1、江苏省镇江市丹阳市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一填空题（共12小题，每小题2分，共24分）1. 方程的根是_ 2. 若，则_3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_4. 若，与的相似比为2：3，则_5. 圆的半径为，圆心到弦的距离为，则_6. 已知线段l的长度为，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，则_7 如图，ADEACB，已知A40，ADEB，则C_8. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为_9. 如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域40m长的篱笆围成一个面积为
2、384m2矩形花园设宽ABm，且ABBC，则_m10. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，已知AD=5，BD=4，那么BC=_11. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，4)，B(3，0)，以A为圆心，2为半径作A，点P为A上一动点，M为OP的中点，则BM的最大值为 _12. 如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且下列结论：，；图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是_ 二选择题（共6小题，每小题3分，共18分）13. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A 5（x1）3xB. C. D. 14. 在比例尺为1：1000的地图上，量得甲、乙两地
3、的距离是3cm，则两地的实际距离是（）A. 3mB. 30mC. 300mD. 3000m15. 已知的半径为， 则点A和的位置关系是（ ）A. 点 A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 无法确定16. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（ ）A. B. C. D. 17. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，若，则EF的长为（ ）A. B. C. D. 18. 我们知道，重心就是三条中线AD、BE、CF的交点G，如图1，其中，如图2，中，将绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别、，与的最大值最接近
4、的是（ ）A. 5.5B. 6.5C. 7.5D. 8.5三解答题（共10小题，总分78分）19. 解方程：（1）；（2）20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取满足条件的最大整数时，求出此时方程的两个根21. （1）请借助网格和一把无刻度直尺找出ABC外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆O的面积22. 如图，是的直径，点A，C在上，交于点G若，求的度数23. 如图，的直径与弦交于点E，求的长 24. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且（1）求证：；（2）若，求长25. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双
5、重利好，东部华侨城景区在2020年春节长假期间共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时（其中售价不超过20元），店家此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？26. 如图，在中，边，高，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上求这个正方形
6、的边长27. 某牧场准备利用现成的一堵“L”形的墙面（粗线ABC表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为34米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽1米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2）（1）当点F在线段上时，设的长为x米，则_米；（用含x的代数式表示）若围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的的长；（2）用现有的篱笆所围成的饲养场的面积能否为96平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由28. 【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中
7、点，根据画出的图形，可以猜想： ，且对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程（2）【定理应用】如图，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，则_（3）如图，在中，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点当时，_江苏省镇江市丹阳市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一填空题（共12小题，每小题2分，共24分）1. 方程的根是_ 【答案】【解析】【分析】原方程直接开平方即可变形为，从而求得方程的解【详解】解：直接开平方得，解得，即，故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，熟记一元二次方程有两个相同解的情况，两个解相同，不要误认
8、为是有一个解是解决问题的关键2. 若，则_【答案】【解析】【分析】将转化为，再令，将x和y用k来表示即可进行求解【详解】解：，令，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_【答案】4【解析】【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可【详解】解：根据题意得，解得m=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键4. 若，与的
9、相似比为2：3，则_【答案】4：9【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答【详解】解：，与的相似比为2：3，故答案为4：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键5. 圆的半径为，圆心到弦的距离为，则_【答案】6【解析】分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得 ，然后利用勾股定理求出，即可求解【详解】解：根据题意画出如下图形，半径 ， ，则 ，半径 ， ， ，在 中，由勾股定理得：，故答案为：6 【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理得到是解题的关键6. 已知线段l的长度为，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，则_【答案】【解析
