1、江苏省扬州市邗江区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 下列关于x方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ）A B. C. D. 3. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）A. -2B. 2C. -3D. 35. 已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）A. P点B. Q点C. M点D. N点6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三点确定一个圆；B. 正五边形是中心对称图形；
2、C. 等弧所对的圆心角相等D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等7. 如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（ ）A. 已知的三条中位线的长度B. 已知的面积C. 已知的长度及D. 已知长度，以及的长度和二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_10 若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20的常数项为0，
3、则m的值等于_11. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的外接圆半径的长为_12. 如图，是的外心，且ABC=40，ACB=70，则_13. 如图，PA与O相切于点A，PO与O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若P=26，则C的度数为_14. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为_15. 已知m为方程的根，那么的值为_16. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_17. 如图所示，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能
4、作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_18. 如图，在等腰中，点O是边中点，的半径为1，点P是边上一动点，则由点P到的切线长的最小值为_三、解答题（本大题共有10小题，共96分解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）19. 用适当的方法解下列方程：（1）；（2）20. 如图，半圆O的直径AB=8，半径OCAB，D为弧AC上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为E、F，求EF的长21. 已知关于x的一元二次方程（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根22. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A=105，BD=CD（1）求DBC的度数；（2
5、）若O的半径为3，求的长23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）（1）在图中利用直尺画出ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；（2）求ABC外接圆的面积；（3）若点E的坐标（6，0），点E在ABC外接圆 （填“圆内”“圆上“或“圆外”）24. 2019年12月，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病举国上下众志成城，全都隔离在家小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤在销售过程中，她还发
6、现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？25. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接（1）求直径的长；（2）若，计算图中阴影部分的面积26. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题；例题：求代数式最小值 解：， ，代数式的最小值为4（1）求代数式的最小值（2）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为的矩形已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），当x为多少时，矩形养殖场的总面积
7、最大？最大值为多少？27. 已知关于x的一元二次方程kx2（k5）x50（k0）（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1、x2，且 x1、x2都为整数，x11x2，求整数k的值；（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作M，与y轴交于C、D点P（a，1）在平面内运动若点P在M上，求a的值；若PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围28. 【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN若点P在折线段MQN上，MPPQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点（1）
8、【理解应用】如图2，O的半径为2，PA是O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点若APO30，则PB_；（2）如图3，O中，D是上一点，AHBD，垂足为H求证：点H是折线段BDC的中点；（3）【拓展提升】如图4，A，P，B，C是O上的四个点，ABAC2，求PBPC的值江苏省扬州市邗江区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义与一般形式判断选项即可【详解】解：A、当a0时才是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、此选项符合题意
9、； C、化简后为：，最高次幂为3次，故此选项不符合题意；D、有两个未知数，故此选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为： 2. 把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案【详解】，故选C【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键3. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与判别式
10、的关系，对选项逐个判断即可【详解】解：A、的判别式，无实数根，不符合题意；B、的判别式，有两个相等的实数根，不符合题意；C、的判别式，无实数根，不符合题意；D、的判别式，有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根4. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解【详解】设另一根为m，则1m=2，解得m=2故选B【点睛】
11、考查了一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系为：x1+x2=-，x1x2= 要求熟练运用此公式解题5. 已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）A. P点B. Q点C. M点D. N点【答案】D【解析】【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案【详解】解：平面内有一点到圆心O的距离为5，该点在圆外，点N符合要求故选：D【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三点确定一个圆；B. 正五边
