1、第3章圆的基本性质一、单选题（共30分）1若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（）ABCD2已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（）A2cmB4cmC5cmD8cm3如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（）ABCD4下列命题中，错误的是（）A平分弦的直径垂直于弦B圆的两条平行弦所夹的弧相等C任意一个三角形有且只有一个外接圆D直径是圆中最长的弦5一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心到水面的距离是（）A4B3C2D16（2023秋浙江台州九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，则下列结论不一定成立的是（）ABCD7（202
2、2秋浙江绍兴九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（）AB8CD8（2022秋浙江衢州九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，已知，弧的度数为，则的最小值为（）A10BCD59（2023春浙江台州九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（）ABCD10（2022秋浙江温州九年级温州绣山中学校考期中）已知点，在上，把
3、劣弧沿着直线折叠交弦于点若，则的长为（）AB9CD二、填空题（共21分）11（2022秋浙江绍兴九年级校考期中）在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在 （填“内”、“上”或“外”）12（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 13（2022秋浙江宁波九年级统考期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 14（2023秋浙江杭州九年级统考期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm（结
4、果保留）15（2023秋浙江九年级期末）如图，在中，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为 16（2023秋浙江温州九年级期末）如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .17（2022秋浙江宁波九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点在点整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 三、解答题（共49分）18（本题6分）（2022秋浙江宁波九年级统考期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于E，连接AC，OC，BC（1）求证：1=2；（2）若，求O的半径的长19
5、（本题8分）（2022秋浙江杭州九年级校考期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R(1)若，求：_（用R的代数式表示）；的半径长(2) 求证：20（本题8分）（2022秋浙江丽水九年级校考期中）我们在学习了浙教版数学九年级上册探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；探究一：(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是_(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为_(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？探究二
6、：(3) 若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为_21（本题8分）（2020秋浙江杭州九年级校考期中）如图，四边形是的内接四边形平分，连接(1)求证：；(2)若，求的度数22（本题9分）（2022秋九年级统考期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，求的直径23（本题10分）（2023秋浙江湖州九年级统考期末）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”(1)如图2，是O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接是弧的“幸运角”吗？请说明理由；设弧的度数为n，请用含
7、n的式子表示弧的“幸运角”度数；(2)如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，求的长第3章圆的基本性质一、单选题（共30分）1若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（）ABCD【答案】C【分析】根据扇形的面积计算公式计算即可【详解】解：由题意得：故选C【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键2已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（）A2cmB4cmC5cmD8cm【答案】B【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可【详解】解：的半径为4cm，点P在上，故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离
8、，则有：点P在圆外时，；点P在圆上时，；点P在圆内时，3如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（）ABCD【答案】B【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接，则，四边形是的内接四边形，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角4下列命题中，错误的是（）A平分弦的直径垂直于弦B圆的两条平行弦所夹的弧相等C任意一个三角形有且只有一个外接圆D直径是圆中最长的弦【答案】A【分析】利用垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关定义及性质分别判断
9、后即可得出答案【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误；B、圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确；C、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；D、直径是圆中最长的弦，正确；故选：A【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质，属于中考常考题型5一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心到水面的距离是（）A4B3C2D1【答案】B【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可【详解】解： 是圆心到水面的距离， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出
10、是解决问题的关键6（2023秋浙江台州九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，则下列结论不一定成立的是（）ABCD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可【详解】解：是的直径，弦垂直于点，而不一定成立，故选：B【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键7（2022秋浙江绍兴九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（）AB8CD【答案】C【分析】连接，由正方形性质可得，然后用勾股定理求出半径，再求出的长即可【详解】解：连接，正方形的边长为4，在中，在中，故选：C【点
11、睛】本题考查正方形的性质、圆的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关圆的性质，属于中考常考题型8（2022秋浙江衢州九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，已知，弧的度数为，则的最小值为（）A10BCD5【答案】D【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，即取得最小值的度数为，点是弧的中点，的度数为，又，是等边三角形，故选：D【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关
12、键9（2023春浙江台州九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】如图，连接，交于，连接，求解抛物线的顶点坐标坐标为：，即，再求解，可得，证明，可得在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，则当，三点共线时，最短，从而可得答案【详解】解：如图，连接，交于，连接，抛物线的顶点坐标坐标为：，即，当时，解得：，为的中点，而为的中点，在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，当，三点共线时，最短，此时，的最小
13、值为：，故选C【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，确定在以为圆心，半径为1的半圆周上运动是解本题的关键10（2022秋浙江温州九年级温州绣山中学校考期中）已知点，在上，把劣弧沿着直线折叠交弦于点若，则的长为（）AB9CD【答案】C【分析】取点D在上的对应点E，连接、，过C点作于F点，根据四边形内接于，有，根据根据折叠的性质有：，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再根据含30角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解【详解】取点D在上的对应点E，连接、，过C点作于F点，如图，四边形内接于，点D在上的对应点为点E，根据折叠的性质有：，是等腰