10、】【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，即可求解【详解】解：如图，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，故答案为：【点睛】此题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键7. 如图，ADEACB，已知A40，ADEB，则C_【答案】28【解析】【分析】根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：ADEACB，AEDB，ADEC，ADEB，CB，B4C，A40，A+B+C180，C28故答案为：28【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的对应角相等是解题
11、的关键8. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为_【答案】(6,0)【解析】【详解】解：过点P作PMAB于M，则M的坐标是（4，0）MB=MA=4-2=2，点B的坐标为(6,0)9. 如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园设宽ABm，且ABBC，则_m【答案】16【解析】【分析】根据m可知m，再根据矩形的面积公式即可得出结论；【详解】解：由题意得：即：解这个方程得：ABBCm故答案为16【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能利用数形结合列出方程是解答此
12、题的关键10. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，已知AD=5，BD=4，那么BC=_【答案】6【解析】【分析】证明BDCCBA，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可【详解】解：CDAB，BDC=90，BDC=BCA，B=B，BDCBCA，即，解得：BC=6(负值已舍)，故答案为：6【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键11. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，4)，B(3，0)，以A为圆心，2为半径作A，点P为A上一动点，M为OP的中点，则BM的最大值为 _【答案】3.5【解析】【分析】在x轴上取一点E
13、（6，0），连接PE由OMPM，OBBE，推出BMPE，因为点P在A上运动，所以P在EA的延长线上时，可以取得最大值，最大值EP5+27，由此即可解决问题【详解】解：在x轴上取一点E（6，0），连接PEB（3，0），A（3，4），OBBE3，AE5，OMPM，OBBE，BMPE，点P在A上运动，P在EA的延长线上时，可以取得最大值，最大值EP5+27，BM的最大值为3.5故答案为：3.5【点睛】本题主要考查圆的动点问题、三角形的中位线定理、勾股定理等；掌握勾股定理、三角形的中位线定理并结合圆的动点问题进行分析是解题的关键12. 如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、
14、，且下列结论：，；图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是_ 【答案】【解析】【分析】证明，即可解决问题；证明即可；证明，即可；证明，得到即可，根据相似三角形的判定证明、即可【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，四边形是正方形，在和中，故正确；，在和，故正确；，故正确；，故正确，又，由可知：，又，由可知：，又，由可知：，故错误，故答案为： 【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键二选择题（共6小题，每小题3分，共18分）13. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 5（x1）3xB.
15、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【详解】解：A方程变形为，它的未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此项不符合题意；B方程不是整式方程，它不是一元二次方程，故此项不符合题意；C方程符合一元二次方程定义，它是一元二次方程，故此项符合题意；D方程有两个未知数，它不是一元二次方程，故此项不符合题意故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简
16、后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是214. 在比例尺为1：1000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则两地的实际距离是（）A. 3mB. 30mC. 300mD. 3000m【答案】B【解析】【分析】根据“比例尺图上距离：实际距离”列比例式计算即可【详解】解：设甲、乙两地间的实际距离为，则，解得：，故选：B【点睛】本题主要考查了比例尺的概念、比例的性质等知识点，根据比例尺的定义正确列式是解答本题的关键15. 已知的半径为， 则点A和的位置关系是（ ）A. 点 A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】通过比较线段与半径的大小关系，确定点与的
17、位置关系即可【详解】解：的半径为2 ， 点到圆心的距离大于半径点在圆外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系；熟练运用点到圆心的距离与圆半径的大小关系，来判断点与圆的位置是解决此类问题的关键16. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心【详解】解：如下图，点G（4，2）即为所求的位似中心故选：D【点睛】本题主要考查了位似中心的概念、坐标与图形等知识，熟练掌握位似中心的概念是解题关键17. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、B
18、C于点E、F，垂足为O，若，则EF的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设CFx，则BF4x，利用勾股定理列方程：x232+（4x）2，求出x的值，再利用勾股定理计算OF的长，由全等证明OEOF，从而得出EF2OE【详解】解：设CFx，则BF4x，EF是AC的中垂线，FCAFx，在RtEDC中，x232+（4x）2，x，AFCF，四边形ABCD是矩形，ADC90，在RtADC中，AC5，OCAO，在RtFOC中，FO，ADBC，DACACB，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），OEOF，EF2OF2，故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全
19、等三角形的性质和判定、勾股定理，在矩形中，通常设未知数，利用勾股定理列方程可求得线段的长，并熟练掌握矩形的性质18. 我们知道，的重心就是三条中线AD、BE、CF的交点G，如图1，其中，如图2，中，将绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别、，与的最大值最接近的是（ ）A. 5.5B. 6.5C. 7.5D. 8.5【答案】B【解析】【分析】连接AG并延长交BC于点E，然后利用重心的性质和已知条件求出AG的长度和CG的长度再以点G为圆心，OG为半径作圆，连接CG并延长交G与点F，此时CF的长度即为的最大值【详解】解：连接AG并延长交BC于点E，点G为的重心， ， ，以点G为圆心，OG为半径作圆，
20、连接CG并延长交G与点F，交AB于点H，此时CF的长即为CA1的最大值，点G是的重心，故选：B【点睛】本题考查了三角形的重心、旋转的性质，解题的关键是通过旋转的性质作出点A1到点C最远时候的位置三解答题（共10小题，总分78分）19. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可【小问1详解】解：，；【小问2详解】，【点睛】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题关键20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取满足条件的最大整数时，求出此时方程的
