1、20222023学年湖北省武汉市硚口区九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）A 3，4B. 3，C. 3，2D. 3，2. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而
2、增大5. 两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为，则下面所列方程中正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 若，是抛物线上的三个点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 7. 通过平移y=2(x1)2+3图象，可得到y=2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位8. 如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）A. B. C.
3、D. 9. 如图，是的两条平行弦，且，之间的距离为5，则的直径是（ ）A. B. C. 8D. 1010. 直线与抛物线的两个公共点的横坐标分别是，若，则的值是（ ）A. B. 3或C. D. 或2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 点关于原点的对称点的坐标为_12. 若一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为_13. 增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平某市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，则应邀请 _个足球队参赛14. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的
4、蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍设道路的宽为m，可列方程是_15. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _米16. 抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：；点，在抛物线上，若，则；若，则关于的方程有两个不相等的实数根其中正确的结论是_（填写序号）三、解答题（共8小题，共72分）17. 解方程：18. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点求证： 19. 如图，用一段长为34米的篱笆围成一个一边靠墙矩形菜园，墙长为18米，若矩形菜园的面积为140米，求矩形菜园垂直于墙的边长20. 如图，利用函数的图
5、象，解决下列问题：（1）方程的解是 ；（2）该函数图象的顶点坐标是 ，当 时，随的增大而减小；（3）当时，的取值范围是 ；（4）当时，的取值范围是 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）（1）判断四边形的形状；（2）在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；（3）在图2中的上画点，使22. 某商品每件进价元，当每件售价为元，每天可卖出件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件设每件涨价元，每天获利为元（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）每天获利是否可达到元，给
6、出你的结论，并说明理由；（3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值23 问题提出在等腰直角中，点分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系问题探究（1）先将问题特殊化，如图1，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系；（2）再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立（3）如图3，在等腰直角中，为的中点，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，在一条直线上，求的值24. 抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点（1）直接写出点，的坐标；（2）如图
7、1，平移直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标；（3）如图2，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线直线交抛物线于，两点，交其对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：20222023学年湖北省武汉市硚口区九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，4B. 3，C. 3，2D. 3，【答案】B【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可【详解】解：，所以二次项系数和一次项系数分别是3，故选
8、：B【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键2. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误故选：C【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个
9、平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键4. 已知抛物线，下列结论错误的是（
10、）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解【详解】解：抛物线中，a0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称
11、轴为，顶点坐标为5. 两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为，则下面所列方程中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】找出题目的等量关系，把相关数值代入计算即可两年前的成本=现在的成本（1-下降率）2【详解】解：设这种药品成本的年平均下降率是，根据题意得：，故选：【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键6. 若，是抛物线上的三个点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点，再利用二次函数
12、的增减性可判断y值的大小【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，是抛物线上的三个点，点关于对称轴的对称点是，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的突破口是二次函数的增减性和对称性7. 通过平移y=2(x1)2+3的图象，可得到y=2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位【答案】C【解析】【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法【详解】解：抛物线y=-2x2的顶点坐标是（0
13、，0）抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3）则由二次函数y=-2（x-1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y=-2x2的图象故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标8. 如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质得出，根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，设，则，根据平角的定义，列出方程，解方程即可求解【详解】解：如图，设与交于点，将绕点按逆时针方向旋转得到，设，则，解得，故
14、选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键9. 如图，是的两条平行弦，且，之间的距离为5，则的直径是（ ）A B. C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】作于M，延长交于N，连接，由垂径定理，勾股定理即可求解【详解】解：作于，延长交于，连接，设，、是两条平行弦，直径长是，故选：B【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理进行解题10. 直线与抛物线的两个公共点的横坐标分别是，若，则的值是（ ）A B. 3或C. D. 或2【答案】A【解析】【分析】令，根据根与系数的关系可知
15、，由根的判别式可以得到或，把代入整理得，解方程即可【详解】解：令，整理得，抛物线与直线有两个交点，或，是方程的解，即，解得（舍或，故选：A【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解答的关键是利用数形结合把交点坐标转化为方程的解二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 点关于原点的对称点的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案【详解】点关于原点对称的点的坐标是故答案为：【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P（-x，-y）12. 若一元二
16、次方程的两个实数根为m，n，则的值为_【答案】-1【解析】【分析】直接根据根与系数的关系求解即可【详解】解：m，n是一元二次方程x2-4x-1=0的两个实数根，mn=-1，故答案为：-1【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，熟练掌握根与系数的关系“若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，则x1+x2=-，x1x2=”是解题的关键13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平某市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，则应邀请 _个足球队参赛【答案】6【解析】【分析】设应该邀请x个球队参加，由题意得