12、形是中心对称图形；C. 等弧所对的圆心角相等D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等【答案】C【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【详解】解：A 不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误； B 正五边形是轴对称图形，故B错误；C 等弧所对的圆心角相等，正确； D 三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D错误故选C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理7. 如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由圆周角定理
13、得到DAB=BCD=36，然后根据是的直径确定ADB=90，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答【详解】解：是弦，若DAB=BCD=36是的直径ADB=90ABD=90-DAB=54故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键8. 如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（ ）A. 已知的三条中位线的长度B. 已知的面积C. 已知的长度及D. 已知的长度，以及的长度和【答案】D【解析】【分析】由题意，推出再一一判断即可【详解】解：，A、若已知的三条中位线的长度
14、，即可得到三边的长度，利用海伦公式是三角形的三边，可求得三角形的面积，即可得到的值，故本选项不符合题意；B、已知的面积，即可求得的值，故本选项不符合题意；C、如解图，过点A作于点D，在和中，据此即可求得的值，故本选项不符合题意；D、已知两边长度和，的长度不确定，的面积也不确定，不一定能求出的值，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题三角形综合题，考查了三角形的面积，圆等知识，解题的关键是学会用割补法求阴影部分的面积，本题的突破点是证明二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_【答案】1
15、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可【详解】解：关于x的一元二次方程的一个解是，故答案为：1【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键10. 若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20的常数项为0，则m的值等于_【答案】2【解析】【详解】试题分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0试题解析：把x=0代入（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0中得：m2-3m+2=0，解得
16、：m=1或m=2，m-10，m1，m=2考点：一元二次方程的解11. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的外接圆半径的长为_【答案】2【解析】【分析】连接OA，OB，先根据正多边形的性质求出AOB，再根据OA=OB判断出AOB是等边三角形即可得出结论【详解】解：连接OA，OB，AOB=60，OA=OB，AOB是等边三角形，OA=OB=2，即R=2故答案为2【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握正多边形的性质是解答本题的关键12. 如图，是的外心，且ABC=40，ACB=70，则_【答案】140#140度【解析】【分析】由三角形内角和为180，可知BAC=70，
17、又因为是的外心，则以O为圆心， OB为半径的圆是ABC的外接圆，根据圆周角定理，所以BOC=2BAC=140【详解】解：ABC=40，ACB=70，BAC=180-40-70=70，O是ABC的外心，以O为圆心，OB为半径的圆是ABC的外接圆，BOC=2BAC=140故答案为：140【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心以及圆周角定理，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半13. 如图，PA与O相切于点A，PO与O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若P=26，则C的度数为_【答案】32【解析】【
18、分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出O=64再根据圆周角的定理，求解即可【详解】解：连接OA，PA与O相切于点A，PAO=90，O=90-P，P=26，O=64，C=O=32故答案为：32【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出O的度数14. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为_【答案】1【解析】【分析】先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，即可求解【详解】解：，解得：，斜边边长为，直角三角形内切圆的半径是故答案为：1【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟
19、练掌握一元一次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键15. 已知m为方程的根，那么的值为_【答案】2023【解析】【分析】先把m代入方程，得到，再整体代入代数式，即可求出答案【详解】解：把m代入方程，得到，所以，即所以；故答案为：2023【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，是一个基础题16. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出
20、，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积【详解】解：连接，过点O作于点C，如图：由题意可知：，为等边三角形，阴影部分的面积为：；故答案为：【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键17. 如图所示，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_【答案】【解析】【分析】设的长为，根据扇形的弧长和半径最大的圆周长相等列出方程，解方程即可得解【详解】解：设的长为，则扇形的弧长为：，半径最大的圆周长为：，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，解方程得，故答案为：【点睛】本题考查了圆锥、矩形的性
21、质，解题关键在于理解圆锥的侧面展开图与圆锥底面圆之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长18. 如图，在等腰中，点O是边中点，的半径为1，点P是边上一动点，则由点P到的切线长的最小值为_【答案】【解析】【分析】先确定最小值时的位置为OP最短时，线段PQ最小，再利用勾股定理解题【详解】如图，连接OP，OQ，AO，与相切于点Q，当最短时，线段最小，当PO时，线段最小，点O是边的中点，即P到的切线长的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动态几何和勾股定理，转化线段的最小值，找到位置是解题的关键三、解答题（本大题共有10小题，共96分解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算
22、步骤）19. 用适当的方法解下列方程：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可【小问1详解】解：，移项得，配方得，即，；【小问2详解】解：，则，或，解得【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法20. 如图，半圆O的直径AB=8，半径OCAB，D为弧AC上一点，DEOC，DFOA，垂足分别
23、为E、F，求EF的长【答案】4【解析】【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论【详解】连接ODOCAB DEOC，DFOA，AOC=DEO=DFO=90，四边形DEOF是矩形，EF=ODOD=OAEF=OA=4【点睛】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形DFOE为矩形21. 已知关于x的一元二次方程（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）根据
