1、2024年高考数学复习试卷：导数一选择题（共8小题）1直线ykx+b是曲线在x2处的切线方程，则k+b（）ABCD2已知a1e0.2，其中e为自然对数的底数，则（）AcbaBbcaCbacDcab3已知函数f（x）ex1+f（1）x2+1，则f（2）（）Ae+2Be4Ce7De84（2023新高考）已知函数f（x）aexlnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）Ae2BeCe1De25若过点P（t，0）可以作曲线y（1x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A（0，4e3）B（，0）（0，4e3）C（，4e2）D（，0）（0，4e2
2、）6设函数，则（）A3BCD07已知函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）2xf（1）+lnx，则f（1）（）A1B1C2D28已知函数f（x）x3+ax2a2x（a0），则f（x）的极值点的个数为（）A1B2C3D0二多选题（共4小题）（多选）9（2023春武安市校级月考）已知函数f（x）（x25x+7）ex，则函数f（x）在下列区间上单调递增的有（）A（，1）B（1，2）C（2，+）D（1，+）（多选）10（2023常州模拟）已知函数yf（x）的导函数yf（x），且f（x）（xx1）（xx2），x1x2，则（）Ax2是函数yf（x）的一个极大值点Bf（x1）f（x2）C函数yf（x）在
3、处切线的斜率小于零D（多选）11（2023春儋州校级期末）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象大致如图所示，下列结论正确的是（）Af（x）在（，2）上单调递增Bf（x）在（1，5）上单调递增C曲线yf（x）在x2处的切线的斜率为0D曲线yf（x）在x2处的切线的斜率为4（多选）12（2023春辽宁期末）若函数f（x）lnx+ax2+bx既有极大值又有极小值，则（）Aa0Bb0Cb28a0Db28a三填空题（共5小题）13已知函数，则f（x）在上的最小值为 ，最大值为 14已知曲线ylnx与曲线有公切线l，则l的方程为 15设定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（x）ex1，则函数f（x）e
4、x在定义域内是 （填“增”或“减”）函数；若，则x的最小值为 16已知函数f（x）ex+1，则函数f（x）ex+1的图象在（0，f（0）处的切线方程为 17设曲线yaxln（x2+1）在点（0，1）处的切线方程为y2x+1，则a 四解答题（共5小题）18已知函数（1）讨论函数f（x）的零点的个数；（2）当m0时，若对任意x0，恒有，求实数a的取值范围19已知函数f（x）x3x2x+1（1）求函数f（x）在区间（2，2上的最值；（2）过点P（1，0）作曲线yf（x）的切线，求切线方程20已知函数，g（x）ex+ex（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数g（x）的单调区
5、间；（3）证明：任意x0，21已知函数（1）求出函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）x2f（x），求g（x）的最小值22已知函数f（x）ex+mx3nx2x（其中e为自然对数的底数），且曲线yf（x）在x1处的切线方程为yx（1）求实数m，n的值；（2）证明：对任意的xR，f（x）3x35x2+1恒成立参考答案解析一选择题（共8小题）1【答案】B【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值为切线斜率，进而把切点代入切线方程可求解b【解答】解：由，得，当x2时，故切点为，由于切点在ykx+b上，得k+b故选：B2【答案】A【分析】比较a，b的大小，可构造函数f（x）1extanx，0x1；
6、比较b，c的大小，可构造函数g（x）tanx+ln（1x），0x1然后求得导数和单调性，即可得到所求大小关系【解答】解：由a1e0.2，tan0.2，设f（x）1extanx，0x1，则f（x）ex，由于0x1，可得0ex1，1，即有f（x）0，则f（x）在（0，1）递减，可得f（x）f（0）0，则1extanx，即有ab；由btan0.2，ln0.8ln（10.2），可设g（x）tanx+ln（1x），0x1，g（x），由于0x1时，sinxx，可得sin2xxsin2xsinxsinx（sinx1）0，所以g（x）0，即g（x）在（0，1）递减，则g（x）g（0）0，即有tanxln（1x
