1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷B（小学组）一、填空题1（3分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球2（3分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格3（3分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 km4（3分）将，和这6个分数的平均值
2、从小到大排列，则这个平均值排在第 位5（3分）若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个6（3分）如图所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为 7（3分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有 张是卡片“3”8（3分）能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是 二、解答下列各题9如图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由10图中，ABCD是一个梯形，且ABCD，三角形ABO和三角形OC
3、D的面积分别是16和4，求11长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？12华罗庚爷爷出生于1910年11月12日将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112116316424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由三、解答下列各题13一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明14已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数参考答案一、填空题1【解答】解：符合条件的最小的10
4、个数是：11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23174（个）答：至少需要 174 个乒乓球故答案为：1742【解答】解：包 装 盒 价 格礼品盒价格3691215258111417581114172081114172023111417202326141720232629任意的搭配共有25 种，其中有价格重复的情况，可以组成一个5 元，8 元，11 元，14 元，17 元，20 元，23 元，26 元，29 元，共有9种不同的价格故答案为：93【解答】解：20分钟小时，A与C 20分钟相遇，共行（90+60
5、）50（ 千米），这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5（小时）所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）2.5425（ 千米）答：甲乙两站的路程是425千米故答案为：4254【解答】解：（+）6（+）+（+）61+61.59360.2655；0.2655所以这个平均数从小到大排列在第5位故答案为：55【解答】解：设符合条件的两位数是两位数 的平方的十位上的数字等于2ab个位上的数与b2的十位上的数字之和的个位数字，为0因为ab的平方只有十位上的数字为0，所以b0当b取19 时，b2的十位上的数字分别为 0、0、0、1
6、、2、3、4、6、82ab个位上的数字如下：当a为1时，分别为2、4、6、8、0、2、4、6、8；当a为2时，分别为4、8、2、6、0、4、8、2、6；当a为3时，分别为3、6、9、2、5、8、1、4、7；当a为4时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2；当a为5时，分别为0、0、0、1、2、3、4、6、8；当a为6或7时，分别与1或2时相同；当a为8时，分别为6、2、8、4、0、6、2、8、4；当a为9时，与4相同，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共9个6【解答】解：从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表
7、面的面积分别为：6，6，5，5，6，6总和为6+6+5+5+6+634故答案为：347【解答】解：假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3824，与实际的和31相差8，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在824，因此可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于32所以最多可能有4张是卡片“3”答：最多有4 张是卡片“3”故答案为：48【解答】解：设所求的正整数为A，则由题意得：A（p+1）+（p+2）+（p+3）+（p+9）
8、9p+45，A（m+1）+（m+2）+（m+3）+（m+10）10m+55，A（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+9）11n+66，其中p，m，n均为整数由、可得：9p+4510m+55，所以9p10（m+1）由、可得：10m+5511n+66，所以10m11（n+1）因为10与11互质，所以由可知，m是11 的倍数，由可知，m+1是9的倍数，所以m 是11 的倍数，且被9 除的余数为8，于是m的最小值为44，A的最小值为1044+55495答：最小自然数是495故答案为：495二、解答下列各题9【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住了
9、3个或1个黑格，因此，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的45的长方形10【解答】解：由ABCD，得又有sAODSBCD所以因此SBCO8设梯形的高为h，因为SABC，SDAC所以又因为SABCSABO+SBCD24，SDACSDAC+SAOD12，所以11【解答】解：假设L8，12，1872的K倍，即L72K那么：红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；又知：9K，6K18K，重叠4段；6K，
10、4K12K，重叠6段；9K，4K36K，重叠2段；9K，6K，4K36K，重叠2段由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）462+228（段）；或总点数为：（9+13+19）573+329（分点），所以共有28段那么，最短段为红线与黑线的距离：L7212【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4等等1163是质数，判断方法是：3521225，3421156，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数三、解答下列各题13【解答】解：一种
11、方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，11先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限，只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过35041400千克1.5吨，用9，10 号车可将这两组8包货物运走，这样1至10号车共装运了超过1.5812（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过13.5121.5吨，这样可以用11号车把剩下的货物运走答：能用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走14【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+YXYK（K为整数）Y1 （K10）X1 X1，K11 所以虎威11；Y2 （K5）X1 X1，K6 所以虎威12；Y3 （3K10）X3 无解；Y4 （4XK10K）2 X2，K3 所以虎威24；Y5 （K2）X1 X1，K3 所以虎威15；Y6 （3K5）X3 X3，K2 所以虎威36Y7，同上方法讨论无解；Y8，同上方法讨论无解；Y9，同上方法讨论无解；综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36