1、第十三章 轴对称一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A，B，C，D，2点关于轴对称的点的坐标是（）ABCD3年全国民航工作会议介绍了年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A春秋航空B东方航空C厦门航空D海南航空4如图，中边的垂直平分线分别交，于点，的周长为，则的周长是ABCD5如图，在中，点在上，则等于（）A4B5C6D86如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超
2、市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A三条中线的交点处B三条角平分线的交点处C三条高线的交点处D三条边的垂直平分线的交点处7如图，在中，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，的长度是（）ABCD8如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（）A4B6C8D109如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（）ABCD10如图，C是线段
3、的中点，与都是等边三角形，连接和交于点O，与交于点F，和交于点G，则下列结论中正确的有（）；是等腰三角形；A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 12在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 13如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若则的度数为 （用含a的式子表示）14如图，四边形是长方形纸条，将纸条沿折叠成图，再沿折叠成图，图中的的度数是_15如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 16等腰
4、中，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17如图，在中，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数18如图，在中，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形19请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.(1)如图，四边形中，画出四边形的对称轴；(2)如图，四边形中，画出边的垂直平分线.20如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B(1)在图中画出关于直线l成轴对称的；(2)求的面积；(3)在直线l上找一点P，使的长最短，标出点P四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21如图，在中，为的平分线，于点E，于
5、点F (1)求证：是的垂直平分线；(2)若的面积是，求的长22在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标；(2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；(3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条直线；(4)求的面积23如图，在中，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E(1)当时，_，_；(2)若，试说明；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24【概念认识】在四边形中，如果在四边形内部或边上存在
6、一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”【初步思考】（1）如图，在四边形中，点P在边上且是四边形的“映角点”若，则的度数为 ；【综合运用】（2）如图，在四边形中，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E求证：25在和中，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接(1)如图1，当时，求的度数；(2)如图2，当，时，试说明与的位置关系；(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，P，Q分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值第十三章 轴对称一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A，B，C，
7、D，【答案】C【分析】根据三角形的三边关系及等腰三角形的判定定理解答即可【详解】解：、，不能组成三角形，不符合题意；B、，不能组成三角形，不符合题意；C、，能组成三角形，符合题意；D、，不能构成等腰三角形，不符合题意故选：【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键2点关于轴对称的点的坐标是（）ABCD【答案】A【分析】关于轴对称点坐标为，据此判断即可求解【详解】解：由题意得关于轴的对称点坐标为，关于轴的对称点坐标为，故选：A【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握坐标对称规律是解题的关键3年全国民航工作会议介绍了年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、
8、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A春秋航空B东方航空C厦门航空D海南航空【答案】D【分析】根据轴对称的定义，进行判断即可得【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；D、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；故选：D【点晴】本题考查了轴对称的图形，解题的关键是掌握轴对称的定义：图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形4如图，中边的垂直平分线分别交，于点，的周长为，则的周长是ABCD
9、【答案】C【分析】由中，边的垂直平分线分别交、于点、，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，的周长为， ，的周长为：故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型5如图，在中，点在上，则等于（）A4B5C6D8【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度【详解】解：，ABAD，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角
10、形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理6如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A三条中线的交点处B三条角平分线的交点处C三条高线的交点处D三条边的垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质选择即可【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，超市应建在三条边的垂直平分线的交点处故选D【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键7如图，在中，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C
11、运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，的长度是（）ABCD【答案】C【分析】设运动时间为x秒时，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：设运动的时间为x秒，在中，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，当是以为底的等腰三角形时，即，解得，故选：C【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，一元一次方程的应用，关键是根据题意列出方程8如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小
12、值为多少？（）A4B6C8D10【答案】B【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论【详解】解：连接，是等腰三角形，点是边的中点，解得，是线段的垂直平分线，点A关于直线的对称点为点B，的长为的最小值，的周长最短故选：B【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键9如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（）ABCD【答案】A【分析】先得出前几次变
13、化的坐标，总结出一般变化规律，即可解答【详解】解：经过第1次变换后点A的对应点的坐标为，经过第2次变换后点A的对应点的坐标为，经过第3次变换后点A的对应点的坐标为，经过第4次变换后点A的对应点的坐标为，经过第5次变换后点A的对应点的坐标为，该变化每4个一循环，经过第2023次变换后点为第组的第三个坐标，即，故选：A【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数10如图，C是线段的中点，与都是等边三角形，连接和交于点O，与交于点F，和交于点G，则下列结论中正确的有（）；是等腰三角形；A1个B2
14、个C3个D4个【答案】C【分析】由即可判断；由等边三角形及等腰三角形的性质即可判断；由“等角对对边”即可判断；由三角形的外角定理即可判断【详解】解：C是线段的中点又与都是等边三角形，正确；都是等边三角形，正确；同理可得：，即，是等腰三角形，正确；，错误；故选：C【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、三角形的外角等知识点熟记相关结论是解题关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 【答案】幸【分析】根据轴对称图形的定义，可直接求得答案【详解】解： 根据轴对称图形的定义，“幸”存在一条竖直的对称轴，为轴对称图形，“福”
