1、江苏省南通市如东县2022-2023学年高二上10月阶段测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 过，两点的直线的倾斜角是（ ）A. 45B. 60C. 120D. 1352. 设aR，则“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 4. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形
2、弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 36. 若直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有相同左、右焦点，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2
3、0分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）A. B. C D. 10. 已知，则下述正确的是（ ）A. 圆C的半径B. 点在圆C的内部C. 直线与圆C相切D. 圆与圆C相交11. 已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线C的方程为B. 点A到双曲线C的渐近线的距离为C. 若，则D. 若，则的外接圆半径为12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返
4、回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ） A. 椭圆长轴长为B. 线段AB长度的取值范围是C. 面积的最小值是4D. 的周长为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为_14. 经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_15. 已
5、知在平面直角坐标系中，点，点满足则当三点不共线时，面积的最大值为_16. 已知椭圆内一点，过点两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为_.四、解答题，本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 直线经过两条直线和的交点，且_（1）求直线的方程；（2）求直线与坐标轴围成的三角形面积试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分与直线平行，直线在轴上的截距为18. 已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方
6、程.19. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，试求的值.20. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与
7、x轴的正半轴交于A，以A为圆心的圆A：（x2）2+y2r2（r0）与圆O交于B，C两点（1）求的最小值；（2）设P是圆O上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求SPOMSPON的最大值21. 已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由22. 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，且的最小值为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且 ，当AOB的面积S最大
8、时，求的取值范围江苏省南通市如东县2022-2023学年高二上10月阶段测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 过，两点的直线的倾斜角是（ ）A. 45B. 60C. 120D. 135【答案】D【解析】【分析】求出斜率后，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角【详解】由已知直线的斜率为，所以倾斜角故选：D2. 设aR，则“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”得到
9、a2或a1，即得解.【详解】解：若a2，则直线l1：2x2y10与直线l2：xy40平行；若“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”，解得a2或a1，“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x（a1）y40平行”的充分不必要条件故选：A3. 点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.【详解】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为.故选：B4. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术
10、品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，设下焦点为，渐近线方程为，然后根据双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为求得即可.【详解】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即 ，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故选：B5. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】结合椭圆的定义求得的最小值【详解】，设椭圆的右焦点为，当在的正上方时，等号成立.故选
11、：D6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定曲线是半圆（右半圆），直线过定点，求出直线过点时的斜率，再求得直线与半圆相切时的斜率，由图形可得的范围【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，如图，作出半圆，当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为由图形可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A7. 已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，
12、然后通过几何意义求得最大值【详解】由，消去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，的最大值为故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和8. 已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由结合外角定理可得，然后可得，再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.【详解】因为，所以，所以所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得
13、：2+2可得由勾股定理知，代入上式可得整理得，即所以故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC10. 已知
14、，则下述正确的是（ ）A. 圆C的半径B. 点在圆C的内部C. 直线与圆C相切D. 圆与圆C相交【答案】ACD【解析】【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选：ACD11. 已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线C的方程为B. 点A到双曲线C的渐近线的距离为C. 若
15、，则D. 若，则的外接圆半径为【答案】ABD【解析】【分析】由离心率为，右顶点为求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可.【详解】由离心率为，右顶点为可得，故双曲线C的方程为，A正确；双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；由双曲线的定义，则或10，C错误；，则，的外接圆半径为，D正确.故选：ABD.12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直
