1、第十七章勾股定理171勾股定理第1课时勾股定理(1)了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算重点勾股定理的内容和证明及简单应用难点勾股定理的证明一、创设情境，引入新课让学生画一个直角边分别为3 cm和4 cm的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长再画一个两直角边分别为5和12的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长你是否发现了3242与52的关系，52122与132的关系，即324252，52122132，那么就有勾2股2弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面
2、图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？拼图实验，探求新知1多媒体课件演示教材第2223页图17.12和图17.13，引导学生观察思考2组织学生小组合作学习问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法引导学生用拼图法初步体验结论生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明归纳验证，得出定理(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看
3、我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的用多媒体课件演示小组合作探究：a以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？b它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？c利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法想一想还有什么方法？师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦二、例题讲解【例1】填空题(1)在RtABC中，C90，a8，b15，则c_；(2)在RtABC中，B90，a3，b4，则c_；(3)在RtABC中，C90，
4、c10，ab34，则a_，b_；(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_；(5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为_cm，面积为_cm2.【答案】(1)17(2)(3)68(4)6，8，10(5)【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想【答案】或13三、巩固练习填空题在RtABC中，C90.(1)如果a7，c25，则b_；(2)如果A30，a4，则b_；(3)如果A45，a3，则c_；(4)如果c10，ab2，则b_；(5)如
5、果a，b，c是连续整数，则abc_；(6)如果b8，ac35，则c_【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12(6)10四、课堂小结1本节课学到了什么数学知识？2你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？3你还有什么困惑？本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理第2课时勾股定理(2)能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题重点将实际问题转化为直角三角形
6、模型难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题一、复习导入问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？师生行为：学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型教师深入到小组活动中，倾听学生的想法生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC12 m，BC5 m，AB是梯子的长度，所以在RtABC中，AB2AC2BC212252132，则AB13 m.所以至少需13 m长的梯子师：很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长由勾股定理可得a2c2b2或b2c2a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的
7、长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过师生共析：解：在RtABC中，根据勾股定理AC2AB2BC212225.因此AC2.236.因为AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过二、例题讲解【例1】如图，山坡上两棵
8、树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是_米，水平距离是_米分析：由CAB30易知垂直距离为2米，水平距离是6米【答案】26【例2】教材第25页例2三、巩固练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米，B60，则江面的宽度为_【答案】50米2某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度【答案】约480 m四、课堂小结1谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形2本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成
9、解答这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力第3课时勾股定理(3)1利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点3进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题重点在数轴上寻找表示，这样的表示无理数的点难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段一、复习导入复习勾股定理的内容本节课探究勾股定理的综合应用师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的
10、两个直角三角形全等你们能用勾股定理证明这一结论吗？学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结先画出图形，再写出已知、求证如下：已知：如图，在RtABC和RtABC中，CC90，ABAB，ACAC.求证：ABCABC.证明：在RtABC和RtABC中，CC90，根据勾股定理，得BC，BC.又ABAB，ACAC，BCBC，ABCABC(SSS)师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？教师可指导学生寻找像长度为，这样的包含在直角三角形中的线段师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，所以只需画出长为，的线段即可，我们不妨先来画出长为，的线段生：长为的线段是直
11、角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2b2c2，即a2b213.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即1349，a24，b29，则a2，b3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点生：步骤如下：1在数轴上找到点A，使OA3.2作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB2.3以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点二、例题讲解【例1】飞机在空中水平飞行，某一
12、时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题解：根据题意，得在RtABC中，C90，AB5000米，AC4800米由勾股定理，得AB2AC2BC2，即50002BC248002，所以BC1400米飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400660504000(米)504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水
13、草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD3分米，CB6分米，ADAB，BCAD，所以在RtACB中，AB2AC2BC2，即(AC3)2AC262，AC26AC9AC236，6AC27，AC4.5，所以这里的水深为4.5分米【例3】在数轴上作出表示的点解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图：师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视指导此活动中，教师应重点关注以下两个方面：学生能否积极主动地思考问题；能否找到斜
14、边为，另外两条直角边为整数的直角三角形三、课堂小结1进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题2你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力17.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理(1)1掌握直角三角形的判别条件2熟记一些勾股数3掌握勾股定理的逆定理的
15、探究方法重点探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系难点归纳猜想出命题2的结论一、复习导入活动探究(1)总结直角三角形有哪些性质；(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？生1：如果三角形有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形生2：如果一个三角形，有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形师：前面我们刚学习了勾股定理，知道
16、一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：324252，那么围成的三角形是直角三角形画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52626.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm，7.
17、5 cm，8.5 cm，再试一试生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC3；同理BC4，AB5.因为324252，所以我们围成的三角形是直角三角形生2：如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5 cm的边所对的角是直角，并且2.52626.52.再换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以发现8.5 cm的边所对的角是直角，且有427.528.52.师：很好！我们通过实际操作，猜想结论命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形再看下面的命
18、题：命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.它们的题设和结论各有何关系？师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题二、例题讲解【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两条直线平行；(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(4)直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和
19、结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假解略三、巩固练习教材第33页练习第2题四、课堂小结师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？学生发言，教师点评本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩
20、固课堂知识的目的第2课时勾股定理的逆定理(2)1理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法2理解逆定理、互逆定理的概念重点勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念难点理解互逆定理的概念一、复习导入师：我们学过的勾股定理的内容是什么？生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？师生行为：让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路师：ABC的三边长a，b
21、，c满足a2b2c2.如果ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形ABC，使BCa，ACb，C90(如图)，把画好的ABC剪下，放在ABC上，它们重合吗？生：我们所画的RtABC，(AB)2a2b2，又因为c2a2b2，所以(AB)2c2，即ABc.ABC和ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，CC90，所以ABC为直角三角形即命题2是正确的师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定
22、理师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立师：你还能举出类似的例子吗？生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等显然原命题成立，而逆命题不一定成立二、新课教授【例1】教材第32页例1【例2】教材第33页例2【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子解：在ABD中，AB2AD291625BD2，所以ABD
23、是直角三角形，A是直角在BCD中，BD2BC225144169132CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角因此这个零件符合要求三、巩固练习1小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地小强在操场上向东走了80 m后，又走60 m的方向是_【答案】向正南或正北2如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，求甲巡逻艇的航向【答案】解：由题意可知：AC120612，BC5065，12252132.又AB13，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，CAB40，航向为北偏东50.四、课堂小结1同学们对本节的内容有哪些认识？2勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养