1、相似三角形的判定（二）内容分析相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似如图，在与中，如果，那么ABCA1B1C1例题解析【例1】 根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来（1），（2），【难度】【答案】（1
2、）相似，（2）相似，【解析】略【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置【例2】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与求证：ABCDEF【难度】【答案】略【解析】由图知：，【总结】本题考查相似三角形的判定定理3【例3】 如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点求证：ABCDEF【难度】【答案】略【解析】、分别是边、的中点，【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质【例4】 的边长分别为a、b、c，的边长分别为、，则与（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似【难度】 【答案】不一定【解析】若时，相似；若a、b、c中有两个不等，那么它们就不
3、相似【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想ABCDE【例5】 如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足求证：【难度】【答案】略【解析】 ， 即 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识【例6】 如图，在中，ABCD求证：【难度】【答案】略【解析】，在中， ，【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识【例7】 已知：如图，在中，点D 在BC边上，且（1）求AD的长；（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF求证：ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）， 在中， （2）点分别是AD、AB的中点，在、中，【总结】本题
4、考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识【例8】 如图，在梯形ABCD中，AB / CD，点E是AD的中点（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）证明：过点作，垂足为，如图，又，四边形是平行四边形又，平行四边形是矩形，在中，点是的中点 又，（本题还可用其它方法证明） （2）与相似 在中， 在中， 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力本题实际上是“一线三直角”模型模块二：直角三角形相似的判定定理知识精讲1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角
5、三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似ABCA1B1C1如图，在和中，如果，那么例题解析【例9】 在和中，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由（1），；（2），；（3），；（4），【难度】【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等，故相似；（2） 相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；（3） 不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似；（4） 相似，斜边和直角边对应成比例，故相似【解析】略【总结】本题考查了相似三角形的判定方法，要灵
6、活运用ABCDA1B1DC1【例10】 如图，在和中，垂足为D和，且求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，又，同理可得：， 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法【例11】 如图，四边形ABCD中，求证：ABCD【难度】【答案】略【解析】证明：， 又， 又， 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识【例12】 如图，且ABCD求证：【难度】【答案】略【解析】证明：， 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识【例13】 如图，在中，于D，于F，于G求证：ABCDFG【难度】【答案】略【解析】证明：，又， ，即同理可得：
7、， 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识【例14】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是【难度】【答案】【解析】解：如右图，在中，于点，设，易证，得，得，所以解得，而，所以【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识ABCDEFM【例15】 如图，直角梯形ABCD中，AD / BC，E为梯形内一点，且将绕点C旋转90使BC与DC重合，得到，连接EF交CD于点M已知，求的值【难度】【答案】【解析】解：由旋转的性质得：，且， 在中， 【总结】本题考查了旋转的性质，三角
8、形一边的平行线等相关知识【例16】 如图，在中，于D，于E，于F，求证：ABCDEF【难度】【答案】略【解析】证明：，又， ，即同理，可得：， 即 又， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识【例17】 在中，于点D，E是AC边上的一个动点（不与A、C重合），于点F，连接DFABCDEF（1）求证：；（2）求证：【难度】【答案】略【解析】证明：（1）， 又， （2）， 又， ，即， 又， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识【例18】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似【难度】【答案】略
