1、赣榆区乡镇五校联考2023-2024学年九年级上第一次月考数学试题一.选择题（本大题共8小题，每小题3分， 满分24分）1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ）A. 2B. C. 4D. 3. 已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为方程的根，该三角形周长为（ ）A. 14B. 19C. 14或19D. 不能确定4. 已知是方程 的两个根， 则的值为( )A. 2B. C. 3D. 5. 如图，点A，B，C都在圆O上，若C=34，则AOB为（ ）A. 34B. 56C. 60D. 686. 下列说法正确的个数有
2、（）半圆是弧；面积相等的两个圆是等圆；所对的弦长相等的两条弧是等弧；如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；等弧所对的圆心角相等A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P若CD=8，PB=2，则O的半径为 （ ）A. 10B. 8C. 5D. 38. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足ab+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（ ）A. 2B.
3、 0C. 2D. 3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_10. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_11. 若，则_.12. 如图，O的内接四边形ABCD中，BOD=100，则BCD=_ 13. 国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_14. 已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于_15. 如图，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，若，则_度16. 如图，正方形中，动点从点出发向
4、点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，则线段的最小值为_三、解答题（共10小题， 共102分）17. 按照指定方法解下列方程：（1）（用直接开平方法）（2）（用配方法）（3）（用求根公式法）（4）（用因式分解法）18. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）（1）该图中弧所在圆圆心的坐标为_（2）根据（1）中的条件填空：的半径_（结果保留根号）；点在_（填“上”、“内”或“外”）；_19. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四
5、个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米求截去正方形的边长20. 已知：如图， 是的直径，点C、D在上，于E，于F，且，与相等吗?为什么? 21. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长22. 已知关于x的方程有两个实数根.（1）求k的取值范围：（2）若，求k的值.23. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件. 后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.（1）求
6、商场经营该商品原来一天可获利润多少元?（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元?24. 如图，O直径AB为6cm，ACB的平分线交O于点D（1）判断的形状，并证明；（2）求BD长25. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？26. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图，在损矩形中，则该损矩形的直径是线段_（2）在图中线段上
7、确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹）（3）如图，在中，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由若此时，求的长赣榆区乡镇五校联考2023-2024学年九年级上第一次月考数学试题一.选择题（本大题共8小题，每小题3分， 满分24分）1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可【详解】解：A是一元一次方程，不是一元
8、二次方程，故本选项不符合题意； B方程的最高次数是3次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C符合定义，是一元二次方程，故本选项符合题意；D.当时，方程 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程2. 已知一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ）A 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】把代入一元二次方程，即可求解【详解】解：一元二次方程有一个根为，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方
9、程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键3. 已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为方程的根，该三角形周长为（ ）A. 14B. 19C. 14或19D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先解方程得到，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为8，底边长为3，然后计算三角形的周长【详解】解：，所以，因为，所以等腰三角形的腰为8，底边长为3，所以三角形的周长故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系，熟练掌握相关知识是解题关键4. 已知是方程 的两个根， 则的值为( )A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】
10、根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解【详解】解：是方程 的两个根，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键5. 如图，点A，B，C都在圆O上，若C=34，则AOB为（ ）A. 34B. 56C. 60D. 68【答案】D【解析】【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解【详解】解：C=34，AOB=2C=68故选：D【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角
