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天津市河东区2022-2023学年高二上期中数学试卷(含答案解析)

1、2022-2023学年天津市河东区高二上期中数学试卷一、单选题(本大题共9小题,共36分)1. 直线:的方向向量可以是( )A. B. C. D. 2. 已知直线,与平行,则的值是()A. 0或1B. 1或C. 0或D. 3. 在正方体中,则( )A B. C. D. 4. 已知向量,则有( )A. B. C. D. 5. 已知点,则以线段AB为直径的圆的方程为( )A. B. C. D. 6. 圆与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含7. 圆关于直线对称的圆的方程是( )A. B. C. D. 8. 椭圆与椭圆( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D.

2、 焦距相等9. 已知椭圆C:()的左右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相交,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. .二、填空题(本大题共6小题,共24分)10. 直线l方程为:,则直线l的倾斜角为_11. 直线 与直线 之间的距离为_.12. 已知空间向量,若,共面,则_.13. 已知圆,直线过点且与圆交于两点,若为线段的中点,为坐标原点,则的面积为_14. 已知,是椭圆C:的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为_15. 如图,在单位正方体中,点P是线段上的动点,给出以下四个命题:直线与直线所成角的大小为定值;二面角的大小为定值;若Q是对角线,上一点,则长度的最小

3、值为;若R是线段BD上一动点,则直线PR与直线有可能平行其中真命题有_(填序号)三、解答题(本大题共5小题,共40分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16. 已知圆的圆心在直线,且与直线相切于点.(1)求圆的方程;(2)直线过点且与圆相交,所得弦长为,求直线的方程.17. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,M是的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18. 如图,在多面体ABCDEF中,平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,H为DE的中点(1)证明:平面BDE;(2)若P是棱DE上一点,且,求二面角的夹角的余弦值19. 设椭圆的两个焦点为,若点在椭圆上,且(1

4、)求椭圆长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率;(2)求的面积;(3)求点坐标20. 已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为45,到直线l的距离为(1)求椭圆C的焦距;(2)若,求椭圆C的方程2022-2023学年天津市河东区高二上期中数学试卷一、单选题(本大题共9小题,共36分)1. 直线:的方向向量可以是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用直线的方向向量定义求解.【详解】因为直线:的斜率为2,所以其方向向量可以是,故选:A2. 已知直线,与平行,则的值是()A. 0或1B. 1或C. 0或D. 【答案】C【解析】【详解】试

5、题分析:由题意得:或,故选C.考点:直线平行的充要条件3. 在正方体中,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理,结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为,而,所以有,故选:A4. 已知向量,则有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于A,利用向量的线性运算的坐标表示即可求解;对于B,利用向量的摸的坐标表示即可求解;对于C,利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解;对于D,利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A,因为,所以,所以,故A不正确;对于B,因为,所以,所以,故B不正确;对于C,因为,所以

6、,又,所以,即,故C正确.对于D,因为,所以,所以,故D不正确.故选:C.5. 已知点,则以线段AB为直径的圆的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式得到圆心,再计算直径得到圆方程.【详解】AB的中点坐标为,即以线段AB为直径的圆的方程为.故选:A6. 圆与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含【答案】D【解析】【分析】根据两圆的方程,求得圆心坐标和半径,根据圆心距和两圆半径的关系,即可求解.【详解】由圆与圆,可得,则,又由,所以,所以圆和圆的位置关系式内含.故选:D.7. 圆关于直线对称的圆的方程是( )A. B. C. D. 【

7、答案】D【解析】【分析】先求得圆关于直线对称圆的圆心坐标,进而即可得到该圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为,半径为3设点关于直线的对称点为,则 ,解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为, 故选:D8. 椭圆与椭圆( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等【答案】D【解析】【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解:椭圆的长轴长为4,短轴长为,离心率为,焦距为;椭圆的长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为;故两个椭圆的焦距相等.故选:D.9. 已知椭圆C:()的左右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相交,则椭圆C的离心率的取值

8、范围为( )A. B. C. D. .【答案】B【解析】【分析】由题设以线段为直径的圆为,根据直线与圆相交,利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设,以线段为直径的圆为,与直线相交,所以,可得,即,又,所以.故选:B二、填空题(本大题共6小题,共24分)10. 直线l的方程为:,则直线l的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】根据直线方程结合倾斜角的定义求解.【详解】解:由于直线l的方程为:和x轴垂直,故直线l倾斜角为,故答案为:.11. 直线 与直线 之间的距离为_.【答案】#【解析】【分析】确定两直线是平行直线,故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】因为直线 与直线

9、平行,而直线可化为,故直线 与直线 之间的距离为 ,故答案为:12. 已知空间向量,若,共面,则_.【答案】3【解析】【分析】根据共面向量定理可得,然后将坐标代入可求出的值.【详解】因为,共面,所以存在唯一实数,使,即,则,解得,.故答案为:313. 已知圆,直线过点且与圆交于两点,若为线段的中点,为坐标原点,则的面积为_【答案】6【解析】【分析】根据题意可得直线的方程为,根据垂径定理可求,再求点到直线的距离,计算面积【详解】由已知点,所以因为为线段的中点,所以,所以,所以直线的方程为,即设点到直线的距离为,则,所以设点到直线的距离为,则,则的面积故答案为:614. 已知,是椭圆C:的两个焦点