9、【解析】已知：如图，、分别是、边、上的中线，且求证：证明：分别延长、到点使得、分别是、边、上的中线， ， ， ，又， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法【例19】 如图，在中，点E在CD上，于F，于G求证：【难度】BCDEFG【答案】略【解析】证明：联结， 又， ， ， 又， ， 即又， ， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立【例20】 如图，、是正三角形ABCDEF求证：【难度】【答案】略【解析】证明：、是正三角形， ， ， ， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角
10、形的性质等知识模块三：相似三角形的判定综合知识精讲1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似例题解析【例21】 根据下列条件，能判定和相似的个数是（）（1），；（2），；（3），；（4），（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【难度】【答案】A【解析】（1）（2）（3）不相似，（4）相似【总结】本题考查了三角形相似的判定知识【例22】 如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC
11、边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（）ABCDEP（A）（B）（C）P是BC的中点（D）【难度】【答案】C【解析】略【总结】本题考查了三角形相似的判定知识【例23】 已知中，BD是角平分线，求证：ABCD【难度】【答案】略【解析】证明：，又是角平分线， ， ，【总结】本题考查了三角形相似的判定知识，此三角形是黄金三角形【例24】 在中，D为AB上一点，在AC上取一点E，得到，若与相似，则【难度】【答案】或【解析】若与相似，则分两种情况：或，得或，即可得解【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论ABCDEFGH123【例25】 如图，四边形ABDC、CDFE、EF
12、GH是三个正方形，则的值为多少？【难度】【答案】【解析】解：设正方形、的边长为1则， 四边形是正方形， 又， 【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键【例26】 如图，正方形ABCD的边长为2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM为何值时，与以M、N、C为顶点的三角形相似ABCDENM【难度】【答案】当为或时，与以M、N、C为顶点的三角形相似【解析】解：四边形是正方形， 又， 在中， 当 时， ； 当 时， 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点【例27】 如图，求证：BC平分ABCDE【难度】【答案】略【解析】证明：， 即又， 又， 又， 即平分【
13、总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质【例28】 如图，在中，M在AB上，且，在AC上求作一点N，使与原三角形相似，并求AN的长【难度】【答案】或【解析】解：如右图，要使与原三角形相似，有两种情况： ， 当时， ，即， 当与不平行时， ，即，或【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点【例29】 如图，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：过点作于点，得， 又， ， 即 ，即【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识【例30】 如图，在和中，（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；ABCDEF（2）能否分别过点A、D在这两个三角形中各作一条辅助线，
14、使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论【难度】【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略【解析】（2）题分割如下： 作交于点，作交于点，可证明，再证明另一对也相似即可【总结】本题考查了相似三角形的判定知识ABCDEF【例31】 如图，在中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，沿着直线EF翻折后与重合，设，试问是否有可能与相似，如有可能，求出CD的长；如不可能，说明理由【难度】【答案】有可能与相似，此时或【解析】解：翻折后，当时，即 ；当时，即 或【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识【例3
15、2】 如图，是等边三角形，D是AC上的一点，BD的垂直平分线交AB于E，交BC于F（1）当点D在边AC上移动时，中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D在边AC上移动时，与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程又问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，试求的值ABCDEF【难度】【答案】（1）始终不变，且等于；（2） 证明略；当点移动到中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3） 【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2） 相似比为1，说明，得又，所以垂直平分，得平分，则是等边三角形，进而得出结论；（3） 【总结】本题考查了相似三角
16、形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识随堂检测【习题1】 如图，网格里面有许多三角形在下列所列出的各三角形之中，不能够与相似的是（）ABCDEFGHK（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】A【解析】三边对应成比例，两三角形相似【总结】本题考查了相似三角形的判定知识【习题2】 下列命题中，说法正确的个数是（）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；（4）两边对应成比例的两个三角形相似（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【难度】【答案】B【解析
