1、相似三角形的性质内容分析相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比例题解析【例1】 已知，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且求B1E1的长【难度】【答案】4【解析】解：，、分别是对应中线，即，【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比【例2】 已知，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，,的平
2、分线A1D1的长为6，求的平分线的长【难度】【答案】8【解析】解：，、分别是、的平分线，即，即的平分线的长为8【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比【难度】【答案】略【解析】已知：如图，且相似比为，、分别是、的高求证：证明：，；又、分别是、的高，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比【难度】【答案】略【解析】已知：如图，且相似比为，、分别是边、的中线求证：证明：，；又、分别是边、的中线，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比【难度
3、】【答案】略【解析】已知：如图，且相似比为，、分别是、的角平分线求证：证明：，；又、分别是、的角平分线，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质ABCDEA1E1D1C1B1【例6】 如图，和中，AD和BE是的高，和是的高， 且，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，又，又，又、分别是、的高，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用【例7】 如图，D是的边BC上的点，BE是的角平分线，交ABCDEFAD于点F，求BF：BE【难度】【答案】【解析】解：是的角平分线，又，又，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用ABCDEFGHK【例8】 如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC
4、边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K若，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积【难度】【答案】【解析】解：设，矩形，,又是高，,，,，【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识【例9】 如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，ABCEFGDHPAH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域【难度】【答案】【解析】解：矩形，又是高，,，又，【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识【例10】 一块直角三角形木板的
5、一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）【难度】【答案】甲同学方案好，理由略ABCDEFABCDEFGH【解析】解：,又，在中， 按甲的设计：设，正方形，,，；按乙的设计：过点作交于点，得，,设，则，正方形，；综上，甲设计方案好【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题模块二：相似三角形性质定理2知识精讲1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比例题解
6、析【例11】 若，与的相似比为1:2，则与的周长比为()（A）1:4（B）1:2（C）2:1（D）【难度】【答案】B【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比【例12】 ，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是【难度】【答案】2:3【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比【例13】 已知，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，求BC和A1B1的长【难度】【答案】【解析】解：，；又，【总结】本题考查相似三角形的性质【例14】 如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是【
7、难度】【答案】【解析】两三角形的相似比为，则周长比为，设大三角形周长为，小三 角形周长为，则，所以，所以大三角形的周长为【总结】相似三角形的周长比等于相似比【例15】 如图，在中，AD是BC边上的高将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为ABCDEF【难度】【答案】【解析】由折叠得垂直平分，是上的高，【总结】本题考查相似三角形的性质和判定ABCDP【例16】 如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长【难度】【答案】【解析】解：梯形，即，【总结】本题考查相似三角形的性质和判定ABCPQ【例17】 如图，在中，点P在AC上（与点A、C不重合），
8、点Q在BC上，PQ/AB当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长【难度】【答案】【解析】解：，【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力【例18】 如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上ABCDEF（1）求证：；（2）求BF的长【难度】【答案】（1）略；（2）5【解析】（1）证明：翻折成，是等边三角形，（2） 由（1）知，又， ，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似
9、三角形的面积的比等于相似比的平方例题解析【例19】 （1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍【难度】【答案】（1）10000；（2）10【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方【例20】 两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）（B）（C）（D）以上都不对【难度】【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方【总结】本题考查相似三角形的性质ABCDE【例21
10、】 如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE/BC，求的值【难度】【答案】36【解析】解：，【总结】本题考查相似三角形的判定及性质【例22】 如图，在中，D是AB上一点，若，ABCD，求的面积【难度】【答案】【解析】解：，又，【总结】本题考查相似三角形的判定及性质ABCDE【例23】 如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE/BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值【难度】【答案】【解析】解：，【总结】本题考查相似三角形的判定及性质【例24】 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，则的面积与的面积之比等于（）ABCDEF（A）1:3（B）2:3（C）（D
11、）【难度】【答案】A【解析】解：是等边三角形，又，是等边三角形，设，则， 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识ABCDEF【例25】 如图，在中，D、E分别为垂足若，求四边形DEAB的面积【难度】【答案】3【解析】解：，又，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识【例26】 如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DEABCDEF求的值【难度】【答案】【解析】分别过点A、F作、，KGH交BC分别于点H、G，得，联结AF并延长交BC于点K、是的中线，是重心， ，【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三
