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九年级数学暑假班讲义第17讲:二次函数yax2bxc的图像(教师版)

1、二次函数y = ax 2+ bx + c的图像内容分析二次函数的图像的研究,需要利用配方法的方式对进行变形,从而利用的图像特征研究的图像特征,继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系知识结构模块一:二次函数y = a(x + m)2 + k的图像知识精讲1、 二次函数的图像二次函数(其中a、m、k是常数,且)的图像即抛物线,可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是:先向左(时)或向右(时)平移个单位,再向上(时)或向下(时)平移个单位利用图形平移的性质,可知:抛物线(其中a、m、k是常数,且)的对称轴是经过点(,0)且平行于y轴的直线,即直线x =;抛物线的顶点坐标是(,k

2、)抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当时,开口向下,顶点是抛物线的最高点例题解析【例1】 说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的【难度】【答案】抛物线的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为,由抛物线先向左平移一个单位,再向下平移3个单位得到【解析】抛物线()的对称轴是直线;抛物线的顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定,当时,开口向上;当时,开口向下二次函数()的图像可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是:先向左(时)或向右(时)平移个单位,再向上(时)或向下(时)平移个单位【总结】本题考查了二次函

3、数的性质及抛物线的平移,熟记抛物线的性质及掌握平移口诀“上加下减,左加右减”是做题的关键【例2】 在平面直角坐标系中xOy中画出二次函数的图像yOx【难度】【答案】如图:【解析】略【总结】本题考查二次函数的图像【例3】 一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数表达式为,则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )A10米B20米C30米D60米【难度】【答案】A【解析】抛物线()的开口方向由所取值的符号决定,当时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当时,开口向下,顶点是抛物线的最高点抛物线顶点坐标为,最大高度为10米【总结】本题考查了二次函数的简单应用【例4】 与抛物

4、线形状相同,开口方向也相同,顶点为(2,)的抛物线解析式为_【难度】【答案】【解析】设解析式为,抛物线形状、开口方向相同,顶点为(2,),解析式为【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法【例5】 在平面直角坐标系中,如果抛物线不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_【难度】【答案】【解析】把轴向上平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为,解析式为;把轴向右平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为,解析式为【总结】本题考查抛物线的平移,坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移【例6】 已知二次函数的图像上有A(,y1)、B(2,y2)、C(,y3)三个点,则

5、y1、y2、y3的大小关系为( )ABCD【难度】【答案】D【解析】二次函数的对称轴为直线, 到直线的距离越小的点就越小,【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解,做题的关键是掌握抛物线的对称性【例7】 与抛物线形状相同,顶点为(3,)的抛物线解析式为_【难度】【答案】、【解析】设解析式为,抛物线形状、开口方向与相同,顶点为(3,),解析式为、【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法,抛物线形状相同,则说明a相等或互为相反数【例8】 如图,抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:(1)抛物线y2的顶点坐标为_;(2)阴影部分的面积S = _;xyy1y2O12121212(3)若

6、再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向_,顶点坐标为_【难度】【答案】(1);(2);(3)上,【解析】(1)抛物线的解析式为, 顶点坐标为(2)通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形,xyy1y2O12121212阴影部分的面积为2(3)将抛物线绕原点旋转180得到抛物线, 抛物线开口向上,顶点为【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转,求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求【例9】 已知二次函数的图像如图所示,则一次函数的大致图像可能是( )OABCDxyxyxyxyxyOOOO【难度】【答案】A【解析】由二次函数的图像可知,一次函数过

7、第一、二、三 象限,选A【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像【例10】 抛物线的顶点为C,已知的图像经过点C,求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积【难度】【答案】1【解析】由题意知,把代入得,与坐标轴交于、,围成的三角形面积【总结】本题考查了一次函数的图像与性质【例11】 如图,已知二次函数的图像经过x轴上的点A(1,0)和点B(3,0),且与y轴相交于点C(1)求此二次函数的解析式及顶点P的坐标;ABCOPxy(2)求的正弦值【难度】【答案】(1),;(2)【解析】(1)把A(1,0)和点B(3,0),代入得:,解得,顶点(2)由得,【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合