11、是直角，90的圆周角所对的弦是直径6. 下列说法正确的个数有（）半圆是弧；面积相等的两个圆是等圆；所对的弦长相等的两条弧是等弧；如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；等弧所对的圆心角相等A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】根据弧的定义，等圆，等弧，弧、圆心角、弦之间的关系等知识一一判断即可【详解】解：半圆是弧，正确；面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等，正确故选：B【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半
12、圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等7. 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P若CD=8，PB=2，则O的半径为 （ ）A. 10B. 8C. 5D. 3【答案】C【解析】【分析】如图，连接OC，利用垂径定理可以推知PC=4，然后在直角OPC中，利用勾股定理可以求得OC的长度详解】如图，连接OCAB是O的直径，弦CDAB于P，CD=8，OPC=90，PC=CD=4，设O的半径为R，则OP=R-PB=R-2,在直角OPC它，由勾股定理得到：，解得，故选C【点睛】本题
13、考查了勾股定理和垂径定理解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算8. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足ab+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（ ）A. 2B. 0C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，则2+m+n=0，2-m+n=0，然后求出m、n的值后计算mn的值【详解】解：根据题意
14、得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，所以一元二次方程2x2+mx+n=0的根为1和-1，所以2+m+n=0，2-m+n=0，解得m=0，n=-2，所以mn=0故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_【答案】【解析】【分析】将代入，解得，即得出原一元二次方程为，再根据因式分解法解方程即得出方程的另一个根【详解】将代入，得：，解得：，原一元二次方程为，解得：，方程的另一个根是故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的
15、解和解一元二次方程掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键10. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且 ，即且 ，且故答案为：且【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键11. 若，则_.【答案】3【解析】【分析】将方程变形为，再运用因式分解法求解即可【详解】解：，故答案为：3【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，将原
16、方程正确进行变形是解答本题的关键12. 如图，O的内接四边形ABCD中，BOD=100，则BCD=_ 【答案】130【解析】【详解】BOD=100A=50BCD=180-A=130故答案是：13013. 国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_【答案】10%【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可.【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：60（1-x）2=48.6，解得：x1=01=10%，x
17、2=1.9（不合题意，舍去）答：平均每次降价的百分率是10%故答案为：10%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键14. 已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于_【答案】3【解析】【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，计算圆的半径为3【详解】直角的斜边长为6，这个三角形的外接圆的半径等于3，故答案为：3【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径计算，熟练掌握直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点是解题的关键15. 如图，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，若，则_度【答案】【解析】【分析】连接，则由
18、题意可以得到三个等腰三角形，根据等腰三角形底角相等的性质、三角形内角和定理及外角性质可以由已知角度算得所求角度【详解】如图，连接，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，又，即【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是利用圆半径相等的性质得到等腰三角形，再根据等腰三角形底角相等的性质、三角形内角和定理及外角性质求解16. 如图，正方形中，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，则线段的最小值为_【答案】#【解析】【分析】动点，的速度相同，且有正方形，可证，点在运动中保持，可知点的路径
19、是一段以为直径的弧，在中，在中，是半径，可知，由此即可求解【详解】解：如图所示，动点，的速度相同，又正方形中，在和中，点在运动中保持，点的路径是一段以为直径的弧，设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，且，在中，在中，是半径，即线段的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查正方形的性质与动点的综合应用，理解点在运动中保持，点的路径是一段以为直径的弧是解题的关键三、解答题（共10小题， 共102分）17. 按照指定方法解下列方程：（1）（用直接开平方法）（2）（用配方法）（3）（用求根公式法）（4）（用因式分解法）【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】【分析】（1）开平方得到，即可求出
20、方程的解；（2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可；（3）写出，求出，代入即可得到方程的解；（4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解【小问1详解】解：开平方得，或，解得；【小问2详解】解：原方程整理得二次项系数化1，得：，配方，得：，即，两边开平方，得，【小问3详解】，；【小问4详解】移项得，因式分解得，或，解得【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键18. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）（1）该图中弧所在圆的圆心的坐标为_（2）根据（1）中的条件填空：的半径_（结果保留根
21、号）；点在_（填“上”、“内”或“外”）；_【答案】（1） （2）；外；【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，即可作线段和线段的垂直平分线，则其交点即为圆心，再结合图形即得出圆心坐标；（2）根据勾股定理即可求解；求出点到圆心D的距离，再与半径相比较即可解答；连接，根据勾股定理分别求出，即得出，根据勾股定理逆定理，即确定【小问1详解】如图，作线段和线段的垂直平分线，则两直线交点即为圆心，由图可知圆心的坐标为故答案为：；【小问2详解】由图可知的半径故答案为：；点到圆心D的距离为，点在外故答案为：外；如图，连接，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理