12、角形中位线及三角形的面积等ABCDEFO【例27】 如图，在矩形ABCD中，AB = 2cm，BC = 4cm，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE于AC交于点F，求：（1）BE的长；（2）的面积【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）矩形，且，；（2），又，【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识ABCDEFG【例28】 如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF/BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若，求的值【难度】【答案】【解析】解：，是中线，,【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行
13、线等知识ABCDEO【例29】 如图，在中，于点D，于点E，EC和BD相交于点O，联结DE若，求的值【难度】【答案】【解析】解：，,，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识ABCDEF【例30】 如图，于点F，且CE = 5，求：（1）BC的长；（2）【难度】【答案】（1）；（2）15【解析】解：（1），又，；（2） ，又，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识随堂检测【习题1】 已知，AD、分别是和的角平分线，且，则【难度】【答案】6【解析】解：，、分别是对应角平分线，【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比【习题2】 若一个三角形三边之比为，与它相似
14、的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为【难度】【答案】24【解析】解：设三角形的三边长为，由题知， 【总结】本题考查相似三角形的性质【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）（B）（C）（D）以上都不对【难度】【答案】B【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比【习题4】 已知：D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点求证：【难度】【答案】略【解析】解：、分别是的边、的中点， 【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识ABCDENM【习题5】 如图，DE是的中位线，N是DE的中点
15、，CN的延长线交AB于点M，若= 24，求【难度】【答案】略【解析】解：联结 是的中位线， ， ，是的中点， ， ， ， ，【总结】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方，还考查了等高三角形面积比等于底边的比ABCDEFGHP【习题6】 如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长【难度】【答案】24【解析】设正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为24【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系【习题7】 如图，在中，点D在边BC上，DE/AB，DE交A
16、C于点E，点F在边AB上，且（1）求证：DF/AC；（2）如果BD:DC = 1:2，的面积为18cm2，求四边形AEDF的面积ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）证明：，； （2）解：， ， ， ，,， ，【总结】本题考查三角形内接平行四边形的相关知识，还考查了相似三角形的性质等【习题8】 梯形ABCD的面积为S，AB/CD，AB = b，CD = a（a b），对角线AC、BD相交于点O，的面积为，求a:b的值【难度】【答案】略【解析】解：如图，设的面积为， 的面积为， ， ， 得. ，.联立，解得：， ， 【总结】本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系【习题9】 在锐
17、角中，矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上，顶点G在AC边上，如果矩形DEFG的长为6，宽为4，设底边BC上的高为，的面积为，求与的函数关系式【难度】【答案】【解析】解：如图，矩形，又AH是高，又， 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识GABCDEA图1【习题10】 如图，在中，BC = 10，的面积为25，点D为AB边上任意一点（点D不与点A、B重合），过点D作DE/BC，交AC于点E设DE = x，以DE为折线将翻折（使落在四边形DBCE所在的平面内），所得的与梯形DBCE重叠部分的面积记为y （1）用x表示的面积； （2）求出时，y与x的函数关系式H【
18、难度】【答案】略【解析】解：（1），图2，（2） ， 若点在边上，则的高为， 当时，； 当时，如图2， ，即；综上，【总结】本题考查了相似三角形的性质和判定，以及建立函数关系式，审题很关键，而且要分清楚运动过程中重叠部分面积到底怎么求课后作业【作业1】 且，DE边上的中线长为10，则AB边上的中线长为【难度】【答案】5【解析】解：， DE边上的中线与AB边上的中线的比等于相似比 相似比为，AB边上的中线长为5【总结】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线比等于相似比【作业2】 已知两个三角形相似，根据下列数据填表：相似比3周长的比面积的比1000.01【难度】【答案】，；，；，；，；，；
19、，；，【解析】略【总结】相似三角形的周长比等相似比，面积比等于相似比的平方【作业3】 两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形的面积为【难度】【答案】【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方ABCDO【作业4】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，= 4平方米，= 9平方米，则平方米【难度】【答案】25【解析】解：，,，【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高三角形的面积比等于底边的比【作业5】 如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，DE/BC，（1）写出图中所有与相似的三角形（不必证明）；ABCDE（2）如果CD = 20cm，BC
20、= 30cm，的面积为18cm2，求的面积【难度】【答案】略【解析】（1），； （2）由（1）知：， , ， ， ， ， ，【总结】本题考查相似三角形的判定和性质知识ABCDEF【作业6】 如图，梯形ABCD中，AD/BC，E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线交CD于点F，已知AD = 2，BC = 6（1）如果，试求EF的长；（2）如果，试求EF的长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）过点A作交BC于点N，交EF于点MABCDEF，四边形ANCD是平行四边形，MN 四边形AMFD是平行四边形，ABCDEFG，（2）分别延长BA、CD交于点G，,设，则， ，【总结】本题考查梯形
21、的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有相似三角形的性质及判定等知识【作业7】 中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE/BC（1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长；（2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1），；（2）， ， ，【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质ABCDEO【作业8】 如图，在中，若，求的度数【难度】【答案】【解析】解：， ，又，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定以及直角三角形的性质等知识ABCDEF【作业9】 如图，在等边中，点D、E分别在BC、AC上，
22、BD = CE，AD与BE交于点F如果AB = 12，BD = 4，求【难度】【答案】【解析】解：过点A作交BC于点G是等边三角形，G，BD = 4，,，在中，在中，,【总结】本题考查相似三角形的性质及判定以及等边三角形的性质等知识【作业10】 如图，梯形ABCD中，AD/BC，BC = 3AD，E是腰AB上的一点，连接CE（1）如果，AB = CD，BE = 3AE，求的度数；（2）设和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1 = 3S2，试求的值MABCDE【难度】【答案】（1）60；（2）4【解析】解：（1）分别延长BA、CD交于点M，如图所示，即设，则，又，又，为等边三角形， （2），设，则，又，设，则，【总结】本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有同高三角形的面积比可以转化为底边的比等知识