1、浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高一上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 下列函数与是同一个函数的是（ ）A B. C. D. 4. 若a，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们
2、从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A. B. C D. 6. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 设函数，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）A. 或B. 或C. D. 或二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ）A. 且B. 是偶函数C. 在定义域上是减函数D. 的值域为
3、10. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 设，且，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小值为B. 的最大值为1C. 的最小值为D. 的最大值为612. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ）A. 若为的“完美区间”，则B. 函数存在“完美区间”C. 二次函数存在“2倍美好区间”D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算：_.14. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进
4、行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前_小时进行消毒工作.15. 已知定义在R上的函数满足，若与的交点为，则_.16. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）当时，求不等式解集；（2）若命题，使得为假命题.求实数a的取值范围.18. 已知全集U为全体实数，集合，（1）在，这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和
5、；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.19. 已知定义在R奇函数，当时，（1）求的值；（2）求在R上的解析式；（3）若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.20. 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502
6、人，记列车载客量为（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.21. 已知函数.（1）若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性；（2）在（1）的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；（3）若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围.22. 已知.（1）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；（2）若在区间上最大值为M，最小值为N，且的最小值为1，求实数a的值；（3）若对恒成立，求实数a的取值范围.浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高一上期中数
7、学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】由已知可得，因为.故选：C.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，故选：A.3. 下列函数与是同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数的定义域、对应关系是否完全相同即可得答案【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同
8、，不是同一函数；对于B，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数的定义域为，定义域不同，与不是同一函数；对于D，对应关系不相同，不是同一函数.故选：B4. 若a，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对于充分性，利用基本不等式，可得证；对于必要性，可举反例，可得答案.【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即；当时，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的
9、图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，又因为当时，不符合图象，所以排除选项C，故选：B.6. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知f(x)在上是增函数，令，则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，据此列出不等式组即可求解【详解】由题意可知在
10、上为单调增函数，令，则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，解得故选：C7. 设函数，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得出的关系式，计算后代入上面得出的关系式即可【详解】由题意，则，所以故选：B.8. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）A. 或B. 或C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调和奇偶性，将不等式转化为当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围，同样当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围即可.【详解】解：当时，可以转换为，因为奇函数在上单调递增，则，在成立，则，
11、由于，在递减，则，又在上有解，则，；当时，由单调性和奇偶性可转换为：，在成立，则，当时，在，递增，则，又在有解，则，当时，在，递减，则，又在有解，则，综合得.综上，或.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ）A. 且B. 是偶函数C. 在定义域上是减函数D. 的值域为【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；对于
12、B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；对于D;的值域不可能取到0，D项错误.故选：AB10. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】将c改写成，利用和的单调性，分别与a，b比较大小.【详解】因为，又，是减函数，所以，即，故A正确；因为，又，是增函数，所以，即，故B不正确；由于，所以，故C正确；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正确.故选：ACD.11. 设，且，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小值为B. 的最大值为1C. 最小值为D. 的最大值为6【答案】AC【解析】【分
