1、二次函数y = ax 2+ bx + c的图像内容分析二次函数的图像的研究，需要利用配方法的方式对进行变形，从而利用的图像特征研究的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系知识结构模块一：二次函数y = a(x + m)2 + k的图像知识精讲1、 二次函数的图像二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k
2、）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点例题解析【例1】 说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的【难度】【答案】抛物线的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为，由抛物线先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到【解析】抛物线（）的对称轴是直线；抛物线的顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下二次函数（）的图像可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位【总结】本题考查了二次函
3、数的性质及抛物线的平移，熟记抛物线的性质及掌握平移口诀“上加下减，左加右减”是做题的关键【例2】 在平面直角坐标系中xOy中画出二次函数的图像yOx【难度】【答案】如图：【解析】略【总结】本题考查二次函数的图像【例3】 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）A10米B20米C30米D60米【难度】【答案】A【解析】抛物线（）的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点抛物线顶点坐标为，最大高度为10米【总结】本题考查了二次函数的简单应用【例4】 与抛物
4、线形状相同，开口方向也相同，顶点为（2，）的抛物线解析式为_【难度】【答案】【解析】设解析式为，抛物线形状、开口方向相同，顶点为（2，），解析式为【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法【例5】 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_【难度】【答案】【解析】把轴向上平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，解析式为；把轴向右平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，解析式为【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移【例6】 已知二次函数的图像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（，y3）三个点，则
5、y1、y2、y3的大小关系为（ ）ABCD【难度】【答案】D【解析】二次函数的对称轴为直线， 到直线的距离越小的点就越小，【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解，做题的关键是掌握抛物线的对称性【例7】 与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为_【难度】【答案】、【解析】设解析式为，抛物线形状、开口方向与相同，顶点为（3，），解析式为、【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数【例8】 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标为_；（2）阴影部分的面积S = _；xyy1y2O12121212（3）若
6、再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向_，顶点坐标为_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）上，【解析】（1）抛物线的解析式为， 顶点坐标为（2）通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形，xyy1y2O12121212阴影部分的面积为2（3）将抛物线绕原点旋转180得到抛物线， 抛物线开口向上，顶点为【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转，求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求【例9】 已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的大致图像可能是（ ）OABCDxyxyxyxyxyOOOO【难度】【答案】A【解析】由二次函数的图像可知，一次函数过
7、第一、二、三 象限，选A【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像【例10】 抛物线的顶点为C，已知的图像经过点C，求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积【难度】【答案】1【解析】由题意知，把代入得，与坐标轴交于、，围成的三角形面积【总结】本题考查了一次函数的图像与性质【例11】 如图，已知二次函数的图像经过x轴上的点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；ABCOPxy（2）求的正弦值【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）把A（1，0）和点B（3，0），代入得：，解得，顶点（2）由得，【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合
8、，发现是直角三角形是做题的关 键【例12】 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系，如图所示（1）请直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？xyABOM【难度】【答案】（1），；（2）米【解析】（1）由题意知，； （2）设解析式为，把代入，得：， 解析式为， 当时， 这些木板最高可堆放米【总结】本题考查了二次函数的实际应用模块二：二次函数y = ax 2+ bx + c的图像知识精讲1、 二
9、次函数的图像二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式对配方得：由此可知：抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的例题解析【例13】 用配方法把下列函数解析式化为的形式（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总
10、结】本题考查了配方法，对配方得：【例14】 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图【难度】【答案】开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图像如图所示：yOx【解析】，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图略【总结】本题考查了配方法及二次函数的图像与性质【例15】 二次函数图像上部分点的坐标满足下表：x01y则该函数图像的顶点坐标为_【难度】【答案】【解析】、时的函数值都是，函数图像的对称轴为，顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是做题的关键【例16】 二次函数的对称轴为_，顶点坐标为_；二次函数的对称轴为_，顶点坐标为_【难度】【答案