14、三角形，是直角三角形，在中，在中，（负值舍去），故选：C【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到，是解答本题的关键二、填空题（共21分）11（2022秋浙江绍兴九年级校考期中）在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在 （填“内”、“上”或“外”）【答案】外【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，即，即点A到圆心的距离大于圆的半径，点A在外故答案为：外【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径
15、为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则12（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心如图所示，则圆心是（2，1）故答案为：（2，1）【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”13（2022秋浙江宁波九年级统考期末）一个圆
16、内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 【答案】六【分析】根据正多边形的中心角计算即可【详解】解：设正多边形的边数为n由题意得，60，n6，故答案为：六【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角14（2023秋浙江杭州九年级统考期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm（结果保留）【答案】【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，即，故答案为：【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是
17、正确解答的前提15（2023秋浙江九年级期末）如图，在中，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为 【答案】/【分析】连接，证明，则，再求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得【详解】解：如图，连接，点D为的中点，在和中，故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，是重要考点，难度一般正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键16（2023秋浙江温州九年级期末）如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .【答案】【分析】如图作于，连接，交于解直角三角形求出，利用全等三角形的
18、性质证明，再利用三角形的中位线定理求出即可【详解】如图，作于，连接，交于是直径，点是的中点，设，则，（负根已经舍弃），故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型17（2022秋浙江宁波九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点在点整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 【答案】或或【分析】分：三种情况进行讨论，根据圆周角定理以及正方形的性质和勾股定理进行计算即可【详解】当时：连接，则：， 四边形为正方形，则：，；，三点共线，又
19、点分别在上，为正方形对角线的交点，；当时：如图，此时：，四边形为正方形，；当时，点作的垂线分别交于点， ，是直径，设，则，解得 或 （舍弃）， ，综上所述，所有满足条件的BF长分别为 或或故答案为：或或【点睛】本题考查正方形的性质和圆周角定理以及利用勾股定理解直角三角形熟练掌握正方形的性质，等弧所对的圆周角相等，对应的弦为直径以及勾股定理是解题的关键三、解答题（共49分）18（本题6分）（2022秋浙江宁波九年级统考期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于E，连接AC，OC，BC（1）求证：1=2；（2）若，求O的半径的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理
20、和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AOC是等腰三角形，即可求证（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径【详解】（1）证明：AB是O的直径，CDAB，=A=2又OA=OC，1=A12（2）AB为O的直径，弦CDAB，CD=6CEO90，CEED3设O的半径是R，EB=2，则OE=R-2在RtOEC中，解得：O的半径是【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算19（本题8分）（2022秋浙江杭州九年级校考期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R(1)若，求：_（用R的代数式表示）；的半
21、径长(2)求证：【答案】(1)；5(2)见解析【分析】（1）利用减去即可表示；连接，设的半径为在中，根据，构建方程即可解决问题；（2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可【详解】（1）解：设的半径为；连接，在中，解得（2）证明：连接，弦，四边形是圆内接四边形，【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添加常用辅助线是解题的关键20（本题8分）（2022秋浙江丽水九年级校考期中）我们在学习了浙教版数学九年级上册探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水
22、平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；探究一：(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是_(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为_(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？探究二：(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为_【答案】(1)(2)(3)货船能顺利通过此桥洞，理由见详解(4)【分析】探究一：（1）根据题目中所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；（3）把代入解析式求出即可；探究二：（4）设拱形所在圆的半径为，根据已知
23、条件和垂径定理以及勾股定理求出即可【详解】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，把代入解析式得：，解得：，函数表达式为，故答案为：（2）解：物线在水面中的倒影与抛物线关于轴对称，倒影所在抛物线函数表达式为，故答案为：（3）解：当时，货船能顺利通过此桥洞（4）解：如图所示，设，则，由垂径定理得，在中，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的应用和垂径定理，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式，当桥洞的拱形是圆弧时，关键是设出圆的半径根据垂径定理和勾股定理列出方程21（本题8分）（2020秋浙江杭州九年级校考期中）如图，四边形是的内接四边形平分，连接(1)求证：；(2)若，求的度数
24、【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平分，可得，再根据，可得，从而得到，即可（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用垂径定理，可得，可得到，即可求解【详解】（1）证明：平分，；（2）解：，平分，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理22（本题9分）（2022秋九年级统考期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，求的直径【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据
25、垂径定理即可得出结论；（2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可【详解】（1）证明：是直径，点D为的中点；（2）解：，在中，的直径为20【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键23（本题10分）（2023秋浙江湖州九年级统考期末）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”(1)如图2，是O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接是弧的“幸运角”吗？请说明理由；设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数；(2)如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，求的长【答案】(1)是弧的“幸运角”，理由见解析；用含n的式子表示弧的“幸运角”度数为n；(2)或【分析】（1）根据是O的直径，弦可得，从而得到，结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；根据圆周角定理可得，结合可得，结合内外交关系即可得到答案；（2）连接，由（1）可得，即可得到，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案；【详解】（1）解：是O的直径，弦，是弧的“幸运角”；弧的度数为n，弧的“幸运角”度数为n；（2）解：连接，弧的“幸运角”为，设，则有，解得：，或；【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线