1、江苏省苏州市姑苏区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1. 已知的半径为5，则点P与的位置关系是（ ）A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 无法判断2. 下列语句中，正确的是（ ）A. 长度相等的弧是等弧B. 在同一平面上的三点确定一个圆C. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等3. 如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，ACB=50，那么AB等于（）A. asin50B. atan50C. acos50D. 4. 如图，AB是O直径，C,D
2、是O上的两点，若ABC=70，则BDC的度数为（ ）A. 50B. 40C. 30D. 205. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面半径r6，高h8，则圆锥的侧面积是（ ）A. 15B. 30C. 45D. 607. 如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则周长是（）A. B. C. D. 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图在RtACB中，C90，ABC30，延长CB使BDAB，连接AD，得D15，所以tan15类比这种方法，计算tan22.5的值为（）A. B. 1C.
3、D. 9. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3cm，则滑轮上的点F旋转了（ ）A. 60B. 90C. 120D. 4510. 如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，.当时，等于（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填在答题卷相对应位置上）11. 中，则的值为_12. 如图，在中，是直径，是弦，于M，则的长为_13. 如图，O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则AOC=_度
4、14. 如图，O的弦AB、半径OC延长交于点D，BDOA若，则D的度数是_15. 如图，三圆同心于O，于O，则图中阴影部分面积为_cm216. 如图，点A、B、C为正方形网格中的3个格点，则sinACB_.17. 如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为_18. 如图，的半径为2，定点P在上，动点A，B也在上，且满足，C为的中点，当点A，B在圆上运动时，线段的最大值为_三、解答题（本大题共9小题，共76分把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）19. 计算：（1）；（2）20. 根据下列条件解直角三角形：
5、(1)在中， ，；(2)在中，.21. 我们已经学习过：同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧所对的圆心角的一半请您就下面所给的图和图中，圆心与的位置关系，证明：22. 如图，公园里有三条笔直的他身步道，两两相交呈三角形，交点为、.经测量，点在点的正东方向，点在点北偏东60的方向，且在点北偏东45的方向，km.小明从处出发，沿着的路径散步.求小明散步的路程.23. 如图1中某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥
6、底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积（结果保留）24. 如图，是直径，D是 的中点，交的延长线于E，的切线交的延长线于点F（1）求证：是的切线；（2）试探究，三者之间的等量关系25. 一种拉杆式旅行箱示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮，与水平地面切于点D，某一时刻，点B距离水平地面，点C距离水平地面（1）求圆形滚轮的半径的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面，求此时拉杆箱与水平面所成角的大小（精确到，参考数据：
7、，）26. 如图，AB是O的直径，点D，E在O上，A=2BDE，点C在AB的延长线上，C=ABD（1）求证：CE是O的切线：（2）连接BE，若O半径长为5，OF=3，求EF的长，27. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B是x轴正半轴上一动点，以为直径画交x轴于点D，连接，过点A作交于点E，连接、（1）求的度数（2）求证：（3）如图2，连接，过点C作于点F，过点F作交的延长线于点G，设点B的横坐标为t用含t的代数式表示记，求S关于t的函数表达式江苏省苏州市姑苏区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1. 已知的半径为5，则点P与
8、的位置关系是（ ）A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 无法判断【答案】A【解析】【分析】由的半径为5， 知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案【详解】解： 的半径为5， ，点到圆心的距离小于半径，点P在圆内，故选：A【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则有 点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 2. 下列语句中，正确的是（ ）A. 长度相等的弧是等弧B. 在同一平面上的三点确定一个圆C. 三角形内心是三角形三边垂直平分线的交点D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等【答案】D【解析】【分析】根据圆的有关概念，确定圆的
9、条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可.【详解】、能完全重合的弧才是等弧，故错误；、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误；、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确.故选：.【点睛】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，熟练掌握三角形的内心、外心的定义是解题的关键3. 如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，ACB=50，那么AB等于（）A. asin50B. atan50C. acos50D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，可得RtABC，同时可知AC与ACB根据三角
10、函数的定义解答【详解】根据题意，在RtABC，有ACa，ACB50，且tan50，则ABACtan50atan50，故选B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义4. 如图，AB是O直径，C,D是O上的两点，若ABC=70，则BDC的度数为（ ）A. 50B. 40C. 30D. 20【答案】D【解析】【分析】由AB是O的直径，据直径所对的圆周角是直角，即可得ACB=90，又由ABC=70，即可求得A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得BDC的度数【详解】解：AB是O的直径，ACB=90，ABC=70，BAC=90-ABC=20，BDC=B