16、径重合，下半圆与y轴交于点G若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ） A. 椭圆的长轴长为B. 线段AB长度的取值范围是C. 面积最小值是4D. 的周长为【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；，由椭圆性质可知，所以，B正确；记，则取，则，C错误；由椭圆定义知，所以的周长，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 已知直线l的倾斜
17、角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为_【答案】【解析】【分析】先设出所求直线和已知直线的倾斜角，利用直线的一般式方程得到已知直线的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直线的斜率，进而写出直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，且，所以，所以可得直线l的方程为，即故答案为：.14. 经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围【详解】解：如图，则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，又直线
18、倾斜角的范围是：，且 直线l的倾斜角的范围为故答案为：15. 已知在平面直角坐标系中，点，点满足则当三点不共线时，面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设，由可整理得到点轨迹为以为圆心，为半径的圆，可知当在圆心的正上方或正下方时，到的距离最大，由此可求得面积的最大值.【详解】设，则由得：，即，整理可得：，即，点轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：当在圆心的正上方或正下方时，到的距离最大，且为半径，.故答案为：.16. 已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设，由共线向量的坐标运算，得，由点差法
19、结合直线的斜率得出，两者比较可得的等式，从而求得离心率【详解】设，则，同理，在椭圆上，相减可得，即，则，同理可得，+得，又，故答案：【点睛】本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题四、解答题，本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 直线经过两条直线和的交点，且_（1）求直线的方程；（2）求直线与坐标轴围成的三角形面积试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按
20、第一个解答计分与直线平行，直线在轴上的截距为【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）选可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选，由点斜式求解即可；（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解【小问1详解】选直线经过两条直线和的交点，解得，即，直线与直线平行可设直线的方程，把代入可得，直线的方程为，选直线经过两条直线和的交点，解得，即，由题意可知直线的斜率存在，设为且，则过，代入可得，直线的方程，【小问2详解】在直线中，令可得，令可得，所以直线与坐标轴围成的三角形面积18. 已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的
21、标准方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由双曲线的定义可知，又，求得即可（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可【小问1详解】由题意，易知，且.在中，由双曲线的定义可知，即.双曲线C的两个焦点分别为，.又，故双曲线C的虚轴长为【小问2详解】由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为将点的坐标代入上述方程，得故所求双曲线的标准方程为19. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军
22、营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，试求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意作出图形，然后求出关于直线对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可；（2）将直线方程代入圆的方程并化简，进而结合韦达定理求得答案.【小问1详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径
23、为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则，又，联立解得：，即，所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.【小问2详解】过点A倾斜角为45的直线方程为：，设两个交点，联立，消去y得.由韦达定理， ，.20. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与x轴的正半轴交于A，以A为圆心的圆A：（x2）2+y2r2（r0）与圆O交于B，C两点（1）求的最小值；（2）设P是圆O上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求SPOMSPON的最大值【答案】（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）分析可得
24、B、C关于x轴对称，设出其坐标，由数量积的计算公式可得，结合x0的取值范围，分析可得答案；（2）设，求出直线PB，PC的方程，进而求出M，N点的横坐标xM，xN，则，故得到，结合2y12得到的最大值.【详解】（1）由对称性，设B（x0，y0），C（x0，y0），则x02+y024，所以（x02）2y02（x02）2（4x02）2（x01）22，因为2x02，所以当x01时，取得最小值为2（2）设P（x1，y1）（y1y0），则x12+y124，直线PB、PC的方程分别为PB：yy1（xx1），PC：yy1（xx1），分别令y0，得xM，xN，所以4，于是，因为2y12，所以当y12或y12时，
25、取得最大值为4.【点睛】关键点点睛：由点在圆上，得到点的坐标满足圆的方程即，利用变量代换思想进行求解.21. 已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）曲线为椭圆，标准方程为： （2）存在定点，使得恒成立.【解析】【分析】（1）设，根据其到定点的距离和到定直线的距离的比是可得到等式，化简整理可得结果；（2）当直线与轴垂直时，可知必在轴上；当直线与轴垂直时，设，可求得；则若存在定点满足题意，则必是；当直线斜率存在时，设
26、，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，并得到；设点关于轴的对称点为，由可得三点共线，由此可得成立；综合上述情况可得结论.【小问1详解】设，则，整理可得：，曲线为椭圆，标准方程为：.【小问2详解】当直线与轴垂直时，即，由椭圆对称性可知：，点在轴上；当直线与轴垂直时，即，则，若存在定点，则由知：点在轴上，可设，由得：，解得：（舍）或，；则若存在定点满足题意，则点坐标必然是，只需证明当直线斜率存在时，对于，都有成立即可.设，由得：，其中恒成立，设点关于轴的对称点为，则，即三点共线，；综上所述：存在定点，使得恒成立.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的存在类问题的求解，本题求解定点的基本思路
27、是通过特殊位置首先确定所求定点的坐标，进而证明所得定点坐标对于任意情况均成立，从而证得定点存在.22. 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，且的最小值为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且 ，当AOB的面积S最大时，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意，根据长轴与短轴的定义，根据数量积的坐标表示以及二次函数的最值，求出参数，可得答案；（2）由题意，联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出点的坐标，整理动点轨迹方程，可得所求的函数解析式，根据基本不等式，可得答案.【小问1详解】设点，由题意知，则，由，则当时，取得最小值，即，则，所以，故椭圆的方程为.【小问2详解】设，由题意，可得为的中点，由，得，所以，点到直线的距离，取得最大值，当且仅当即，此时，即，代入式整理得，即点的轨迹为椭圆且点为椭圆的焦点，所以，设，从而，当且仅当时，等号成立，.T的取值范围是