不满足要求（2）p25，q1，m30，AC5ABAB，不满足要求（3）p1，q25，m6，AC5ABAB83千米AB，满足要求所以C到A路程是 83千米故答案为：837【解答】解：因为b与175的最大公约数记为d，d 必为175 的约数，而175557，所以d 只能取1，5，7，25，35，175；另外由176（b11d+1）5d+1 可知 b11d+1为非0自然数，即b11d+11，因此 5d+1176d35所以d35 或175以d35 代入176（b11d+1）5d
8、+1，得b385以d175 代入176（b11d+1）5d+1，得176（b11175+1）5175+1876，即44（b11175+1）219，左边是偶数，右边是奇数，矛盾！所以d175 不合要求所以b385故答案为：3858【解答】解：SAEF：SCEFAF：FCAE：DC2：3，则SAEF，SAEC+1，SAEC：SBECAE：EB2：1，则SBEC，SABC+，SABCD2SABC5答：平行四边形ABCD的面积5；故答案为：5二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解按百位数分类计数：百位数1，十位数0，1，个位数字1，0，共2个；百位数2，十位数0，1，2
9、，个位数字2，1，0，共3个；百位数3，十位数0，1，2，3，个位数字3，2，1，0，共4个；百位数k，十位数0，k，共k+1个；因为0k10，因此k最大为9，因此k+110所以共有2+3+1054个答：共有54个好数10【解答】解：最多可选出n个，如3，322，322n1如果选出的数多于n个，那么就可以从中挑出n+1个，如下：2l13，2l23，2l33，2ln+13，l1l2l3ln+1则2n1ln+1l1（ln+1ln）+（lnln1）+（l2l1）2n2n12n，不可能因此选出的数不能多于n个11【解答】解：1000a+100b+10c+d1000d+100c+10b+a0（mod65
10、）1001（a+d）+110（b+c）0（mod65）71113（a+d）+2511（b+c）0（mod65）65135所以a+d5，10，15；b+c0，13另一方面，1000a+100b+10c+d（1000d+100c+10b+a）999（ad）+90（bc）0（mod65）所以ad0，5或da5由于a+d和ad有相同的奇偶性，所以ad5若b+c13，则：1000a+100b+10c+d5000+100b+10（13b）+55005+90b+1306579+65b+25b25b0（mod65）所以25b0（mod13），b0，c13，不可能（c是数码）所以b+cbc0，1000a+100
11、b+10c+d5005故答案为：500512【解答】解：每一列，每一行的1的个数都是偶数个，所以，整个方格中的1的个数是偶数个，而1的个数就是长方块的个数所以可设有2m个长方块每个长方块占2个格当长方块放满的时候，10n4m，5n2m，所以n2k，m5k，k1，2，3，最小的n2，但是，若n2，m5，长方块不能水平放置，竖直放置5个长方块，每一列恰好5个1，不可能满足要求的情况n4，m10，如图每个长方块都是水平放置+1，在左边，1在右边即可答：n的最小值是4三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：将所有的盒子编号：1，2，3，15如下提问91次：选编号为1号
12、，m号和n号的三个盒子提问一次，2mn，共提问：14（141）291（次），如果回答全是“有”，则1号盒子中的球是白的，这是因为215号中2个盒子是黑球；如果1号是黑球，它们与1号盒子的组合得提问的回答一定是“无”；如果91个回答中有答“无”的，那么1号球是黑的，91个回答中，凡是答“无”的三个盒子（包括1号）全拿走，余下的盒子中的球就全是白的 下面证明少于91次不一定能找出白球：若1号盒子装的是黑球，少于91次，就有第k（1）和第 m（1）号盒子没能与1号盒子组合在一起提问，如果除了这三个盒子外，其他 12 个盒子中的球都是白的，得到的回答全是“有”，而说1号是白的就错了14【解答】解：若（
13、a，2001）1，则（2001a，2001）1，即小于2001与2001互质的自然数成对出现而a+2001a2001，所以小于2001且与2001互质的自然数之和小于2001且与2001互质的自然数的个数2001200132329与2001有公约数3的数且不大于2001的数的个数667；与2001有公约数23的数且不大于2001的数的个数87；与2001有公约数29的数且不大于2001的数的个数69；与2001有公约数329的数且不大于2001的数的个数23；与2001有公约数323的数且不大于2001的数的个数29；与2001有公约数2329的数且不大于2001的数的个数3；与2001有公约数32329的数且不大于2001的数的个数1与2001互质且小于2001的数的个数2001678769+23+29+311323与2001互质，且小于2001的所有自然数的和1232616