11、AC=20故选D【点睛】此题考查了圆周角定理此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键.5. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可【详解】解：，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补6. 如图，圆锥的底面半径r6，高h8，则圆锥的侧面积是（ ）A. 15
12、B. 30C. 45D. 60【答案】D【解析】【分析】圆锥的侧面积：，求出圆锥的母线l即可解决问题【详解】解：圆锥的母线，圆锥的侧面积，故选D【点睛】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式7. 如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据切线长定理得到，结合题意，即可求得的周长【详解】是的切线，的周长故选：C【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图在RtACB中，C90，ABC30，延长CB使
13、BDAB，连接AD，得D15，所以tan15类比这种方法，计算tan22.5的值为（）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】作RtABC，使C90，ABC45，延长CB到D，使BDAB，连接AD，根据构造的直角三角形，设ACx，再用x表示出CD，即可求出tan22.5的值.【详解】解：作RtABC，使C90，ABC90，ABC45，延长CB到D，使BDAB，连接AD，设ACx，则：BCx，AB，CD，故选：B.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45的直角三角形，再作辅助线得到22.5的直角三角形.9. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（
14、粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3cm，则滑轮上的点F旋转了（ ）A. 60B. 90C. 120D. 45【答案】B【解析】【分析】由弧长的计算公式可得答案.【详解】解：由圆弧长计算公式,将l=3代入,可得n =90，故选B.【点睛】本题主要考查圆弧长计算公式，牢记并运用公式是解题的关键.10. 如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，.当时，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用弧长公式，分别计算出，的长，寻找其中的规律，确定的长【详解】解：根据题意得正六边形的外角为，
15、且.则，按照这种规律可以得到： ，所以故选：C【点睛】本题主要考查了求扇形弧长，先用公式计算，再找出规律是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填在答题卷相对应位置上）11. 中，则的值为_【答案】#【解析】【分析】根据正切函数的定义，可用表示，根据勾股定理，可得表示，再根据余弦定理，可得答案【详解】解：在中，得为斜边由，得在中，由勾股定理，得，故答案为：【点睛】本题考查了互为余角三角函数关系，利用正切函数的定义、勾股定理得出表示，表示是解题关键12. 如图，在中，是直径，是弦，于M，则的长为_【答案】2【解析】【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，即
16、可求出答案【详解】解：连接，过O，在中，由勾股定理得：，即，故答案为：2【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是构造直角三角形13. 如图，O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则AOC=_度 【答案】144【解析】【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可【详解】弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，弧ABC：弧AmC=6：4，AOC的度数为（36010）4=144，故答案为144【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键14. 如图，O的弦AB、半径OC延长交于点D，BDOA若，则D的度数是
17、_【答案】【解析】【分析】连接OB，利用BD=AO=OB，证明设D的度数是x，则BAO=ABO=x+x=2x，再利用内角和定理求解【详解】解：连接OB， BD=OA，OB=OA， BD=AO=OB， OBD，OAB都是等腰三角形， 设D的度数是x，则BAO=ABO=x+x=2x， 则在AOB中，利用三角形的内角和是180度，可得： 解得 故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确列方程求解是解题关键15. 如图，三圆同心于O，于O，则图中阴影部分面积为_cm2【答案】【解析】【分析】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的，进而就可以求
18、得【详解】解：阴影部分的面积，故答案：【点睛】本题考查了圆是轴对称图形，两条相互垂直的直径是圆的对称轴，解题的关键是注意把不同的部分转移到一个图形中作答16. 如图，点A、B、C为正方形网格中的3个格点，则sinACB_.【答案】【解析】【分析】由勾股定理可求AC，BC，AC的长，判断出ABC为等腰三角形，过B作BDAC，求出BD的长即可求sinACB的值【详解】设小正方形的边长为1，过点B作BDAC于D，如图所示，由勾股定理可知：AC=，AB=，BC=，ABC是等腰三角形，CD= BD=，sinACB=.故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键17
19、. 如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为_【答案】【解析】【分析】连接、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题【详解】解；连接、，作于M， 四边形是正方形， ， 是直径， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型18. 如图，的半径为2，定点P在上，动点A，B也在上，且满足，C为的中点，当点A，B在圆上运动时，线段的最大值为_【答案】#【解析】【分析】连接，连接，并延长至H，使，连接，首先说明是等边三角形，再
20、说明，利用三角形三边关系可得答案【详解】解：如下图，连接，连接，并延长至H，使，连接，是等边三角形，点C是的中点，A是的中点，.是的中位线， ，的最大值为，的最大值为，故答案为：【点睛】本题 考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理，构造三角形中位线是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，共76分把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）19. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）将特殊锐角三角函数值代入计算即可【