15、“开”“阳”没有对称轴，不是轴对称图形故答案为：幸【点评】本题主要考查轴对称图形的定义，即如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形牢记轴对称图形的定义是解题的关键12在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 【答案】【分析】根据轴对称的点的坐标特征，可知横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键13如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若则的度数为 （用含a的式子表示）【答案】/【分析】根据等腰三角形的性质得
16、出，根据，求出即可【详解】解：，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，故答案为：【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用14如图，四边形是长方形纸条，将纸条沿折叠成图，再沿折叠成图，图中的的度数是_【答案】/度【分析】由平行线的性质知，进而得到图中，依据图中的进行计算【详解】解：，在图中，在图中故答案为：【点睛】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变15如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E
17、已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 【答案】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而可求出，然后根据的周长为，即可求出的长，即可解答【详解】解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，故答案为：【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键16等腰中，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 【答案】或或【分析】分点是顶角顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算【详解】解：如图1，当点是顶角顶点时，在中，；如图2，当点是底角顶点，且在外部时，；如图3，当点是底角顶点，且在内
18、部时，；故答案为：或或【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17如图，在中，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数【答案】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可【详解】解：垂直平分，是的平分线，【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键18如图，在中，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形【答案】见解析【分析】根据直
19、角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形【详解】证明：在中，是边上的高，是的角平分线，即，是等腰三角形【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键19请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.(1)如图，四边形中，画出四边形的对称轴；(2)如图，四边形中，画出边的垂直平分线.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，找到交点即可得到答案；（2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，
20、找到交点即可得到答案；【详解】（1）解：由轴对称的性质可得，与，与，关于对称轴对称，连接即可得到对称轴，如图所示，（2）解：由轴对称的性质可得，与关于对称轴对称，连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示；【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上20如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B(1)在图中画出关于直线l成轴对称的；(2)求的面积；(3)在直线l上找一点P，使的长最短，标出点P【答案】(1)见解析(2)的面积为(3)见解析【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用割补法
21、即可得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案【详解】（1）解：如图所示，即为所求（2）解：的面积为；（3）解：如图，连接交直线l于点P，连接，点B和点关于直线l对称，直线l垂直平分，这时的长最短，点P即为所作【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21如图，在中，为的平分线，于点E，于点F (1)求证：是的垂直平分线；(2)若的面积是，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的性质得出，说明点D在的垂直平分线上，证明，得出，说明点A在的垂直平分线上，
22、即可证明结论；（2）根据，得出求出结果即可【详解】（1）证明：为的平分线，点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上，是的垂直平分线；（2）解：，即，解得：【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂线平分线的判定和角平分线上的点到角的两边距离相等22在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标；(2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；(3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条直线；(4)求的面积【答案】(1)见解析，；(2)见解析，；(3)是，
23、见解析(4)2【分析】（1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可；（2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可；（3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴；（4）利用割补法求解即可【详解】（1）解：如图所示，关于y轴对称的图形为，根据点在坐标系中的位置可得：，；（2）解：如图所示，为平移后的图形，；（3）解：是，如图所示，连接，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线；（4）解：的面积【点睛】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴23如图，在中，点D在
24、线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E(1)当时，_，_；(2)若，试说明；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由【答案】(1)，(2)见解析(3)可以，【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求，的度数即可；（2）由“”证即可；（3）分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求的度数【详解】（1）解：，且，故答案为：，；（2）， ， 在和中，()；（3）若时，当时， 此时不符合题意，舍去综上所述：的形状可以是以为腰的等腰三角形，此时【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等
25、三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24【概念认识】在四边形中，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”【初步思考】（1）如图，在四边形中，点P在边上且是四边形的“映角点”若，则的度数为 ；【综合运用】（2）如图，在四边形中，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E求证：【答案】（1）60；（2）见解析；见解析【分析】（1）根据“映角点”可得：，根据平行线的性质可得，根据外角性质可得，易得为等边三角形，继而即可求解；（2
26、）根据“映角点”可得：，根据平角可得，等角代换即可求解； 由得，根据四边形的内角和可得，根据平角可得，等角代换即可求解【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：60；（2）证明：，证明：，【点睛】本题是四边形综合题，考查了新概念四边形的“映角点”、平行线的性质、三角形的外角性质、四边形内角和、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握新概念四边形的“映角点”是解题的关键25在和中，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接(1)如图1，当时，求的度数；(2)如图2，当，时，试说明与的位置关系；(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，P，Q分别为和上的动点，请直接写
27、出周长的最小值【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可；（2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可；（3）首先将沿对称至，对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论【详解】（1）解：，恰好平分，在和中，；（2）证：，恰好平分，为等边三角形，与互为补角，即：，在和中，；（3）解：由（2）可知，恰好平分，垂直平分，如图所示，将沿对称至，沿对称至，且，分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，且、两点重合，此时，周长的最小值即为的长度，由（2）可得，由对称的性质可得：，为等边三角形，为等边三角形，此时，过点作，交于点，如图所示，为等边三角形，由（2）知，在和中，即：，周长的最小值为4【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键