7、），可得tan0.2ln（10.2），所以bc综上可得，abc故选：A3【答案】B【分析】根据导数运算公式求得函数f（x）的导数，令x1，求出f（1）1，再令x2即可求解【解答】解：f（x）ex1+2f（1）x，令x1可得，f（1）1+2f（1），解得f（1）1，所以f（x）ex12x，所以f（2）e4故选：B4【答案】C【分析】对函数f（x）求导，根据题意可得在（1，2）上恒成立，设，利用导数求出函数g（x）的最大值即可得解【解答】解：对函数f（x）求导可得，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x（1，2）时，g（x）0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，
8、则故选：C5【答案】D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点P（t，0），结合韦达定理可得x1x2的关系，进而可得y1y2的关系，再利用导数即可得出答案【解答】解：设切点，则切线方程为，又切线过（t，0），x01x0（tx0），有两个不相等实根x1，x2，其中，t1或t3，令g（t）（1t）et+1，t1或t3，g（t）tet+1，当t3时，g（t）0，当t1时，g（t）0，函数g（x）在（，3）上递增，在（1，+）上递减，又g（3）4e2，g（1）0，当t时，g（t）0，当t+时，g（t）+，g（t）（，0）（0，4e2），即故选：D6【答案】A【分析】根据导数的定义
9、以及导数运算公式求解【解答】解：因为，因为，所以f（1）1，所以3f（1）3故选：A【点评】本题主要考查导数的定义以及导数运算公式，属于基础题7【答案】A【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x1代入导函数中，列出关于f（1）的方程，进而得到f（1）的值【解答】解：f（x）2f（1）+，令x1，得到f（1）2f（1）+1，解得：f（1）1故选：A8【答案】B【分析】求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案【解答】解：由于f（x）x3+ax2a2x（a0），故f（x）3x2+2axa2（x+a）（3xa），当a0时，则时，f（x）0，时，f（x）0，故f（x）在上
10、单调递增，在上单调递减，故xa是函数的极大值点，是函数的极小值点，同理判断当a0时，是函数的极大值点，xa是函数的极小值点，故f（x）的极值点的个数为2故选：B二多选题（共4小题）9【答案】AC【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案【解答】解：因为f（x）的定义域为R，所以f（x）（x25x+7+2x5）ex（x23x+2）ex（x1）（x2）ex，令f（x）0得：x2或x1，所以f（x）在区间（，1），（2，+）上单调递增故选：AC10【答案】AB【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，导数的几何意义分别检验各选项即可判断【解答】解：令f（x）0，解得x1xx2，令f（x）0，解
11、得xx2或xx1，则f（x）在（x1，x2）上单调递增，在（，x1），（x2，+）上单调递减，故x2是函数yf（x）的一个极大值点，f（x1）f（x2），A、B正确；，则，故函数yf（x）在处切线的斜率大于零，C错误；又，则，但无法确定函数值的正负，D错误故选：AB11【答案】BD【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D【解答】解：由导函数f（x）的图象可知当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上单调递减，当1x2时，f（x）0，f（x）在（1，2）上单调递增，A错误；由图象可知当1x5时，f（x）0，f（x）在（1，5）上单调递增，B正确；由于f
12、（2）4，根据导数的几何意义可知yf（x）在x2处的切线的斜率为4，C错误，D正确，故选：BD12【答案】AC【分析】先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程2ax2+bx+10有两个不等的正根x1，x2，根据一元二次方程相关知识直接求解即可【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），因为若函数f（x）lnx+ax2+bx既有极大值又有极小值，所以方程2ax2+bx+10有两个不等的正根x1，x2，所以，解得a0，b0，b28a0，所以A和C正确，B和D错误故选：AC三填空题（共5小题）13【答案】；【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值【解答】解：由题意可得：，令f（x）0，解