21、小问1详解】解：；【小问2详解】解：【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是牢记特殊锐角三角函数值20. 根据下列条件解直角三角形：(1)中， ，；(2)在中，.【答案】(1)见解析(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用勾股定理和锐角三角函数的边角关系求出其他要素即可；（2）利用勾股定理和锐角三角函数的边角关系求出其他要素即可.【详解】解：（1）在中， ，；， ，由勾股定理得，；（2）在中，3， ，.21. 我们已经学习过：同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧所对的圆心角的一半请您就下面所给的图和图中，圆心与的位置关系，证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）延长BO交O
22、于点D，连接CD，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得A=D，再根据等腰三角形的两底角相等，D=OCD，然后利用三角形的外角性质BOC=D+OCD，整理即可得证；（2）延长BO交O于点E，连接CE，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得A=E，再根据等腰三角形的两底角相等，E=OCE，然后利用三角形的外角性质BOC=E+OCE，整理即可得证；【详解】如图，延长交于点，连接，则（同弧或等弧所对的圆周角都相等），（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），即；如图，延长交于点，连接，则（同弧或等弧所对的圆周角都相等），（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即【点睛】本题考查了圆周角
23、定理的证明，是基础题，作出辅助线找出与BAC相等的角，进行等量代换是解题的关键，方法与定理都需要熟练掌握并灵活运用22. 如图，公园里有三条笔直的他身步道，两两相交呈三角形，交点为、.经测量，点在点的正东方向，点在点北偏东60的方向，且在点北偏东45的方向，km.小明从处出发，沿着的路径散步.求小明散步的路程.【答案】 【解析】【分析】【详解】解： 答：小明散步的路程是（）km.【点睛】构造直角三角形，解直角三角形即可.23. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角
24、（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积（结果保留）【答案】（1）1：2 （2）【解析】【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论（2）根据求解即可【小问1详解】由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：，ED与母线AD长之比为【小问2详解】答：加工材料剩余部分的面积为【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题24. 如图，是直径，D是 的中点，交的延长线于E，的切线交的延长线于点F（1）求证：是的切线；（2）试探究，三者之间的等量关系【答案】（
25、1）见解析 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）如图1，连接，证，垂直平分，即可推出结论；（2）先写出结论，如图2，连接，证，即可由相似三角形的性质推出结论【小问1详解】证明：如图1，连接，是直径，于E，点D是 的中点， 又，垂直平分，是的切线；【小问2详解】解：，理由如下：如图2，连接BD，由（1）知，为直径，于E，【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质等25. 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮，与水平地面切于点D，某一时
26、刻，点B距离水平地面，点C距离水平地面（1）求圆形滚轮的半径的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面，求此时拉杆箱与水平面所成角的大小（精确到，参考数据：，）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）作于点G，交于点H，则，设圆形滚轮的半径的长是，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；（2）根据题意求得的长，在中，求得，即可求得的度数【小问1详解】解：设圆形滚轮的半径的长是，作于点G，交于点H，则，即，解得：，则圆形滚轮的半径的长是；【小问2详解】解：由题意得（cm）则，【点睛】本题考查了解
27、直角三角形的应用，三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算26. 如图，AB是O的直径，点D，E在O上，A=2BDE，点C在AB的延长线上，C=ABD（1）求证：CE是O的切线：（2）连接BE，若O的半径长为5，OF=3，求EF的长，【答案】（1）见解析； （2）；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质即可证明；（2）连接OE，BE，AE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求得DFC=CBE，从而可得EFB=EBF，于是EF=BE，再由OB=OE，可证OBEEBF，即可解答；【小问1详解】证明：如图，连接OE，AB是圆的直径，则ABD=
28、90，DAB和EOC中， DAB=2BDE=EOB，ABD=OCE，DABEOC，ABD=OEC=90，CE是圆的切线；【小问2详解】解：如图，连接OE，BE，AE，AB是圆的直径，则AEB=90，OEC=90，AEO=BEC，OA=OE，OEA=OAE，BEC=BAE=BDE，ABD=C，DFC=CBE，180-DFC=180-CBE，即EFB=EBF，EF=BE，OB=OE，OBE=OEB=EFB，OBEEBF，BE=，EF=BE=；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质；根据相关性质找寻角的等量关系是解题关键27. 如图1，在平面直角坐标系中，
29、点A的坐标为，B是x轴正半轴上一动点，以为直径画交x轴于点D，连接，过点A作交于点E，连接、（1）求的度数（2）求证：（3）如图2，连接，过点C作于点F，过点F作交的延长线于点G，设点B的横坐标为t用含t的代数式表示记，求S关于t的函数表达式【答案】（1） （2）见解析 （3）；【解析】【分析】（1）证明，则，即可求解；（2）由，即可求解；（3）由得到，即，即可求解；证明，则，故【小问1详解】解：为直径，又，又，的度数为；【小问2详解】证明：，；【小问3详解】解：，AD=AO=2，则，点B的坐标为，则，即，；过点B作交的延长线于点M，连接，故点F是的中点，故是的中位线，则，由（1）知，则，【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了函数的基本知识、圆的基本性质、三角形相似等，综合性强，难度大，正确作出辅助线是本题解题的关键