11、】直线，顶点；直线，顶点【解析】抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），把、分别代入可得对称轴和顶点坐标【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）做题的关键【例17】 化成的形式为（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式【例18】 下列关于二次函数说法错误的是（ ）A抛物线的对称轴是直线B抛物线，点A（3，0）不在它的图像上C二次函数的顶点坐标是（，）D函数的图像的最低点在（，）【难度】【答案】B【解析】把代入得，点在抛物线上【总结】本题考查了二次函数的图像与性质【例19】 已知二次函数，若，那
12、么它的图像大致是（ ）ABCDxyxyxyxy【难度】【答案】A【解析】，图像开口向下，又，对称轴为直线，在轴左侧，抛物线与轴交于正半轴【总结】本题考查了二次函数的图像与性质，当、同号时，对称轴在轴左侧，当、异号时，对称轴在轴右侧，即“左同右异”，熟记系数与图像之间的关系是做题的关键【例20】 二次函数中，则其图像的顶点在第_象限【难度】【答案】四【解析】，图像开口向上，对称轴在轴右侧，又，顶点在第四象限【总结】本题考查了二次函数的图像【例21】 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图像可能是（ ）ABCDxyxyxyxy【难度】【答案】D【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数经过第一
13、、二、三象限；当时，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，一次函数经过第二、三、四象限【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【例22】 二次函数的图像的对称轴为直线（ ）Ax = 1Bx =Cx = 2Dx =【难度】【答案】A【解析】由题意得，解得，解析式为，对称轴为直线【总结】本题考查了二次函数的概念和性质【例23】 请选择一组a、b、c的值，使二次函数（）的图像同时满足下列条件：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是_【难度】【答案】，答案不唯一，符合题意即可【解析】由题意得抛物线开口向下，对称轴为直
14、线【总结】本题考查了二次函数的性质【例24】 若抛物线的顶点在y轴上，则m = _【难度】【答案】【解析】抛物线的顶点坐标为，顶点在轴上，即【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式【例25】 将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是_【难度】【答案】【解析】将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到原抛物线，所以原抛物线顶点坐标为【总结】本题考查了抛物线的平移，对于一般式我们一般先化为顶点式，然后再写平移之后的解析式【例26】 对于二次函数：（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？（2）求出此抛物线与x
15、、y轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y随着x的增大而减小【难度】【答案】（1）开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；（2）、；（3）【解析】（1），函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；（2）把代入解析式得，与轴交于；把代入解析式得，与轴交于；（3）图像开口向下，在对称轴的右侧随着的增大而减小，即时，随着的增大而减小【总结】本题考查了二次函数的图像与性质【例27】 已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值【难度】【答案】，【解析】由题意得，解得，把（0，4）代入得【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征【例2
16、8】 已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，），二次函数的对称轴是直线x =，请求出一次函数和二次函数的解析式【难度】【答案】一次函数解析式为，二次函数的解析式为【解析】把代入得，一次函数解析式为；由题意得，解得，二次函数的解析式为【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式【例29】 将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C如果是等腰直角三角形，求顶点C的坐标【难度】【答案】【解析】设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，则，设对称轴与轴交于点，可得，抛物线顶点为，由抛物线对称性可知，即，解得，（舍），顶点的坐标为【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直
17、角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键【例30】 已知抛物线经过点P（，）（1）求b + c的值；（2）若b = 3，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点P作直线PAy轴，交y轴与点A，交抛物线于另一点B，且BP = 2PA，求这条抛物线所对应的解析式【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）把代入得，整理得；（2）若，由（1）可知，抛物线解析式为，顶点坐标为（3），抛物线对称轴直线，对称轴在点左侧，可得，由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线，解得，由（1）可知，抛物线的解析式为【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线
18、的对称轴及对称性，解决此类问题的关键是先根据题意画出草图，找出其中各个量之间的关系随堂检测【习题1】 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A开口向下、对称轴为直线x =、顶点坐标为（2，9）B开口向下、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（2，9）C开口向上、对称轴为直线x =、顶点坐标为（，）D开口向上、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（，）【难度】 【答案】B【解析】抛物线（）的对称轴是直线；抛物线的顶点坐 标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向 上；当时，开口向下【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的性质是做题的关键【习题2】 在同一坐标平面内，图像不可能
