1、第2章特殊三角形一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（）ABCD或2下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（）ABCD3如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（）ABCD4（2020秋浙江八年级期末）如图所示，是等边三角形，且，则的度数为（）ABCD5（2022秋浙江绍兴八年级统考期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（）A1B2C3D46（2023春浙江台州八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形
2、A的面积是（）A5B12C13D257（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，在中，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（）A4BC5D68（2022秋浙江金华八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等边中，已知，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（）AB4CD9（2023春浙江温州八年级校联考期中）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中若，则的值为（）AB2CD110（2021秋浙江温州八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的
3、，人们称它为“赵爽弦图”在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接若，则的长为（）AB2CD二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11（2022秋浙江杭州八年级校考期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为 度12（2021秋浙江杭州八年级期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，若，则的大小为 度13（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，在中，垂足为E，则的面积 14（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为 15（2022秋浙江丽水八年级校考期中）如图，图1是一个儿童滑梯，是滑梯的三根加
4、固支架（如图二），且和都垂直地面，是滑道的中点，小周测得米，米，米，通过计算，他知道了滑道长为 米.16（2019秋浙江湖州八年级校考期中）如图，有一个，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到离的距离等于 时，和全等.17（2022秋浙江金华八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等腰梯形中，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为 三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）18（本题6分）（2022秋浙江杭州八年级期末）在四边形ABCD中，B90，AB4，BC3，CD12，AD13（1）求
5、AC的长；（2）求四边形ABCD的面积19（本题8分）（2022秋浙江温州八年级校考期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上(1)请在图中作出关于直线成轴对称的(2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形20（本题8分）（2023秋浙江金华八年级统考期末）在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点，(1)求证：(2)若，求的长21（本题8分）（2022秋浙江丽水八年级校考期中）如图，和均为等腰直角三角形，点A、D、E在同一直线上，连接(1)求的度数；(2)求线段，之间的数量关系，并说明理由22（本题9分）（2022秋浙江金华八年级校考期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且(1
6、)求证：(2)求证：(3)若，求的周长23（本题10分）（2022秋浙江温州八年级校联考期中）在等腰中，是边上的高线，(1)求的长(2)若点是射线上的一动点，作于点，连接，当点在线段上是，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度；设交直线于点，连接，若，则长为_（直接写出结果）第2章特殊三角形一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（）ABCD或【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解【详解】，解得：，4是腰长时，三角形得三边分别为4、4、8，不能组成三角形；4是底边时
7、，三角形得三边分别为4、8、8，可以组成三角形，周长，所以三角形得周长为20故答案选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值的非负性和平方非负性的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出x、y的值是解此类题的关键2下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（）ABCD【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线
8、，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（）ABCD【答案】D【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解【详解】解：，添加，故选项不符合题意；添加，故选项不符合题意；添加，故选项不符合题意；添加，不能判定，故选项符合题意，故选：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键4（2020秋浙江八年级期末）如图所示，是等边三角形，且，则的度数为（）ABCD【答案】C【分析】易证，可得，
9、根据可以求得的度数，即可解题【详解】解：在和中，故选：【点睛】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为的性质，本题中求证是解题的关键5（2022秋浙江绍兴八年级统考期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】过点作，利用三角形内角和以及三个角的比求出各角的度数，再利用直角三角形中线定理求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求出，最后利用面积公式求解即可【详解】解：如图所示：过点作是边上的中线，故选B【点睛】本题主要考查三角形内角和，直角三角形中线定理以及含角的直角三角形的性质，运用内角和求各角的度数以及中线性质求解
10、面积是解决本题的关键6（2023春浙江台州八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（）A5B12C13D25【答案】D【分析】根据勾股定理和正方形的面积求解即可【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，另一条直角边的平方为，最正形A的积是25，故选：D【点睛】此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来.7（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，在中，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（）A
11、4BC5D6【答案】B【分析】过点A作于H，在上截取，证明，则，可得，由得到的最小值是的长，由勾股定理得到，根据等积法求出的长即可【详解】解：过A作于H，在上截取，的平分线交于点D，在和中，的最小值是的长，的最小值为故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键8（2022秋浙江金华八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等边中，已知，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（）AB4CD【答案】A【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程
12、求解即可【详解】解：设于G,交于H，是等边三角形，将沿折叠，点与点对应，设,， ，故选：A【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键9（2023春浙江温州八年级校联考期中）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中若，则的值为（）AB2CD1【答案】A【分析】根据勾股定理得到，找到的规律，列方程即可得到结论【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，图形类找规律，本题中找到的规律是解题的关键10（2021秋浙江温州八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个