17、：，即可求解【详解】解：设应该邀请个足球队参赛，由题意得：，解得：或（舍去），即应邀请6个足球队参赛故答案为：6【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键14. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍设道路的宽为m，可列方程是_【答案】【解析】【分析】先将道路平移到两边即可得到长和宽，再根据面积公式即可得到方程【详解】解：平移后如图所示，设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，种植蔬菜的面积为道路面积的3倍，种植蔬菜面积为矩形田地面
18、积的根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程与图形面积的应用题，解题关键经过平移得到相应的长宽15. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _米【答案】3.5【解析】【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，当时，支柱MN的高度=8-4.5=3.5米，故答案为：3.5【点睛】本题主要考查了二次函数的应
19、用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解16. 抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：；点，在抛物线上，若，则；若，则关于的方程有两个不相等的实数根其中正确的结论是_（填写序号）【答案】#【解析】【分析】根据题意可设抛物线解析式为，即，从而得到，再由，可得，故正确；再根据题意可得，从而得到，故错误；根据，可得，从而得到抛物线的对称轴为直线，再由，可得，故正确；若，抛物线为，从而得到函数的最大值为，再由，可得，从而得到不一定大于1，故错误，即可求解【详解】解：由题意可设抛物线解析式，即，故正确；抛物线与轴交于和两点，且，故错误；，抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，且，故正确；，抛物线
20、为，函数的最大值为，不一定大于1，故错误，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键三、解答题（共8小题，共72分）17. 解方程：【答案】【解析】【详解】方程的，所以方程有两个实数根，由求根公式解得，【点睛】本题考查一元二次方程，要求考生会利用判别式判断一元二次方程根的情况，会用求根公式求一元二次方程的解18. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点求证： 【答案】见解析【解析】【分析】过点O作OPAB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论【详解】证明：如图所示，过点O作OPAB，垂足为点P，
21、由垂径定理可得PAPB，PCPD，PAPCPBPD，ACBD【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键19. 如图，用一段长为34米的篱笆围成一个一边靠墙矩形菜园，墙长为18米，若矩形菜园的面积为140米，求矩形菜园垂直于墙的边长【答案】10米【解析】【分析】设矩形菜园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形菜园的面积为140，列方程求解，然后由墙长为18米检验即可【详解】解：设矩形菜园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，解得：，当时，（不合题意，舍去）；当时，符合题意所以矩形菜园垂直于墙的边长为10米【点睛】本题考查了一元二次方程的运
22、用，是一道数形结合试题读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键20. 如图，利用函数的图象，解决下列问题：（1）方程的解是 ；（2）该函数图象的顶点坐标是 ，当 时，随的增大而减小；（3）当时，的取值范围是 ；（4）当时，的取值范围是 【答案】（1）， （2）， （3） （4）或【解析】【分析】（1）由抛物线与c轴交点坐标求解；（2）将二次函数解析式化为顶点式求解；（3）根据抛物线开口方向及对称轴求解；（4）由抛物线经过及抛物线的对称性求解【小问1详解】解：由图象可得抛物线经过，为方程的解，故答案为：，【小问2详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向上，时，随增大而减小
23、，故答案为：，【小问3详解】解：抛物线开口向上，顶点坐标为，函数最小值为，将代入得，当时，故答案为：【小问4详解】解：由图象可得抛物线经过，抛物线对称轴为直线，抛物线经过，当或时，故答案为：或【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）（1）判断四边形的形状；（2）在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；（3）在图2中的上画点，使【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）见解析
24、（3）见解析【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；（2）取格点T，连接，交于点E，点E即为所求连接，交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求；（3）取格点R，连接，取的中点Q，连接，延长交于点G，点G即为所求【小问1详解】解：，四边形是平行四边形【小问2详解】解：如图1中，点E，点F即为所求；根据格点特点可知，；四边形为平行四边形，【小问3详解】解：如图2中，点G即为所求，【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型22. 某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件市场调查反映：
25、如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件设每件涨价元，每天获利为元（1）直接写出与之间函数关系式；（2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由；（3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值【答案】（1） （2）每天获利不可能达到元，理由见解析 （3） 元【解析】【分析】（1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润每天可卖出的件数列出解析式；（2）由，再列方程利用判别式即可求解；（3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解；【小问1详解】解：由题意得：；【小问2详解】解：每天获利不可能达到元，理由：由题意得：，即，整理得
26、：，故方程无解，即每天获利不可能达到元；【小问3详解】解：由题意得：，故当天获利的最大值为元【点睛】本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键23. 问题提出在等腰直角中，点分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系问题探究（1）先将问题特殊化，如图1，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系；（2）再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立（3）如图3，在等腰直角中，为的中点，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，在一条直线上，求的值【答案】（1），理由见解析 （
27、2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）分析说明此时四边形为正方形即可；（2）要证明，只要证明，而要证明可以通过添加辅助线构造全等三角形即可；（3）由点为的中点及第（1）结论可知四边形是正方形，过作于点，延长交于点，从而构造全等三角形，利用全等三角形的性质及平行线分线段成比例定理即可得出结果【小问1详解】解：，理由如下：由旋转的性质得：，四边形是平行四边形，；【小问2详解】证明：如图2，过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，由旋转的性质得：，即，（SAS），；【小问3详解】解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点，则，由（1）可知，为的中点，（AAS），点是点关于直线的对称点，四边形是平行
28、四边形，平行四边形是正方形，由旋转的性质得：，（AAS），是等腰直角三角形，【点睛】本题综合考查了旋转变换及等腰直角三角形性质，关键是添加辅助线构建全等三角形，找到证明思路的技巧是使用分析法即：执果索因法24. 抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点（1）直接写出点，的坐标；（2）如图1，平移直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标；（3）如图2，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线直线交抛物线于，两点，交其对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：【答案】（1）， （2）3或或 （3）见解析【解析】【分析】（1）
29、当时，解，从而得出A，B两点坐标，令，求得x的值，从而求得点C坐标；（2）作，在得出的关系式基础上，将其与二次函数的解析式联立，进而求得点D坐标，在y轴截取，过点E作的平行线，求得的解析式，同样的方法得出点的坐标；（3）设点，求得的解析式，进而求得点E坐标，从而得出的长，同样求得的解析式，从而得出点H的坐标，进而得出，证明，从而得出结论【小问1详解】解：由得，当时，；【小问2详解】解：如图1，过点作，交抛物线于，的解析式为：，由得，点的横坐标为：3，设与轴的交点为，可得，在的延长线截取，点，过点作，的解析式为：，由得，点的横坐标为：3或或；【小问3详解】证明：如图2，由题意得，平移后的解析式为：，设点，当，时，设的解析式为：，当时，【点睛】本题考查了根据二次函数的解析式求点的坐标，求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力