8、,发现是直角三角形是做题的关 键【例12】 有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系,如图所示(1)请直接写出O、A、M三点的坐标;(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?xyABOM【难度】【答案】(1),;(2)米【解析】(1)由题意知,; (2)设解析式为,把代入,得:, 解析式为, 当时, 这些木板最高可堆放米【总结】本题考查了二次函数的实际应用模块二:二次函数y = ax 2+ bx + c的图像知识精讲1、 二

9、次函数的图像二次函数的图像称为抛物线,这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式任意一个二次函数(其中a、b、c是常数,且)都可以运用配方法,把它的解析式化为的形式对配方得:由此可知:抛物线(其中a、b、c是常数,且)的对称轴是直线,顶点坐标是(,)当时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;当时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的例题解析【例13】 用配方法把下列函数解析式化为的形式(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1);(2)【总

10、结】本题考查了配方法,对配方得:【例14】 通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图【难度】【答案】开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为,图像如图所示:yOx【解析】,开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为,图略【总结】本题考查了配方法及二次函数的图像与性质【例15】 二次函数图像上部分点的坐标满足下表:x01y则该函数图像的顶点坐标为_【难度】【答案】【解析】、时的函数值都是,函数图像的对称轴为,顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征,熟记二次函数的对称性是做题的关键【例16】 二次函数的对称轴为_,顶点坐标为_;二次函数的对称轴为_,顶点坐标为_【难度】【答案

11、】直线,顶点;直线,顶点【解析】抛物线()的对称轴是直线,顶点坐标是(,),把、分别代入可得对称轴和顶点坐标【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线()的对称轴是直线,顶点坐标是(,)做题的关键【例17】 化成的形式为( )ABCD【难度】【答案】C【解析】【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式【例18】 下列关于二次函数说法错误的是( )A抛物线的对称轴是直线B抛物线,点A(3,0)不在它的图像上C二次函数的顶点坐标是(,)D函数的图像的最低点在(,)【难度】【答案】B【解析】把代入得,点在抛物线上【总结】本题考查了二次函数的图像与性质【例19】 已知二次函数,若,那

12、么它的图像大致是( )ABCDxyxyxyxy【难度】【答案】A【解析】,图像开口向下,又,对称轴为直线,在轴左侧,抛物线与轴交于正半轴【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,当、同号时,对称轴在轴左侧,当、异号时,对称轴在轴右侧,即“左同右异”,熟记系数与图像之间的关系是做题的关键【例20】 二次函数中,则其图像的顶点在第_象限【难度】【答案】四【解析】,图像开口向上,对称轴在轴右侧,又,顶点在第四象限【总结】本题考查了二次函数的图像【例21】 在同一直角坐标系中,函数和(m是常数,且)的图像可能是( )ABCDxyxyxyxy【难度】【答案】D【解析】当时,抛物线开口向下,一次函数经过第一

13、、二、三象限;当时,抛物线开口向上,对称轴在轴左侧,一次函数经过第二、三、四象限【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质,用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【例22】 二次函数的图像的对称轴为直线( )Ax = 1Bx =Cx = 2Dx =【难度】【答案】A【解析】由题意得,解得,解析式为,对称轴为直线【总结】本题考查了二次函数的概念和性质【例23】 请选择一组a、b、c的值,使二次函数()的图像同时满足下列条件:当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是_【难度】【答案】,答案不唯一,符合题意即可【解析】由题意得抛物线开口向下,对称轴为直

14、线【总结】本题考查了二次函数的性质【例24】 若抛物线的顶点在y轴上,则m = _【难度】【答案】【解析】抛物线的顶点坐标为,顶点在轴上,即【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式【例25】 将抛物线()向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线,则原抛物线的顶点坐标是_【难度】【答案】【解析】将抛物线向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到原抛物线,所以原抛物线顶点坐标为【总结】本题考查了抛物线的平移,对于一般式我们一般先化为顶点式,然后再写平移之后的解析式【例26】 对于二次函数:(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?(2)求出此抛物线与x

