1、宁波市江北区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每小题 4 分， 共 40 分）1. 若，则的值是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标（）A. （1，3）B. （）C. （）D. （）3. 已知在Rt 中， ， 则Rt 的外接圆的半径为（）A. 4B. 2.4C. 5 D. 2.54. 若将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 5. 如图， 已知的圆心角， 则圆周角的度数等于（）A B. C. D. 6. 如图，D，E，F分别是，的中点，则与的相似比是（）A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是（）A. 所有直角三角形都
2、相似B. 平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧C. 同弧所对的圆周角相等D. 当时， 二次函数的图象与坐标轴只有一个交点8. 如图，为正方形，图1是以为直径画半圆，阴影部分面积记为，图2是以为圆心，长为半径画弧，阴影部分面积记，则（）A. B. C. D. 无法判断9. 已知点是边长为4的正方形内一点， 且， 垂足是点， 若在射线上找一点， 使以点为顶点的三角形与相似， 则为（）A. 3B. C. 3 或 D. 以上都错10. 如图， 和是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，若，连接交于点，则下列说法正确的个数为（）； ；图中有4对相似三角形； A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4 个二、填
3、空题 （每题 5 分， 共 30 分）11. 已知线段， 其中为的比例中项， ， 则_12. 若点抛物线上， 则_13. 抛物线yx24x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_14. 如图， 是上三点， 若， 则为_15. 如图， 是半圆直径， 半径于点平分交弧于点， 连接 ， 给出以下四个结论： （1）； （2） （3）（4） 其中正确结论的序号是_16. 如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为_三、解答题（第17，19，20，21题各8分，第18题10分，第22，23题12分，第24题14分，共80分
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长18. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字3、1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀(1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；(2)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax22ax+a+30有实数根的概率；(3)从中任取一球，将球上数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法
5、)表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率19. 已知交于点（1）试说明（2）若， 求的长20. 如图，为O的直径，交于，（1）求证：（2）求AB长21. 如图，已知AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，AOC=60，OC=2（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部队的面积22. 某汽车城销售某种型号的汽车， 每辆进货价为25万元， 市场调研表明： 当销售价为29 万元时， 平均每周能售出8辆， 而当销售价每降低万元时， 平均每周能多售出4辆 如 果设每辆汽车降价万元， 每辆汽车的销售利润为万元（销售利润 销售价进货价）（1）请写出关于的函数解析式_；（2）
6、假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，写出与之间的函数关系式；（3）当每辆汽车定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？ 最大利润是多少？23. 如图，抛物线与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点， 点与点关于抛物线的对称轴对称.(1)求抛物线的解析式及点的坐标:(2)点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标;(3)点在轴上，且，请直接写出点的坐标.24. 定义： 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形， 则称这个四边形 为 “友好四边形” 我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” （1）如图1， 在正方形网格中有一个Rt ， 请你在网格中找格点， 使得四边形是被分
7、割成的“友好四边形” （只要画出点的一种位置）（2）如图2， 平分， 四边形是被分割成的 “友好四边形， 求长；（3）如图3， 圆内接四边形中， ， 点是的中点， 连接交 于点， 连接求证： 四边形是“友好四边形” ；若的面积为， 求线段的长宁波市江北区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每小题 4 分， 共 40 分）1. 若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，然后用k表示a和b，进而求得的值【详解】解：设，则有，故选：A【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是利用设k法，用k表示a和b即可2. 抛物线的顶点坐标（）A. （1
8、，3）B. （）C. （）D. （）【答案】C【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标【详解】解：由，根据，顶点坐标是，可知顶点坐标为故选：C【点睛】本题考查二次函数顶点式，顶点坐标是，对称轴是，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3. 已知在Rt 中， ， 则Rt 的外接圆的半径为（）A. 4B. 2.4C. 5 D. 2.5【答案】D【解析】【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径【详解】在中，根据勾股定理得，直角三角形的外心为斜边中点，的外接圆的半径为2.5，故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用
9、，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径4. 若将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【详解】由“上加下减”的原则可知，将二次函数y2x2向上平移3个单位可得到函数y2x23，故选A【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键5. 如图， 已知的圆心角， 则圆周角的度数等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆心角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角