13、得；令f（x）0，解得1x2；则f（x）在上单调递减，在（1，2上单调递增，所以当x1时，f（x）取到最小值；又因为，且，可得，所以当时，f（x）取到最大值故答案为：；14【答案】xy10【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解【解答】解：设直线与曲线ylnx相切于点（x1，lnx1），由ylnx，得，该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，由，得，该直线的方程为，即，则，消去x1得，令tx2，x20，t0，得，令，则，可得为增函数，最多一个零点，又，只有一个解t1，得x21，则该直线的方程为yx1，即xy10故答案为：xy1015【答
14、案】增 【分析】可知，令g（x）f（x）ex，求导利用导函数的正负即可判断单调性；再根据，可知，利用g（x）的单调性解不等式即可【解答】解：已知 f（x）ex1，则 ，令g（x）f（x）ex，x0，则g（x）f（x）exexex0，所以g（x）在（0，+）为增函数，即函数f（x）ex 在定义域内是增函数；，又，可得，由于g（x）在（0，+）为增函数，所以 ，解得 ，即x的最小值为 故答案为：增；16【答案】x+y20【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x0处的导数值，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）ex+1，得f（x）ex，则f（0）1，又f（0）2，函数f（
15、x）ex+1的图象在（0，f（0）处的切线方程为yx+2，即x+y20故答案为：x+y2017【答案】e2【分析】先对函数求导，根据导数几何意义求出函数yaxln（x2+1）在x0处的导函数值为切线的斜率【解答】解：，所以函数yaxln（x2+1）在x0处的导函数值为a0lna0lna，根据导数几何意义可得lna2，ae2故答案为：e2四解答题（共5小题）18【答案】（1）当时，函数f（x）无零点，当或m0时，函数f（x）有一个零点，当，函数f（x）有2个零点；（2）取值范围为，+）【分析】（1）由题意，将函数零点个数问题转化成函数与直线ym的交点个数问题，对函数g（x）进行求导，利用导数得到
16、函数g（x）的单调性和最值，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可；（2）将不等式转化成ax（eax+1）lnx2（x2+1）恒成立，构造函数h（x）（x+1）lnx，对函数h（x）进行求导，利用导数的几何意义得到函数h（x）的单调性，将问题转化成eaxx2恒成立，对等式两边同时取对数再求解即可【解答】解：（1）已知，函数定义域为（0，+），令，解得，不妨设，函数定义域为（0，+），可得，当0xe时，g（x）0，g（x）单调递增；当xe时，g（x）0，g（x）单调递减，所以当xe时，函数g（x）取得极大值也是最大值，最大值，又g（1）0，所以当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，此时当
17、，即时，函数g（x）与直线ym无交点，即函数f（x）无零点；当或m0，即或m0时，函数g（x）与直线ym有且仅有一个交点，即函数f（x）有一个零点，当，即时，函数g（x）与直线ym有两个交点，此时f（x）有两个零点，综上：当时，函数f（x）无零点，当或m0时，函数f（x）有一个零点，当，函数f（x）有2个零点；（2）当m0时，若对任意x0，恒有，即对任意x0，恒有ax（eax+1）lnx2（x2+1），不妨设h（x）（x+1）lnx，函数定义域为（0，+），可得h（x）lnx+，此时不等式满足h（eax）h（x2），不妨设k（x）lnx+，函数定义域为（0，+），可得k（x），当0x1，k（x
18、）0，k（x）单调递减；当x1，k（x）0，k（x）单调递增，所以h（x）k（x）k（1）20，所以函数h（x）在（0，+）上单调递增，因为h（eax）h（x2），所以eaxx2对任意x0恒成立，对等式两边同时取对数并整理得对任意x0恒成立，由（1）知，函数g（x）的最大值为，所以，解得a，故实数a的取值范围为，+）19【答案】（1）f（x）max3，无最小值；（2）y0或y4（x+1）【分析】（1）利用导数判断单调性，根据单调性求出最值即可；（2）讨论P是否为切点，根据导数的几何意义可求出切线方程【解答】解：（1）f（x）3x22x1，令当x在区间（2，2上变化时，f（x），f（x）变化如下
