1、三年（全国卷）高考数学真题分类汇编：函数及其应用一选择题（共10小题）1（2022新高考）设a0.1e0.1，b，cln0.9，则（）AabcBcbaCcabDacb2（2023新高考）设函数f（x）2x（xa）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A（，2B2，0）C（0，2D2，+）3（2023新高考）已知sin（），cossin，则cos（2+2）（）ABCD4（2022新高考）记函数f（x）sin（x+）+b（0）的最小正周期为T若T，且yf（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）（）A1BCD35（2021新高考）下列区间中，函数f（x）7sin（x）单调递增的区间是（）
2、A（0，）B（，）C（，）D（，2）6（2021新高考）若tan2，则（）ABCD7（2022浙江）已知2a5，log83b，则4a3b（）A25B5CD8（2022浙江）为了得到函数y2sin3x的图象，只要把函数y2sin（3x+）图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度9（2021浙江）已知函数f（x）x2+，g（x）sinx，则图象为如图的函数可能是（）Ayf（x）+g（x）Byf（x）g（x）Cyf（x）g（x）Dy10（2021浙江）已知，是互不相同的锐角，则在sincos，sincos，sincos三个值中，大于的个数的最
3、大值是（）A0B1C2D3二多选题（共2小题）（多选）11（2023新高考）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）y2f（x）+x2f（y），则（）Af（0）0Bf（1）0Cf（x）是偶函数Dx0为f（x）的极小值点（多选）12（2023新高考）噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数p0（p00）是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）Ap1p2Bp21
4、0p3Cp3100p0Dp1100p2三填空题（共6小题）13（2023新高考）已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，则的取值范围是 14（2021新高考）函数f（x）|2x1|2lnx的最小值为 15（2021新高考）已知函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则a 16（2022浙江）若3sinsin，+，则sin ，cos2 17（2022浙江）已知函数f（x）则f（f（） ；若当xa，b时，1f（x）3，则ba的最大值是 18（2021浙江）已知aR，函数f（x）若f（f（）3，则a 四解答题（共1小题）19（2021浙江）设函数f（x）sinx+cosx（xR
5、）（）求函数yf（x+）2的最小正周期；（）求函数yf（x）f（x）在0，上的最大值参考答案解析一选择题（共10小题）1（2022新高考）设a0.1e0.1，b，cln0.9，则（）AabcBcbaCcabDacb【考点】对数值大小的比较【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【答案】C【分析】构造函数f（x）lnx+，x0，设g（x）xex+ln（1x）（0x1），则，令h（x）ex（x21）+1，h（x）ex（x2+2x1），利用导数性质由此能求出结果【解答】解：构造函数f（x）lnx+，x0，则f（x），x0，当f（x）0时，x1，0x1时，f（x）0，f（x）单调递减；x1
6、时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在x1处取最小值f（1）1，（x0且x1），ln0.91，ln0.9，cb；ln0.9ln1，0.1e0.1，ab；设g（x）xex+ln（1x）（0x1），则，令h（x）ex（x21）+1，h（x）ex（x2+2x1），当0时，h（x）0，函数h（x）单调递减，当时，h（x）0，函数h（x）单调递增，h（0）0，当0x时，h（x）0，当0x1时，g（x）0，g（x）xex+ln（1x）单调递增，g（0.1）g（0）0，0.1e0.1ln0.9，ac，cab故选：C2（2023新高考）设函数f（x）2x（xa）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是
7、（）A（，2B2，0）C（0，2D2，+）【考点】复合函数的单调性【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【答案】D【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可【解答】解：设tx（xa）x2ax，对称轴为x，抛物线开口向上，y2t是t的增函数，要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则tx2ax在区间（0，1）单调递减，即1，即a2，故实数a的取值范围是2，+）故选：D3（2023新高考）已知sin（），cossin，则cos（2+2）（）ABCD【考点】两角和与差的三角函数【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【答案】B【分析】由已知结合和差角公式先求出
8、sincos，再求出sin（+），然后结合二倍角公式可求【解答】解：因为sin（）sincossincos，cossin，所以sincos，所以sin（+）sincos+sincos，则cos（2+2）12sin2（+）12故选：B4（2022新高考）记函数f（x）sin（x+）+b（0）的最小正周期为T若T，且yf（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）（）A1BCD3【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；数学运算【答案】A【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与b值，可得函数解析式，则f（）可求【解答】解：函数f（x）sin（