17、】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，是等边三角形，于 点，是顶角为的等腰三角形，交的延长线于点， ，但与不相似；（4）错误【总结】本题考查了相似三角形的判定知识ABCDEF【习题3】 如图，AC与ED交于点F，则【难度】【答案】【解析】由，得【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质知识，此图是比较重要的相似基本模型【习题4】 在中，点G为重心，若BC边上的高为6，求点G到BC的距离【难度】【答案】【解析】解：如图，联结并延长交于点，分别作、 于点、由题知， 点G为重心， 又， 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题ABCDEF【习题5】 如图，在中，于D，E为AC上一点，
18、于F，联结DF求证：【难度】【答案】略【解析】证明：， 又， ，即 同理，得： ， 又， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识【习题6】 已知梯形ABCD中，AB / CD，点E在BC边上自B点向C点移动，求使得与相似的BE的值ABCDE【难度】【答案】或【解析】解：由题知：与相似，分两种情况：设（1），得：，即，解得；（2），得：，即，得，解得；综上：或【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用【习题7】 如图，梯形ABCD中，AD/BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE/CD交CA的延长线于点E，求证：ABCDEO【难度】【答案】略【解析
19、】， ， ， 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用【习题8】 如图，在中，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间与相似？ABCPQ【难度】【答案】或时，与相似【解析】设经过秒与相似，则， 要使与相似，有两种情况： 当， 即，；当，即。或时，与相似【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点【习题9】 如图，中，O是AB的中点，将45角的顶点置于点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，
20、请找出，并证明；（2）设，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；ABCDEO（3）当x为何值时，是等腰三角形？【难度】【答案】（1）有，证明略；（2） ；（3） 当时，是等腰三角形【解析】（1）“一线三等角”基本模型；（2），又，而， ；由，得：，得；（3）当时，是等腰三角形当点与点重合时，是等腰直角三角形，此时；当点与点重合时，是等腰直角三角形，此时；是等腰三角形时，【总结】本题考查的是“一线三等角”基本模型ABCPQN【习题10】 在中，CQ是斜边AB上的中线，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，若与相似，求BP的值【难度】【答案】或【解析
21、】解：，CQ是斜边AB上的中线，在中，由勾股定理得与相似，而，设，则 当点在延长线时， 即，解得：； 当点在延长线时， 即，解得：；综上所述，或【总结】本题比较综合，需要进行适当转化，得到相似，运用相似性质，得出结论课后作业【作业1】 如图，与在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形的顶点位置，试判定与是否相似，为什么？ABCDEF【难度】【答案】相似【解析】解：由图知，【总结】本题考查了三角形相似的判定定理3【作业2】 下列每组中的两个三角形，相似的是（）（A）中，；中，（B）中，；中，（C）中，；中，（D）中，斜边，直角边；中，斜边，直角边【难度】【答案】D【解析】略【总结】本题考
22、查了三角形相似的判定方法【作业3】 如图，于点D，于点E，交AD于点F，则图中相似三角形的对数是（）（A）3对（B）4对（C）5对（D）6对ABCDEF【难度】【答案】D【解析】，六对【总结】本题考查了三角形相似的判定方法ABCDEFG【作业4】 如图，在中，CD垂直平分AB，点E在CD上，于F，于G求证：【难度】【答案】略【解析】证明：垂直平分，又， ，又， ， 即 同理得【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识ABCDEFG【作业5】 如图，D是AC上的点，BE平行于AC，AE分别交BD、BC于点F、G，求证：BF是FG和EF的比例中项【难度】【答案】略【解析】证明：
23、， 又， 又， ， 是和的比例中项【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、平行线的性质等知识ABCDEFH【作业6】 已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：过点作于点，得正方形ABCD，又， ， 设，则，由勾股定理得：， ， 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质、正方形的性质等知识【作业7】 如图，正方形ABCD中，P是BC边上与B、C不重合的任意点，于Q（1）求证：；（2）当点P在BC上变化时，线段DQ也随之变化设，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围ABCDPQ【难度】【答案】（1）证略；（2）【解析】（
24、1)证明：正方形ABCD， ，（2）由得：，即 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、正方形的性质等知识ABCDEF【作业8】 如图，在中，于D，于E，于F求证：【难度】【答案】略【解析】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，即，即【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、矩形的性质、三角形一边的平行线等知识【作业9】 如图，A是等边的边RQ的延长线上的点，B是QR延长线上的点（1）若，求证：；（2）若，当RB与QR满足什么条件时，？ABPQR12（3）有可能与相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由【难度】【答案】略【解析】（1）证明：是等边三角形， ，而， ， ，即， ； （2）当时，； （3）与不可能相似，因为，所以，所以不可能相似【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质，此图也是相似常考图形