24、判别式意义得到，然后解关于a的方程得到，则原方程变形为，然后利用配方法解此一元二次方程【小问1详解】根据题意得，解得，即实数a的取值范围为；【小问2详解】根据题意得，解得，原方程变形，即：，【点睛】点睛:本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根22. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A=105，BD=CD（1）求DBC的度数；（2）若O的半径为3，求的长【答案】（1）75；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得C的度数，然后根据等边对等角可得答案；（2）首先计算出
25、BDC的度数，再根据圆周角定理可得BOC的度数，进而可得的长解：（1）四边形ABCD内接于圆O，DCB+BAD=180，A=105，C=180105=75，BD=CD，DBC=C=75；（2）连接BO、CO，C=DBC=75，BDC=30，BOC=60，故的长l=点睛：本题是一道有关圆内接四边形的题目，结合题意，熟练运用圆周角定理，圆内接四边形的性质以及弧长公式是解决问题的关键.23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）（1）在图中利用直尺画出ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；（2）求ABC外接圆的面积；（3）若点E
26、的坐标（6，0），点E在ABC外接圆 （填“圆内”“圆上“或“圆外”）【答案】（1）图形见解析，D的坐标为（5,5）；（2）；（3）圆内【解析】【分析】（1）作线段AB及线段BC的垂直平分线，交点即为圆心D；（2）连接AD，利用勾股定理求出AD，再根据面积公式计算即可；（3）利用勾股定理求出DE的长，由此判断即可【详解】解：（1）如图，ABC的外接圆的圆心D的坐标为（5,5）；故答案为：（5,5）；（2）连接AD，AF=2，DF=5，ABC外接圆的面积为；（3）如图：作DGx轴于G，D的坐标为（5,5），DG=5，OG=5，点E的坐标（6，0），OE=6，GE=1，点E在ABC的外接圆的圆内【
27、点睛】此题考查三角形外接圆圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键24. 2019年12月，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病举国上下众志成城，全都隔离在家小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？【答案】小玲应该将售价定为5元【解析】【分析】设小玲应该将售价定为y元，则
28、每天可以卖出斤，根据总利润每斤的利润销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【详解】解：设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出斤，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去）答：小玲应该将售价定为5元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键25. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接（1）求直径的长；（2）若，计算图中阴影部分的面积【答案】（1）4 （2）6【解析】【分析】（1）设辅助线，利用直径、角平分线的性质得出的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论（
29、2）由（1）已知，得出的度数，根据圆周角的性质结合得出，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出的值，进而利用直角三角形面积公式求出，由阴影部分面积可知即为所求【小问1详解】解：如图所示，连接，为的直径，平分，即【小问2详解】解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，弦弦，劣弧劣弧为的直径，【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，
30、圆周角相等弧相等弦相等一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键26. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题；例题：求代数式的最小值 解：， ，代数式的最小值为4（1）求代数式的最小值（2）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为的矩形已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】（1）2； （2），【解析】【分析】（1）根据材料将所求的式子进行配方得，再根
31、据平方式的非负性得出最小值；（2）设矩形养殖场的总面积为，根据题意列出函数关系式及自变量的取值范围，根据二次函数的性质求最值即可【小问1详解】解：，代数式的最小值为2；【小问2详解】解：设矩形养殖场的总面积为，则，由题意得，解得，自变量x的取值范围是，当时，取得最大值，最大值为，答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【点睛】此题考查了求代数式的最小值、二次函数的应用，熟练掌握运用配方法求代数式与二次函数的最值是解答此题的关键27. 已知关于x的一元二次方程kx2（k5）x50（k0）（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1、x2，且 x1、x2都为整数，x11x2，求整数
32、k的值；（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作M，与y轴交于C、D点P（a，1）在平面内运动若点P在M上，求a的值；若PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围【答案】（1）证明见解析，（2）-1，（3）或；或或【解析】【分析】（1）根据根的判别式（k+1）20，即可证出方程有两个实数根；（2）求出方程的两个根，再根据x11x2，解不等式即可得出整数k的值；（3）由（2）求出A，B两点坐标，进而求出半径，作MN直线y=1于N，连接PM，根据勾股定理求出a的值；由可以直接得出a的取值范围【详解】（1）证明：在方程kx2（k5）x50（k0）中
33、，（k+5）24k5（k-5）20，方程有一定两个实数根（2）关于x的一元二次方程kx2（k5）x50（k0）的解为：，x11x2，解得，x1、x2都为整数，整数k的值为-1，（3）由（2）可得，则A（-1，0），B（5，0），以AB为直径作M，M点坐标为（2，0），圆的半径为3，作MN直线y=1于N，连接PM，a的值为或；AB为M直径，APB=90，当时，PAB为锐角三角形；当或时，PAB为直角三角形；当时，PAB为锐角三角形；当时，PAB为锐角三角形；综上，PAB为锐角三角形， a的取值范围为：或或【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，圆周角性质，勾股定理等知识，解题关键时熟练掌握相关
34、知识，准确运用一元二次方程根的判别式和圆周角性质以及勾股定理进行推理计算，注意分类讨论思想的运用28. 【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN若点P在折线段MQN上，MPPQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点（1）【理解应用】如图2，O的半径为2，PA是O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点若APO30，则PB_；（2）如图3，O中，D是上一点，AHBD，垂足为H求证：点H是折线段BDC的中点；（3）【拓展提升】如图4，A，P，B，C是O上的四个点，ABAC2，求PBPC的值【答案】（1）3 （2）证明见解析 （3）PBPC7【解析】【分析】（1）由切线的性质得出，由，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；（2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论；（3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值【小问1详解】解：是的切线，点是折线段的中点，故答案为：3；【小问2详解】解：延长到使，连接、，如图所示：，是等腰三角形，点是折线段的中点；【小问3详解】作于点，如图所示：由（2）可知为折线段中点，即，在中，在中，【点睛】本题考查圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键