10、,P为C上一点,且,则C的离心率为_【答案】#【解析】【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可得,再在中利用余弦定理列方程可求出椭圆的离心率.【详解】解:因为,由椭圆的定义可得,可得,在中,由余弦定理可得:,而,即,可得,可得离心率,故答案为:15. 如图,在单位正方体中,点P是线段上的动点,给出以下四个命题:直线与直线所成角的大小为定值;二面角的大小为定值;若Q是对角线,上一点,则长度的最小值为;若R是线段BD上一动点,则直线PR与直线有可能平行其中真命题有_(填序号)【答案】【解析】【分析】对于,由正方体的性质可得,进行判断;对于,由平面与平面所成的二面角为定值进行判断;对于,将平面沿直线翻折

11、到平面内,过C点做,此时,的值最小,从而可求得结果;对于,设,结合余弦定理可得在上必然存在一点E,使得二面角为, 设平面EBD与平面的交线为ED,则,过P点作BD的垂线PR,从而可得结论.【详解】解:对于,由正方体的性质可知,平面,又平面,故,异面直线与直线的所成的角为定值,正确;对于,平面即为平面,平面与平面所成的二面角为定值,而这两个平面位置固定不变,故二面角为定值,正确;对于,将平面沿直线翻折到平面内,平面图如下,过C点做,此时,的值最小,由题可知,则,故,又,故的最小值为,故错误;对于,正方体中易证平面,设,则即为二面角的平面角,又正方体棱长为1,故,则,由余弦定理得,故,同理,故在上

12、必然存在一点E,使得二面角为,即平面平面,平面EBD与平面的交线为ED,则,过P点作BD的垂线PR,此时平面,又平面,故,故正确故答案为:三、解答题(本大题共5小题,共40分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16. 已知圆的圆心在直线,且与直线相切于点.(1)求圆的方程;(2)直线过点且与圆相交,所得弦长为,求直线的方程.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)分析可知圆心在直线上,联立两直线方程,可得出圆心的坐标,计算出圆的半径,即可得出圆的方程;(2)利用勾股定理求出圆心到直线的距离,然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论,设出直线的方程,利用点到直线的距离公式求出参数,即可得出

13、直线的方程.【小问1详解】解:过点且与直线垂直的直线的方程为,由题意可知,圆心即为直线与直线的交点,联立,解得,故圆半径为,因此,圆的方程为.【小问2详解】解:由勾股定理可知,圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时,直线的方程为,圆心到直线的距离为,满足条件;当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,由题意可得,解得,此时,直线的方程为,即.综上所述,直线的方程为或.17. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,M是的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)连接交于点,连接,利用中位线的性质可得出,利用线面平行的判定定理

14、可证得结论成立;(2)设,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)连接交于点,连接,因为四边形为正方形,且,为的中点,又因为为的中点,平面,平面,平面;(2)设,底面,且四边形为正方形,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则、,设平面的法向量为,由,令,可得,则,因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念

15、;求,利用解三角形的知识求角;(2)向量法,(其中为平面的斜线,为平面的法向量,为斜线与平面所成的角).18. 如图,在多面体ABCDEF中,平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,H为DE的中点(1)证明:平面BDE;(2)若P是棱DE上一点,且,求二面角的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用平行线的性质,可得线面垂直,结合所给长度,证明正方形,根据线面垂直判定定理,可得答案;(2)由题意,建立空间直角坐标系,求得两平面的法向量,根据公式,可得答案.【小问1详解】证明:平面ABCD,平面ABCD,而CD在平面ABCD中,即,又,四边形FHDC为正方形,又,

16、平面BDE,平面BDE,平面BDE.【小问2详解】由题意可建立以D为原点,以DC、DB、DE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:,则,平面ABCD,且平面ABCD,即,又,平面PDF,平面PDF,平面PDF,平面PDF的一个法向量为,设平面BPF的一个法向量为,则,取,则,平面BPF的一个法向量为,由图形得二面角的夹角为锐角,二面角的夹角的余弦值为19. 设椭圆的两个焦点为,若点在椭圆上,且(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率;(2)求的面积;(3)求点的坐标【答案】(1)长轴长为,短轴长为,焦点为,离心率为 (2) (3)或或或【解析】【分析】(1)由椭圆方程

17、可求得,由此可依次求得结果;(2)利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得,由此可求得三角形面积;(3)利用面积桥可求得点纵坐标,代入椭圆方程可得点横坐标,由此可得结果.【小问1详解】由椭圆方程得:,则,椭圆的长轴长为;短轴长为;焦点坐标为,离心率.【小问2详解】由椭圆定义知:,即,解得:,.【小问3详解】设,则,解得:,解得:;点坐标为或或或.20. 已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为45,到直线l的距离为(1)求椭圆C的焦距;(2)若,求椭圆C的方程【答案】(1)2 (2)【解析】【分析】(1)设出直线方程,利用点到直线距离公式得到,求出椭圆焦距;(2)联立直线方程和椭圆方程,得到两根之和,两根之积,根据向量的线性关系得到,代入两根之和,两根之积,求出,求出椭圆方程.【小问1详解】由题意知直线l的方程为因为到直线l的距离为,所以,解得:,所以椭圆C的焦距为2【小问2详解】由(1)知直线l的方程为,设,联立方程组消去x得,所以,因为,所以,所以,消去得,解得:,从而,所以椭圆C的方程为