10、的度数【详解】的圆心角，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握数形结合的应用是解题的关键6. 如图，D，E，F分别是，的中点，则与的相似比是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据三角形中位线的性质，可得，再根据相似三角形的性质，即可求得【详解】解：D，E分别是，的中点，与的相似比是故选：A【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的性质，熟练掌握和运用三角形中位线的性质是解决本题的关键7. 下列结论正确的是（）A. 所有直角三角形都相似B. 平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧C. 同弧所对的圆周角相等D. 当时， 二次函数的图象与坐标轴只有一个交点【答案】
11、C【解析】【分析】举反例：等腰直角三角形与一般的直角三角形对A选项进行判断；当弦是直径时，结论不成立， B选项结论错误；同弧所对的圆周角相等说法正确，故C正确；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点，从而可判断D项错误【详解】解 A、不是所有的直角三角形都相似，如等腰直角三角形与一般的直角三角形，此选项错误；B、平分弦(弦不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误；C、同弧所对的圆周角相等，此选项正确；D、当时， 二次函数的图象与x轴只有一个交点，此选项错误；故选C【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握课本中各个
12、定理8. 如图，为正方形，图1是以为直径画半圆，阴影部分面积记为，图2是以为圆心，长为半径画弧，阴影部分面积记，则（）A. B. C. D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】先设出正方形的边长，再根据勾股定理求出对角线AB的长，根据大减小求出、，最后比较大小即可.【详解】设正方形的边长为a，则，由题意可知，故.故选:B.【点睛】本题考查扇形面积的计算，解决此题的关键是掌握扇形面积的计算公式以及组合图形面积的计算方法.9. 已知点是边长为4的正方形内一点， 且， 垂足是点， 若在射线上找一点， 使以点为顶点的三角形与相似， 则为（）A. 3B. C. 3 或 D. 以上都错【答案】C【解析】【
13、分析】由于，同时减去后可得到，若以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么必有或，可据此求得BM的值【详解】四边形ABCD正方形，又，若以点B，M，C为顶点的三角形与相似，则：如图1中，即，解得，如图2中，即，解得，综上所述，满足条件的BM的值为3或，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不用漏解10. 如图， 和是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，若，连接交于点，则下列说法正确的个数为（）； ；图中有4对相似三角形； A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4 个【答案】B【解析】【分析】连接，根据证明可得，由勾股定理得
14、，从而可得，进一步可得结论即可判断；由可得，从而可判断；根据相似三角形的判定可判断；证明，由得，即可判断【详解】解： 如图，连接，和都是等腰直角三角形， ， ， ，在中，又，又， ，故正确；由知，故正确；，同理可得，故错误；由知， 由知，要证，即证，故，故错误；综上正确，故选：B【点睛】此是主要考查了三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握相关的判定与性质是解答此题的关键二、填空题 （每题 5 分， 共 30 分）11. 已知线段， 其中为的比例中项， ， 则_【答案】3【解析】【分析】根据比例中项的定义可求得的值【详解】是、的比例中项，或（舍去），故答案为：3
15、【点睛】本题主要考查比例中项的定义，掌握为、的比例中项则有是解题的关键12. 若点在抛物线上， 则_【答案】【解析】【分析】将代入即可求解【详解】当时，即，故答案为：【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可13. 抛物线yx24x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_【答案】（3，0）【解析】【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标【详解】把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2-4x+3，令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
16、，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）故答案为：（3，0）【点睛】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法本题也可以用根与系数关系直接求解14. 如图， 是上三点， 若， 则为_【答案】#120度【解析】【分析】首先在优弧上取点D，连接，根据圆的内接四边形对角互补，即可求得的度数，再由由圆周角定理，可求得的度数【详解】如图，在优弧上取点D，连接，故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键本题还要注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用15. 如图， 是半圆直径， 半径于点平分交弧于点， 连接 ， 给出以下四
17、个结论： （1）； （2） （3）（4） 其中正确结论的序号是_【答案】（1）（4）#（4）（1）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证即可；（2）过点E作于点F，根据平分交弧于点D，求得，又得，进而得；（3）两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明（3）；（4）根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再求证，利用其对应变成比例即可得出结论【详解】解：（1），平分交弧于点D，（1）正确（2）过点E作于点F，平分交弧于点D，（2）错误（3）在和中，只有，不能证明和相似，（3）
18、错误；（4）平分交弧于点D，（已证），（4）正确综上所述，只有（1）（4）正确故答案为：（1）（4）【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目16. 如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为_【答案】#【解析】【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得a的取值范围【详解】抛物线与轴交于点，对称轴，抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是，则轴的交点在之间 （包含端点），
19、 ，即故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点坐标与系数的关系二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键三、解答题（第17，19，20，21题各8分，第18题10分，第22，23题12分，第24题14分，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长【答案】（1）35；（2）2【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得ACB=90，则CAB的度数即
20、可求得，在等腰AOD中，根据等边对等角求得DAO的度数，则CAD即可求得.（2）易证OE是ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得【详解】解：（1）AB是半圆O的直径，ACB=90，又ODBC，AEO=90，即OEAC.B=70，CAB=90B=9070=20OA=OD，DAO=ADO=55，CAD=DAOCAB=5520=35；（2）在RtABC中，BC=OEAC，AE=EC，又OA=OB，OE=BC=又OD=AB=2，DE=ODOE=2【点睛】题目主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握运