22、和勾股定理逆定理掌握弦的垂直平分线必过圆心是解题关键19. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米求截去正方形的边长【答案】截去正方形的边长为10厘米【解析】【分析】设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（602x）厘米和（402x）厘米，底面积为：（602x）（402x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可【详解】设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60
23、2x）厘米和（402x）厘米，所以长方体的底面积为：（602x）（402x）=800，即：x250x+400=0，解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）答：截去正方形的边长为10厘米20. 已知：如图， 是的直径，点C、D在上，于E，于F，且，与相等吗?为什么? 【答案】相等，见解析【解析】【分析】连接，由，得到，由，得到，再根据“”可判断，则，所以，【详解】解：理由如下：连接，如图， ，在和中，【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了直角三角形全等的判定与性质21. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于
24、点C，D（如图）（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）过O作OEAB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AECE即可得出结论【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OEAB于点E，AE=BE，CE=DE，BEDE=AECE，即AC=BD（2）由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，OA=10，OC=8，OE=6，.AC=AECE=8【点
25、睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键22. 已知关于x的方程有两个实数根.（1）求k的取值范围：（2）若，求k的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据关于x的方程有两个实数根得到，即可求出k的取值范围：（2）利用根与系数关系得到，代入得到，解方程并根据k的取值范围即可得到答案.【小问1详解】关于x的方程有两个实数根，解得，即k的取值范围为：【小问2详解】，解得，【点睛】此题考查了一元二次方程根判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键.23. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件. 后来经
26、过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元?【答案】（1）2000元 （2）降价8元【解析】【分析】（1）根据“总利润=每件的利润每天的销量”可得；（2）降价后的单件利润销售量=总利润，列方程解答【小问1详解】若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）；【小问2详解】设每件商品降价x元，依题意得：，即，解得：，因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元 答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元【点睛】此题考查一
27、元二次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键24. 如图，O的直径AB为6cm，ACB的平分线交O于点D（1）判断的形状，并证明；（2）求BD的长【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据角平分线定义得ACD = DCB,再利用圆周角定理得ACD = ABD,DCB = DAB,等量代换即可求解,（2）利用直径和勾股定理即可得出答案【详解】（1）ADB是等腰直角三角形. 证明：CD平分ACB, ACD = DCB. ACD = ABD,DCB = DAB, ABD = DAB.AD=BD. AB是直径,ADB=90ADB是等腰直角三角形（2）
28、在RtADB中, AD2+BD2=AB2,2BD2=AB2,BD=AB=6=(cm)【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键25. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2【解析】【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出
29、边长的值【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，由题意得 ，化简，得，解得：，当时，（舍去），当时， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键26. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图，在损矩形中，则该损矩形的直径是线段_（2）在图中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由
30、（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹）（3）如图，在中，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由若此时，求的长【答案】（1） （2）见解析 （3）四边形为正方形，理由见解析，【解析】【分析】（1）根据损矩形的直径的定义进行求解即可；（2）尺规作图线段的垂直平分线，得到线段的中点P，则点P为线段的中点根据直角三角形性质证明，即可证明点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上；（3）先由角平分线的定义得到，由（2）可知A、B、C、D四点共圆，则，根据菱形对角线平分一组对角得到，即可证明菱形为正方形；过点D作交延长线于M
31、，于N，证明四边形是正方形，求出，则，根据建立方程，解方程即可【小问1详解】解：由题意得，只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径因此是该损矩形的直径，故答案为：；【小问2详解】解：如图，点P即为求作的点；作线段的垂直平分线，与线段交于点P，则点P为线段的中点证明：由作图得点P中点， ， ，点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上；【小问3详解】解：四边形为正方形，理由如下：，平分，四边形为损矩形，由（2）可知A、B、C、D四点共圆，四边形是菱形，菱形为正方形；过点D作交延长线于M，于N，四边形是矩形，又平分，四边形是正方形，在中，由勾股定理得， ，解得，（负值舍去）【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，关键在于熟练掌握基础知识，合理利用辅助线得出条件计算