9、x+）+b（0）的最小正周期为T，则T，由T，得，23，yf（x）的图像关于点（，2）中心对称，b2，且sin（+）0，则+k，kZ，kZ，取k4，可得f（x）sin（x+）+2，则f（）sin（+）+21+21故选：A【点评】本题考查yAsin（x+）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题5（2021新高考）下列区间中，函数f（x）7sin（x）单调递增的区间是（）A（0，）B（，）C（，）D（，2）【考点】正弦函数的单调性【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学建模【答案】A【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解【解答】解：令，kZ则，kZ
10、当k0时，x，（0，），故选：A6（2021新高考）若tan2，则（）ABCD【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题；整体思想；演绎法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算【答案】C【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值【解答】解：由题意可得：故选：C7（2022浙江）已知2a5，log83b，则4a3b（）A25B5CD【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】C【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可【解答】解：由2a5，log83b，可得8b23b3，则4a3b
11、，故选：C8（2022浙江）为了得到函数y2sin3x的图象，只要把函数y2sin（3x+）图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数yAsin（x+）的图象变换【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学抽象【答案】D【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解【解答】解：把y2sin（3x+）图象上所有的点向右平移个单位可得y2sin3（x）+2sin3x的图象故选：D9（2021浙江）已知函数f（x）x2+，g（x）sinx，则图象为如图的函数可能是（）Ayf（x）+g（x）Byf（x）g（x）Cyf（x）g（x
12、）Dy【考点】函数的图象与图象的变换【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象【答案】D【分析】可以判断所求函数为奇函数，利用函数的奇偶性可排除选项A，B；利用函数在上的单调性可判断选项C，D【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）x2+为偶函数，g（x）sinx为奇函数，函数yf（x）+g（x）x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误；函数yf（x）g（x）x2sinx为非奇非偶函数，故选项B错误；函数yf（x）g（x）（x2+）sinx，则y2xsinx+（x2+）cosx0对x恒成立，则函数yf（x）g（x）在上单调递增，故选项C
13、错误故选：D10（2021浙江）已知，是互不相同的锐角，则在sincos，sincos，sincos三个值中，大于的个数的最大值是（）A0B1C2D3【考点】三角函数的最值【专题】计算题；整体思想；演绎法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算【答案】C【分析】首先利用基本不等式确定sincos+sincos+sincos 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可【解答】解：由基本不等式可得：，三式相加，可得：，很明显sincos，sincos，sincos 不可能均大于取30，60，45，则，则三式中大于 的个数的最大值为2，故选：C二多选题（共2小题）（多选）11
14、（2023新高考）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）y2f（x）+x2f（y），则（）Af（0）0Bf（1）0Cf（x）是偶函数Dx0为f（x）的极小值点【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断【专题】函数思想；试验法；函数的性质及应用；数学运算【答案】ABC【分析】在已知等式中，取xy0判断A；取xy1判断B；求出f（1），再取y1判断C；取满足等式的特殊函数判断D【解答】解：由f（xy）y2f（x）+x2f（y），取xy0，可得f（0）0，故A正确；取xy1，可得f（1）2f（1），即f（1）0，故B正确；取xy1，得f（1）2f（1），即f（1）f（1）0，取y1，得f（x
15、）f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（1）f（0）f（1）0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）0，满足f（xy）y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）0无极值，故D错误故选：ABC（多选）12（2023新高考）噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数p0（p00）是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）Ap1p2Bp210p3Cp