21、用这些知识点是解题关键18. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字3、1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀(1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；(2)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax22ax+a+30有实数根的概率；(3)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）四个数字中正数有一个，求出所求概率即可
22、；（2）表示出已知方程根的判别式，根据方程有实数根求出a的范围，即可求出所求概率；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在第二象限内的情况数，即可求出所求的概率试题解析：解：（1）根据题意得：抽取的数字为正数的情况有1个，则P=；（2）方程ax22ax+a+3=0有实数根，=4a24a（a+3）=12a0，且a0，解得：a0，则关于x的一元二次方程ax22ax+a+3=0有实数根的概率为；（3）列表如下：31023（1，3）（0，3）（2，3）1（3，1）（0，1）（2，1）0（3，0）（1，0）（2，0）2（3，2）（1，2）（0，2） 所有等可能的情况有12种，其中点（x，y
23、）落在第二象限内的情况有2种，则P=考点：列表法与树状图法；根的判别式；点的坐标；概率公式19. 已知交于点（1）试说明（2）若， 求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，得出，即可证明；（2）根据（1）的相似三角形的性质，得出，可求出的长【小问1详解】证明：，【小问2详解】解：，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题关键20. 如图，为O的直径，交于，（1）求证：（2）求AB长【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）先根据AB=AC可知ABC=ADB，再根据BAE=DAB即可得出ABEADB；（2）根据ABEAD
24、B，可知其对应边成比例，再由AE=2，ED=4即可求出答案【小问1详解】证明：AB=AC，ABC=C，C=D，ABC=D， 又BAE=DAB，ABEADB；【小问2详解】解：ABEADB，AB2=ADAE=（AE+ED）AE=（2+4）2=12，AB=2【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出ABC=D，再判断出ABEADB，进而可得出结论21. 如图，已知AB是O直径，弦CDAB，垂足为E，AOC=60，OC=2（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部队的面积【答案】（1）CD=；（2）【解析】【分析】（1）在OCE中，由直
25、角三角形性质得OE=OC=1，CE=OC=，由垂径定理得CE=DE，CD=（2），故【详解】解：（1）在OCE中，CEO=90，EOC=60，OC=2 OE=OC=1CE=OC=OACDCE=DECD=（2）【点睛】本题考查了解直角三角形，扇行面积计算，解题的关键是掌握利用规则图形的面积求解不规则图形的面积的思想22. 某汽车城销售某种型号的汽车， 每辆进货价为25万元， 市场调研表明： 当销售价为29 万元时， 平均每周能售出8辆， 而当销售价每降低万元时， 平均每周能多售出4辆 如 果设每辆汽车降价万元， 每辆汽车的销售利润为万元（销售利润 销售价进货价）（1）请写出关于的函数解析式_；（
26、2）假设这种汽车平均每周销售利润为万元，写出与之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？ 最大利润是多少？【答案】（1） （2） （3）27.5万元；50万元【解析】【分析】（1）根据利润等于（29进货价降价）可得出关于的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出关于的二次函数；（3）将二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案详解】（1）由题意得：，（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，则，（3）由（2）知，时，最大为50，（万元）当每辆汽车的定价为27.5万元
27、时，利润最大， 最大利润为50万元【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键23. 如图，抛物线与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点， 点与点关于抛物线的对称轴对称.(1)求抛物线的解析式及点的坐标:(2)点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标;(3)点在轴上，且，请直接写出点的坐标.【答案】(1) 解析式为，点的坐标为；(2)点的坐标为；(3) 点坐标为或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标（2）A，P，D三点在同一直线上时PAC的周长最小，求出直
28、线AD的解析式即可解决问题（3）分两种情形作DQAC交x轴于点Q，此时DQA=DAC，满足条件设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q，此时QDA=CAD，满足条件，分别求解即可【详解】解: (1)根据题意得， 解得抛物线的解析式为抛物线的对称轴为直线点与点关于抛物线的对称轴对称点的坐标为(2)连接点与点关于抛物线的对称轴对称.为定值， 当的值最小即三点在同一直线上时的周长最小由解得，在的左侧，由两点坐标可求得直线的解析式为当时，当的周长最小时，点的坐标为(3) 点坐标为或【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵
29、活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题.24. 定义： 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形， 则称这个四边形 为 “友好四边形” 我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” （1）如图1， 在的正方形网格中有一个Rt ， 请你在网格中找格点， 使得四边形是被分割成的“友好四边形” （只要画出点的一种位置）（2）如图2， 平分， 四边形是被分割成的 “友好四边形， 求长；（3）如图3， 圆内接四边形中， ， 点是的中点， 连接交 于点， 连接求证： 四边形是“友好四边形” ；若的面积为， 求线段的长【答案】（1）图见解析 （2）或 （3）证明
30、见解析；【解析】【分析】（1）由题意可找到点D位置；（2）分，两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AB的长度；（3）由题意可得，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得，可证，即四边形ABCF是“友好四边形”；由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可求，即可求BF的长【详解】（1）画出点D的1个位置，如图，（2）四边形ABCD为被BD分割的友好四边形，与相似，若，则，若，则，综上所述，或；（3）证明：E是的中点，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCF为友好四边形；如图，过点A作交BC于G，连接AC，又，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，分类讨论思想，熟练运用相似三角形判定和性质是本题的关键