13、析】根据，且，结合基本不等式逐项求解最值即可判断正误.【详解】解：对于A选项：，当成立，故A正确；对于B选项：，由于，所以，当且仅当成立，故无最大值，故B错误；对于C选项，当时，又能取等号，故C正确；对于D选项，当成立，故最小值为6，故D错误.故选：AC.12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ）A. 若为的“完美区间”，则B. 函数存在“完美区间”C. 二次函数存在“2倍美好区间”D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应
14、区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，所以其值域为，又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，A错误；对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互倒数且，故函数存在完美区间，B正确；对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为当时，易得在区间上单调递减，两式相减，得，代入方程组解得，C正确.对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，若，由函数在内单调递减，则，解得；若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确.故选
15、：BCD.【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算：_.【答案】【解析】【分析】根据指数运算法则，直接求解即可.【详解】故答案为：.14. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前_小时
16、进行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根据题意求出参数a，当时,令，解不等式即可.【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为，又点在曲线上，所以，解得，因此含药量与时间 之间的函数关系式为，当时，令，即，即，解得故答案：1.15. 已知定义在R上的函数满足，若与的交点为，则_.【答案】10【解析】【分析】根据对称性可得图象的对称轴为直线，同样可得，则函数的图象也关于直线对称，故与的交点也满足对称性，即可得的值.【详解】解：由，得图象的对称轴为直线，又，即，所以函数的图象也关于直线对称，如图函数和函数的图象的5个交点的横坐标关于直线对称，根据对称性可得故答案为：1016. 若不
17、等式对任意的恒成立，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据不等式对和分类讨论，分别满足不等式对任意的恒成立，列式求解即可.【详解】解：当时，由得到在上恒成立，显然a不存在；当时，由，可设，由的大致图象，可得的大致图象，如图所示，由题意可知则，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为综上，的最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若命题，使得为假命题.求实数a的取值范围.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）按不含参的一元二次不等式求解；（2）转化为对恒成立问题求解，要注意讨论
18、二次项系数是否为0.【小问1详解】当时，原不等式为，令得， 又因为开口向上，所以不等式解集为或【小问2详解】 命题，使得为假命题，恒成立为真命题即：对恒成立当即时，恒成立，符合题意；当即时，应满足，综上所述：.18. 已知全集U为全体实数，集合，（1）在，这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）选条件，或， （2）【解析】【分析】（1）求出集合，再得出三个条件下集合，由，确定选条件，然后由集合的运算法则计算；（2）根据必要不充分条件的定义求解【小问1详解】由题知：集合，时，时，时，需选条件，此时，或，【小问2详解】 “
19、”是“”的必要不充分条件是B的真子集，且等号不同时取得，解得19. 已知定义在R的奇函数，当时，（1）求的值；（2）求在R上的解析式；（3）若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质即可代入求解，（2）根据奇函数的性质即可求解的解析式，进而可求上的解析式，（3）根据函数图象即可得交点个数，进而列不等式求解即可.【小问1详解】由于是奇函数，所以小问2详解】当,则，由于是奇函数，所以，故当时，因此【小问3详解】画出的图象如图1，进而可得的图象如图2，由图知：，解得或，即实数m的取值范围是20. 截至2022年10月，杭州地铁运
20、营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1），发车时间间隔为5分钟时的
21、载客量为550人 （2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元【解析】【分析】（1）由已知函数模型求出解析式，然后计算时的发车量；（2）由（1）的函数式求出该线路每分钟净收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函数的单调性求解后比较可得【小问1详解】当时，当时，设而，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.【小问2详解】当时当且仅当，即时等号成立.当时，单调递减，当时，取到最大为当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟净收益最大，最大值为116元21. 已知函数.（1）若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性；（2）在（1）的条件下，若函数在区间上的最
22、小值为，求实数m的值；（3）若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围.【答案】（1），证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（）根据偶函数可得，由单调性的定义即可证明单调性，（2）换元得二次函数，分类讨论即可求解最值，（3）换元，结合函数的单调性求最值即可求解.【小问1详解】由于为偶函数，代入得：故，对，当时，函数在上单调递增；【小问2详解】令，当时，在单调递增，所以，解得：无解；当时，解得：，综上所述：【小问3详解】为奇函数，又不等式在上有解，由平方差和立方差公式得：，令，而在上单调递增，所以，22. 已知.（1）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；（2）若在区间上的最大值为M，
23、最小值为N，且的最小值为1，求实数a的值；（3）若对恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可根据对称轴与区间的关系进行求解，（2）根据二次函数的性质即可知当t与关于对称轴对称时，最小，（3）根据式子特征构造函数，分离参数，根据单调性求最值即可.【小问1详解】因为在区间上不单调，【小问2详解】的对称轴为，要使达到最小，t与必关于对称轴对称，代入化简得：，由解得：【小问3详解】方法一，令，而为偶函数，且在单调递增，对恒成立，参变量分离得：，令，当时，的最小值为同理：，的最大值为，综上所述：方法二：，令，而为偶函数，且在单调递增，对恒成立，且对恒成立，令，解得：；令，当时，；当时，无解；当时，综上所述：