19、表：x21（1，2）2f（x）+00+f（x）903由上表知：f（x）maxf（2）3，无最小值，（2）P（1，0）在曲线上，若P（1，0）为切点，则切线的斜率kf（1）4，切线方程为y4（x+1），若P（1，0）不为切点，设切点为P0（x0，y0）（x1），则切线的斜率，又，x01，切点为p0（1，0）且切线的斜率kf（1）0，切线方程为y0综上述，切线方程为y0或y4（x+1）20【答案】（1）y3（2）单调递减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）（3）证明见解析【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率f（1），结合f（1）3可得切线方程；（2）求导后，根据g（x）的正负即可得到g
20、（x）的单调区间；（3）利用导数可求得f（x），g（x）的单调性，从而求得f（x）max，g（x）min，根据最值不同时取得可得到结论【解答】解：（1）因为，所以f（1）0，又f（1）3，所以f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y3（2）因为，所以当x（，0）时，g（x）0，当x（0，+）时，g（x）0，所以g（x）的单调递减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）（3）证明：由（2）得：当x0时，g（x）g（0）2，所以，因为，所以当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，所以f（x）在0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以f（x）f（1）3，又因为g（x）m
21、in与f（x）max不同时取得，所以当x0时，21【答案】（1）单调递减区间为（，0），（0，1），单调递增区间为（0，+）；（2）【分析】（1）先求出函数的定义域，求导，再根据导数的符号即可求得函数的单调区间；（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最小值【解答】解：（1）函数的定义域为（，0）（0，+），令f（x）0，则x0或0x1，令f（x）0，则x1，所以函数f（x）的单调递减区间为（，0），（0，1），单调递增区间为（0，+）；（2）g（x）x2f（x）xex，（x0），令h（x）xex，xR，则h（x）（x+1）ex，当x1时，h（x）0，当x
22、1时，h（x）0，所以函数h（x）在（，1）上单调递减，在（1，0），（0，+）上单调递增，所以，所以22【答案】（1）me，n2e（2）证明见解析【分析】（1）由已知得，代入求解即可；（2）由题知g（x）ex+（e3）x3（2e5）x2x1，求导研究函数的单调性证得g（x）0恒成立，即可证得结论【解答】（1）解：因为f（x）ex+mx3nx2x，所以f（x）ex+3mx22nx1则，解得me，n2e（2）证明：设g（x）f（x）（3x35x2+1）ex+（e3）x3（2e5）x2x1，则g（x）ex+3（e3）x22（2e5）x1，设h（x）g（x），则h（x）ex+6（e3）x2（2e5）
23、x1，设m（x）h（x），则m（x）ex+6（e3），当x（，ln（186e）时，m（x）0，当x（ln（186e），+）时，m（x）0，所以m（x）在（，ln（186e）上单调递减，在（ln（186e），+）上单调递增，即h（x）在（，ln（186e）上单调递减，在（ln（186e），+）上单调递增因为h（0）114e0，h（1）3e80，所以存在，使得h（x1）h（x2）0，故当x（，x1）（x2，+）时，h（x）0；当x（x1，x2）时，h（x）0，所以g（x）在（，x1）与（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，因为g（0）0，g（1）0，所以存在唯一的x3（x1，x2），
24、使得g（x3）0，所以当x（，0）（x3，1）时g（x）0，当x（0，x3）（1，+）时，g（x）0，则g（x）在（，0）与（x3，1）上单调递减，在（0，x3）与（1，+）上单调递增，故g（x）min是g（0）与g（1）中的较小值，因为g（0）0，g（1）0，所以g（x）0恒成立，即对任意的xRf（x）3x35x2+1恒成立法二：要证对任意的xR，f（x）3x35x2+1恒成立，即证（3e）x3+（2e5）x2+x+1ex10对xR恒成立，设g（x）（3e）x3+（2e5）x2+x+1ex1，g（x）x（3e）x2（145e）x+114eexx（x1）（3e）x（114e）ex，令 g（x）0x10，x31，当x变化时，g（x）、g（x）变化如下表：（，0）0（0，）（，1）1（1，+）g（x）+00+0g（x）极大值0极小值极大值0所以g（x）maxg（0）g（1）0，故g（x）0得证