19、由函数的图像通过平移变换得到的函数是（ ）ABCD【难度】 【答案】D【解析】图像在平移过程中开口的方向和大小不会变，所以平移前后的二次项系数相同【总结】本题考查了二次函数图像平移前后的特点【习题3】 在以下二次函数；中，图像以直线x = 2为对称轴，且经过点（0，1）的是_【难度】 【答案】【解析】抛物线（）的对称轴是直线； 抛物线（）的对称轴是直线， 再把分别代入解析式，检验是否等于1即可【总结】本题考查了二次函数的图像及性质【习题4】 用配方法把下列函数解析式化为的形式，并指出每个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）；（2）【难度】【答案】（1），开口向上，对称轴直线，顶点坐标；（
20、2），开口向下，对称轴直线，顶点坐标【解析】（1），抛物线开口向上，对称轴直线，顶点坐标；（2），抛物线开口向下，对称轴直线，顶点坐标【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质，对配方得：，抛物线的对称轴是直线；抛物线的顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下xyO1【习题5】 已知二次函数的图像如下图所示，下列结论中正确的个数是（ ） ；b = 2a；A4个B3个C2个D1个【难度】【答案】A【解析】由图得，抛物线对称轴为直线，可得，可得、正确，当时，正确，当时，正确【总结】本题考查了二次函数的图像与性质，根据图像的开口方向、对称轴、零点以及特殊点来判断【习题
21、6】 已知抛物线的对称轴为直线x = 2，且经过点（3，0），则a + b + c = _【难度】【答案】0【解析】方法一：由抛物线的对称性可知，图像过，代入解析式得；方法二：由题意得，解得，【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式【习题7】 当m = _时，抛物线的对称轴是y轴【难度】【答案】【解析】抛物线对称轴是轴，解得【总结】本题考查了二次函数的对称轴【习题8】 抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b =_，c = _【难度】【答案】，【解析】向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为，【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法Oxy【习
22、题9】 已知抛物线与y轴交于点（0，3）（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）根据图像判断当x取什么值是，抛物线在x轴上方？【难度】【答案】（1），图像如图所示；（2）、，；（3）Oxy【解析】（1）把（0，3）代入解析式得，所以解析式为；（2）当时，即，解得:，所以与轴的交点为、，顶点坐标为；（3）由图像可知，当时，抛物线在轴上方【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标【习题10】 如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD / x轴交抛物线的对称轴与点D，联结BD，且点A的坐标为（，0）OABCDxy（1）求该抛物
23、线的解析式；（2）求梯形COBD的面积【难度】【答案】（1）；（2）6【解析】（1）把代入得，解得，抛物线解析式为（2）由抛物线的解析式可得对称轴为直线，当时，点的坐标为，点的坐标为，当时，点坐标为，故梯形COBD的面积为6【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积课后作业【作业1】 抛物线先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式是_【难度】 【答案】【解析】二次函数（）的图像可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位【总结】本题考查了二次函数的性质及抛物线的平移，熟记抛
24、物线的性质及掌握平移口诀“上加下减，左加右减”是做题的关键【作业2】 图像的顶点为（，），且经过原点的二次函数是（ ）ABCD【难度】【答案】A【解析】图像的顶点为，设解析式为，把代入得，解析式为【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式，当已知顶点时，设顶点式【作业3】 与抛物线的形状大小、开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）ABCD【难度】【答案】B【解析】形状大小、开口方向相同，说明二次项系数一样，选B【总结】本题考查了二次函数的性质【作业4】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）
25、开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（4）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为【解析】抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），把、分别代入可得对称轴和顶点坐标，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）做题的关键【作业5】 抛物线的对称轴是_，与x轴的交点坐标是_，顶点坐标为_【难度】【答案】直线，、，【解析】当时，解得，与轴的交点为、，由抛物线的对称性可知对称轴为直线，把代入解析式得，顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性【作业6】 设二次函数，当时，y随着x
26、的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ）A12B11C10D9【难度】【答案】C【解析】由题意可知，抛物线对称轴为直线，解得【总结】本题考查了抛物线的性质，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的【作业7】 二次函数的部分对应值如下表：x0123y根据表格上的信息回答问题：该二次函数的图像的开口方向_；顶点坐标为_；对称轴为直线x = _；当x = 4对应的函数值y = _【难度】【答案
27、】向下，【解析】观察表格可知，当或时，根据二次函数的对称性可知对称轴为直线，所以顶点为，由对称性可知或时，函数值一样，所以时，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小，抛物线开口向下【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性【作业8】 如果抛物线的顶点在直线上，求a的值【难度】【答案】【解析】抛物线的顶点坐标为，顶点在直线上，解得，【总结】本题考查了二次函数的性质，本题要注意的取值范围【作业9】 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y = x + 3上，设点M的坐标为（a，b），求抛物线的对称轴和顶点坐标【难度】【答案】对称轴为直线，顶点坐标为【
28、解析】、两点关于轴对称， 由题意得，解得， 抛物线对称轴为直线， 把代入解析式得， 顶点坐标为【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标，注意运用整体代入的思想【作业10】 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，根据关系是回答：（1）该同学出手时铅球的高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？xyO（3）该同学的成绩是多少？【难度】【答案】（1）2；（2）5；（3）【解析】（1）把代入解析式得，该同学出手时铅球的高度是2；（2）抛物线，当时，铅球在运行过程中离地面的最大高度是5；（3），解得，（舍），该同学的成绩是【总结】本题考查了二次函数的实际应用