21、两个根【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据根与判别式的关系列出不等式，即可得到答案；（2）由（1）得到k值，代入求解即可得到答案【小问1详解】解：由题意可，方程有两个不相等的实数根， ，解得：，；【小问2详解】解：由（1）得，满足条件的最大整数是，代入可得，或【点睛】本题考查一元二次方程与判别式的关系及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当判别式大于0时，方程有两个不相等实数根21. （1）请借助网格和一把无刻度直尺找出ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆O的面积【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出
22、点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB，外接圆O的面积为：（）210【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键22. 如图，是的直径，点A，C在上，交于点G若，求的度数【答案】的度数为【解析】【分析】根据圆周角定理得到，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数【详解】解：是的直径，所以的度数为【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所
23、对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径23. 如图，的直径与弦交于点E，求的长 【答案】【解析】【分析】如图，过O作，交于点F，连接；由垂径定理可得，再根据题意求得圆的直径，则半径，进而求得；然后根据直角三角形的性质可得,再根据勾股定理可求得，最后结合即可解答【详解】解：如图，过O作，交于点F，连接， F为的中点，在中，在中，根据勾股定理得：，则【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键24. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）12【解析】【分析】（1）根据平
24、行四边形的性质，推出，即可进行证明；（2）根据平行四边形对边相等，相似三角形对应边成比例，即可进行求解【小问1详解】证明：四边形为平行四边形，【小问2详解】，即，解得：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法以及相似三角形对应边成比例25. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，东部华侨城景区在2020年春节长假期间共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，
25、每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时（其中售价不超过20元），店家此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【答案】（1）20% （2）20元【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对
26、方程的解作出取舍即可【小问1详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：，解得：，（舍）答：年平均增长率为20%；【小问2详解】解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：，整理得：，解得：，售价不超过20元，答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键26. 如图，在中，边，高，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上求这个正方形的边长【答案】【解析】【分析】由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的
27、比等于相似比，列方程求x的值【详解】解：如图， 记的交点为 设正方形的边长为，正方形，而高， ，即， 解得 正方形的边长为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解27. 某牧场准备利用现成的一堵“L”形的墙面（粗线ABC表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为34米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽1米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2）（1）当点F在线段上时，设的长为x米，则_米；（用含x的代数式表示
28、）若围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的的长；（2）用现有的篱笆所围成的饲养场的面积能否为96平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由【答案】（1）；饲养场的宽的长为11米； （2）宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积为96平方米【解析】【分析】（1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长；利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合不超过9米，即可得出饲养场的宽的长为11米；（2）分情况讨论，点F在线段上和点F在线段的延长线上讨论即可【小问1详解】解：设的长为x米，则（米）故答案为：依题意得：，整理得：，解得：，当时，不合题意，舍
29、去；当时，符合题意答：饲养场的宽的长为11米【小问2详解】解：设饲养场的面积为S，的长为x米，点F在线段上，则，整理可得：，解得：，当时，不合题意，舍去；当时，不合题意，舍去当点F在线段上时，面积不能达到96平方米；点F在线段的延长线上，则，时，符合题意，综上，宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积为96平方米【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键28. 【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）【定理证明】请根据教材内容，结合图，写
30、出证明过程（2）【定理应用】如图，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，则_（3）如图，在中，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点当时，_【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立；（2）根据（1）的结论推出，根据即可求解；（3）取AB的中点G，求得，根据（1）的结论得到，利用勾股定理即可求解.【小问1详解】证明：点D、E分别是与的中点，且；【小问2详解】解：M、N、P分别为的中点，故答案为：；【小问3详解】解：如图，取AB中点G，连结， ，M、N分别为的中点，MN=，故答案为：【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，属于考试压轴题