16、3100p0Dp1100p2【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算【答案】ACD【分析】根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解【解答】解：由题意得，6020lg90，1000p0p1p0，5020lg60，1p0p21000p0，20lg40，p3100p0，可得p1p2，A正确；p210p31000p0，B错误；p3100p0，C正确；p1p01001p0100p2，p1100p2，D正确故选：ACD三填空题（共6小题）13（2023新高考）已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，则的取值范围是
17、2，3）【考点】三角函数的周期性【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可【解答】解：x0，2，函数的周期为（0），cosx10，可得cosx1，函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，可得22，所以23故答案为：2，3）14（2021新高考）函数f（x）|2x1|2lnx的最小值为 1【考点】函数的最值及其几何意义【专题】分类讨论；分类法；导数的综合应用；数学运算【答案】1【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0x时，分析函数的单调性；当x时，利用导数分析单调
18、性并求最小值，即可得到f（x）的最小值法二、令g（x）|2x1|，h（x）2lnx，分别作出两函数的图象，数形结合得答案【解答】解：法一、函数f（x）|2x1|2lnx的定义域为（0，+）当0x时，f（x）|2x1|2lnx2x+12lnx，此时函数f（x）在（0，上为减函数，当x时，f（x）|2x1|2lnx2x12lnx，则f（x），当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在（0，+）上是连续函数，当x（0，1）时，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）单调递增当x1时f（x）取得最小值为f（1）2112ln11故答案为：
19、1法二、令g（x）|2x1|，h（x）2lnx，分别作出两函数的图象如图：由图可知，f（x）f（1）1，则数f（x）|2x1|2lnx的最小值为1故答案为：115（2021新高考）已知函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则a1【考点】函数奇偶性的性质与判断【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】1【分析】利用奇函数的定义即可求解a的值【解答】解：函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，yx3为R上的奇函数，故ya2x2x也为R上的奇函数，所以y|x0a2020a10，所以a1法二：因为函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，所以f（x）f（x），即x3（a2x2
20、x）x3（a2x2x），即x3（a2x2x）+x3（a2x2x）0，即（a1）（2x+2x）x30，所以a1故答案为：116（2022浙江）若3sinsin，+，则sin，cos2【考点】两角和与差的三角函数【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；数学运算【答案】；【分析】由诱导公式求出3sincos，再由同角三角函数关系式推导出sin，由此能求出cos2的值【解答】解：3sinsin，+，3sincos，cos3sin，sin2+cos21，sin2+（3sin）21，解得sin，cossin，cos22cos2121故答案为：；17（2022浙江）已知函数f（x）则f（f（）；若当xa，
21、b时，1f（x）3，则ba的最大值是 3+【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算【答案】；3+【分析】直接由分段函数解析式求f（f（）；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案【解答】解：函数f（x），f（）+2，f（f（）f（）+1；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当xa，b时，1f（x）3，则ba的最大值是故答案为：；3+18（2021浙江）已知aR，函数f（x）若f（f（）3，则a2【考点】函数的值；分段函数的应用【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【答案】2【分析】利用分段函数的解析式，先求出f（）的值，
22、进而求出f（f（），列出方程，求解a的值即可【解答】解：因为函数f（x），所以，则f（f（）f（2）|23|+a3，解得a2故答案为：2四解答题（共1小题）19（2021浙江）设函数f（x）sinx+cosx（xR）（）求函数yf（x+）2的最小正周期；（）求函数yf（x）f（x）在0，上的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；三角函数的最值【专题】整体思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算【答案】（）；（）1+【分析】（）由yf（x+）2，可得y1sin2x，然后利用周期公式求出周期；（）yf（x）f（x）sin（2x）+，由x0，得到的取值范围，再利用整体法求出yf（x）f（x）的最大值【解答】解：函数f（x）sinx+cosx，（）函数yf（x+）222cos2（x+）1+cos2（x+）1+cos（2x+）1sin2x，则最小正周期为T；（）函数yf（x）f（x）sinx+cosx）sinxsin（2x）+，因为x，所以2x，所以当2x，即x时，ymax1+