13、大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接若，则的长为（）AB2CD【答案】C【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，求得与，进而由勾股定理求得结果【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M，是正方形，又，是等腰直角三角形，中，故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11（2022秋浙江杭州八年级校考期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为 度【答案】40【分析】根据直角三角形两锐
14、角互余进行求解即可【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为，故答案为：40【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键12（2021秋浙江杭州八年级期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，若，则的大小为 度【答案】80【分析】根据三角形的内角和得出B=180-BAC-C=20，由作图可得： 再根据等腰三角形两底角相等得出BAD=ADB=（180-B）2=80【详解】解：BAC=120，C=40， B=180-BAC-C=20， 由作图可得：AB=BD， BAD=ADB=（180-B）2=80， 故答案为：80【点睛】本题考
15、查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键13（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，在中，垂足为E，则的面积 【答案】【分析】先证明，作交的延长线于点F，由角平分线的性质得到，即可得到的面积【详解】解：，作交的延长线于点F，故答案为：【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理、平行线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键14（2022秋浙江宁波八年级校考期中）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为 【答案】3【分析】由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，的长【详解】解：设的长为则折叠后的图形是，又在中，根据勾股定理，得，
16、在中，根据勾股定理，得：，即，化简，得即的长为故答案为：3【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键15（2022秋浙江丽水八年级校考期中）如图，图1是一个儿童滑梯，是滑梯的三根加固支架（如图二），且和都垂直地面，是滑道的中点，小周测得米，米，米，通过计算，他知道了滑道长为 米.【答案】【分析】连接，过作于，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质得米，然后由勾股定理得米，即可解决问题【详解】解：如图，连接，过作于，米，米，（米），是滑道的中点，（米），（米），在中，由勾股定理得：（米），在中，由勾股定理得：（米），故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用、直
17、角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型16（2019秋浙江湖州八年级校考期中）如图，有一个，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到离的距离等于 时，和全等.【答案】5或10/10或5【分析】当或时，和全等，根据定理推出即可【详解】解：，当时，在和中，当时，在和中，故答案为：5或10【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有17（2022秋浙江金华八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等腰梯形中，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若
18、为等腰三角形，则的长为 【答案】4或或2【分析】分三种情况讨论：当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长【详解】解：如图1，当时，过点D作于点G，等腰梯形中，四边形是矩形，在和中，在中，是等腰直角三角形，在中，；如图2，当时
19、，等腰梯形中，；如图3，当时，等腰梯形中，在中，是等腰直角三角形，在中，；综上所述，CF的长为3或54或2故答案为：4或或2【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）18（本题6分）（2022秋浙江杭州八年级期末）在四边形ABCD中，B90，AB4，BC3，CD12，AD13（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积【答案】（1）5；（2）36【分析】（1）由勾股定理可得：，从而可得答案；（2）先证明是直角三角形，再利用四边形的面积等于
20、两个直角三角形的面积和，从而可得答案【详解】解：（1）B90，AB4，BC3，；（2）由（1）知，AC5，CD12，AD13，AC2+CD2AD2，是直角三角形，ACD90，AB4，BC3，B90，AC5，CD12，ACD90，四边形ABCD的面积是，即四边形ABCD的面积是36【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理逆定理的应用，算术平方根的含义，掌握以上知识是解题的关键19（本题8分）（2022秋浙江温州八年级校考期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上(1)请在图中作出关于直线成轴对称的(2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）
21、分别找到关于直线的对称点，然后顺次连接对称点即可；（2）与关于直线成轴对称，且，故的中点即为所求【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点20（本题8分）（2023秋浙江金华八年级统考期末）在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点，(1)求证：(2)若，求的长【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，最后利用等腰三角形的三线合一性质解答即可；（2）根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一性，最后利用勾股定理即可解答【详解】（1）解：连接，
22、是的高线，是的中线，在中，是等腰三角形，点是的中点，；（2）解：连接，作，垂足为，是的高线，是的中线，在中，是等腰三角形，在中，在中，在中，【点睛】本题考查了三角形中线的定义，高线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键21（本题8分）（2022秋浙江丽水八年级校考期中）如图，和均为等腰直角三角形，点A、D、E在同一直线上，连接(1)求的度数；(2)求线段，之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可知，由可求得的度数；（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，即，最后依据可得到、之间的
23、数量关系【详解】（1）解：和均是等腰直角三角形，在和中，是等腰直角三角形，；（2）解：，理由如下：同（1）的方法得，在等腰中，M为DE中点，【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质证明出是解答本题的关键22（本题9分）（2022秋浙江金华八年级校考期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且(1)求证：(2)求证：(3)若，求的周长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，再根据外角性质即可得出答案；（2）根据三线合一，可得；（3）根据勾股定理求出，由已知能推出，即可得出答案【详解】（1），垂直平分，（2），；（3）
24、在直角三角形中，垂直平分，的周长【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键23（本题10分）（2022秋浙江温州八年级校联考期中）在等腰中，是边上的高线，(1)求的长(2)若点是射线上的一动点，作于点，连接，当点在线段上是，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度；设交直线于点，连接，若，则长为_（直接写出结果）【答案】(1)，(2)或者；或【分析】（1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长；（2）分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可；分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解【详解】（1）解：，；（2）解：分两种情况：当时，则，当时，在和中，综上，或者；17或41，分两种情况：当在线段上，连接，得，是等腰三角形，；当在射线上，连接，同理可得，综上，的长为或【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键