15、、y轴的交点坐标;(3)当x取何值时,y随着x的增大而减小【难度】【答案】(1)开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为,函数有最大值,最大值为;(2)、;(3)【解析】(1),函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为,函数有最大值,最大值为;(2)把代入解析式得,与轴交于;把代入解析式得,与轴交于;(3)图像开口向下,在对称轴的右侧随着的增大而减小,即时,随着的增大而减小【总结】本题考查了二次函数的图像与性质【例27】 已知抛物线的对称轴为,且过点(0,4),求m、n的值【难度】【答案】,【解析】由题意得,解得,把(0,4)代入得【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征【例2

16、8】 已知一次函数与二次函数的图像都过点A(1,),二次函数的对称轴是直线x =,请求出一次函数和二次函数的解析式【难度】【答案】一次函数解析式为,二次函数的解析式为【解析】把代入得,一次函数解析式为;由题意得,解得,二次函数的解析式为【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式【例29】 将抛物线沿y轴向下平移后,所得抛物线与x轴交于点A、B,顶点为C如果是等腰直角三角形,求顶点C的坐标【难度】【答案】【解析】设抛物线向下平移个单位,平移后的抛物线为,则,设对称轴与轴交于点,可得,抛物线顶点为,由抛物线对称性可知,即,解得,(舍),顶点的坐标为【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直

17、角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题,根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键【例30】 已知抛物线经过点P(,)(1)求b + c的值;(2)若b = 3,求这条抛物线的顶点坐标;(3)若,过点P作直线PAy轴,交y轴与点A,交抛物线于另一点B,且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的解析式【难度】【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)把代入得,整理得;(2)若,由(1)可知,抛物线解析式为,顶点坐标为(3),抛物线对称轴直线,对称轴在点左侧,可得,由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线,解得,由(1)可知,抛物线的解析式为【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线

18、的对称轴及对称性,解决此类问题的关键是先根据题意画出草图,找出其中各个量之间的关系随堂检测【习题1】 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )A开口向下、对称轴为直线x =、顶点坐标为(2,9)B开口向下、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为(2,9)C开口向上、对称轴为直线x =、顶点坐标为(,)D开口向上、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为(,)【难度】 【答案】B【解析】抛物线()的对称轴是直线;抛物线的顶点坐 标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定,当时,开口向 上;当时,开口向下【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线的性质是做题的关键【习题2】 在同一坐标平面内,图像不可能

19、由函数的图像通过平移变换得到的函数是( )ABCD【难度】 【答案】D【解析】图像在平移过程中开口的方向和大小不会变,所以平移前后的二次项系数相同【总结】本题考查了二次函数图像平移前后的特点【习题3】 在以下二次函数;中,图像以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是_【难度】 【答案】【解析】抛物线()的对称轴是直线; 抛物线()的对称轴是直线, 再把分别代入解析式,检验是否等于1即可【总结】本题考查了二次函数的图像及性质【习题4】 用配方法把下列函数解析式化为的形式,并指出每个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标(1);(2)【难度】【答案】(1),开口向上,对称轴直线,顶点坐标;(

20、2),开口向下,对称轴直线,顶点坐标【解析】(1),抛物线开口向上,对称轴直线,顶点坐标;(2),抛物线开口向下,对称轴直线,顶点坐标【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质,对配方得:,抛物线的对称轴是直线;抛物线的顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定,当时,开口向上;当时,开口向下xyO1【习题5】 已知二次函数的图像如下图所示,下列结论中正确的个数是( ) ;b = 2a;A4个B3个C2个D1个【难度】【答案】A【解析】由图得,抛物线对称轴为直线,可得,可得、正确,当时,正确,当时,正确【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,根据图像的开口方向、对称轴、零点以及特殊点来判断【习题

21、6】 已知抛物线的对称轴为直线x = 2,且经过点(3,0),则a + b + c = _【难度】【答案】0【解析】方法一:由抛物线的对称性可知,图像过,代入解析式得;方法二:由题意得,解得,【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式【习题7】 当m = _时,抛物线的对称轴是y轴【难度】【答案】【解析】抛物线对称轴是轴,解得【总结】本题考查了二次函数的对称轴【习题8】 抛物线是由抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,则b =_,c = _【难度】【答案】,【解析】向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的抛物线为,【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法Oxy【习

22、题9】 已知抛物线与y轴交于点(0,3)(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)根据图像判断当x取什么值是,抛物线在x轴上方?【难度】【答案】(1),图像如图所示;(2)、,;(3)Oxy【解析】(1)把(0,3)代入解析式得,所以解析式为;(2)当时,即,解得:,所以与轴的交点为、,顶点坐标为;(3)由图像可知,当时,抛物线在轴上方【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标【习题10】 如图,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD / x轴交抛物线的对称轴与点D,联结BD,且点A的坐标为(,0)OABCDxy(1)求该抛物

23、线的解析式;(2)求梯形COBD的面积【难度】【答案】(1);(2)6【解析】(1)把代入得,解得,抛物线解析式为(2)由抛物线的解析式可得对称轴为直线,当时,点的坐标为,点的坐标为,当时,点坐标为,故梯形COBD的面积为6【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积课后作业【作业1】 抛物线先沿x轴方向向左平移2个单位,再沿y轴方向向下平移3个单位,所得的抛物线的解析式是_【难度】 【答案】【解析】二次函数()的图像可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是:先向左(时)或向右(时)平移个单位,再向上(时)或向下(时)平移个单位【总结】本题考查了二次函数的性质及抛物线的平移,熟记抛

24、物线的性质及掌握平移口诀“上加下减,左加右减”是做题的关键【作业2】 图像的顶点为(,),且经过原点的二次函数是( )ABCD【难度】【答案】A【解析】图像的顶点为,设解析式为,把代入得,解析式为【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式,当已知顶点时,设顶点式【作业3】 与抛物线的形状大小、开口方向相同,只有位置不同的抛物线是( )ABCD【难度】【答案】B【解析】形状大小、开口方向相同,说明二次项系数一样,选B【总结】本题考查了二次函数的性质【作业4】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标(1);(2);(3);(4)【难度】【答案】(1)开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;(2)

25、开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为;(3)开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;(4)开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为【解析】抛物线()的对称轴是直线,顶点坐标是(,),把、分别代入可得对称轴和顶点坐标,当时,开口向上;当时,开口向下【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线()的对称轴是直线,顶点坐标是(,)做题的关键【作业5】 抛物线的对称轴是_,与x轴的交点坐标是_,顶点坐标为_【难度】【答案】直线,、,【解析】当时,解得,与轴的交点为、,由抛物线的对称性可知对称轴为直线,把代入解析式得,顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性【作业6】 设二次函数,当时,y随着x

26、的增大而增大,当时,y随着x的增大而减小,则k的值应取( )A12B11C10D9【难度】【答案】C【解析】由题意可知,抛物线对称轴为直线,解得【总结】本题考查了抛物线的性质,当时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;当时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的【作业7】 二次函数的部分对应值如下表:x0123y根据表格上的信息回答问题:该二次函数的图像的开口方向_;顶点坐标为_;对称轴为直线x = _;当x = 4对应的函数值y = _【难度】【答案

27、】向下,【解析】观察表格可知,当或时,根据二次函数的对称性可知对称轴为直线,所以顶点为,由对称性可知或时,函数值一样,所以时,在对称轴左侧,随的增大而增大,在对称轴右侧,随的增大而减小,抛物线开口向下【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性【作业8】 如果抛物线的顶点在直线上,求a的值【难度】【答案】【解析】抛物线的顶点坐标为,顶点在直线上,解得,【总结】本题考查了二次函数的性质,本题要注意的取值范围【作业9】 已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y = x + 3上,设点M的坐标为(a,b),求抛物线的对称轴和顶点坐标【难度】【答案】对称轴为直线,顶点坐标为【

28、解析】、两点关于轴对称, 由题意得,解得, 抛物线对称轴为直线, 把代入解析式得, 顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标,注意运用整体代入的思想【作业10】 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分,根据关系是回答:(1)该同学出手时铅球的高度是多少?(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?xyO(3)该同学的成绩是多少?【难度】【答案】(1)2;(2)5;(3)【解析】(1)把代入解析式得,该同学出手时铅球的高度是2;(2)抛物线,当时,铅球在运行过程中离地面的最大高度是5;(3),解得,(舍),该同学的成绩是【总结】本题考查了二次函数的实际应用