1、 1 / 17 数的整除 一个整数 整数间的关系 奇数 偶数 素数 合数 分解素因数 能被 2 整除的数的特征 能被 5 整除的数的特征 最大公因数 最小公倍数 整除 因数 倍数 互素 公因数 公倍数 数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的， 通过本章的学习， 学生需要 理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数 的概念， 掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法， 难点是利用最大公因数 和最小公倍数解决实际问题目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活 的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题， 从而增强应用数学的意识，体会数学与生
2、活的联系，了解数学的价值，增进对数 学的理解 单元练习：数的整除 内容分析内容分析 知识结构知识结构 2 / 17 【练习1】下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（ ） A4 和 9 B16 和 64 C1.6 和 3.2 D7.2 和 3.6 【难度】 【答案】B 【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零，只有 B 符合； 【总结】本题考查了整除的意义 【练习2】下列说法中正确的个数是（ ） （1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大； （2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除； （3）一个正整数的因数至少有两个 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】 【答案】
3、B 【解析】 （1）一个正整数的最小倍数和最大因数都是它本身，所以 A 错误； （2）正确； （3）1 的因数只有 1 本身，所以 C 错误； 【总结】本题考查了倍数与因数的意义； 【练习3】一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（ ）外都可以 A加上 1 B减去 3 C乘以 2 D除以 2 【难度】 【答案】D 【解析】A、B、C 都正确；奇数除以 2 是分数，不是偶数，选择 D； 【总结】本题考查了奇数和偶数的意义 选择题选择题 3 / 17 【练习4】下列式子中，分解素因数正确的是（ ） A90529 B633 3 7 1 C11 555 D12223 【难度】 【答案】D 【解析】分解素因
4、数指把合数写成几个素数相乘的形式，A 中 9 是合数，B 中 1 不是素 数，C 中式子顺序写反了，故选择 D； 【总结】本题考查了分解素因数的意义 【练习5】大于 2 的两个素数的乘积一定是（ ） A素数 B合数 C素因数 D偶数 【难度】 【答案】B 【解析】略 【总结】本题考查了素数、合数、素因数的概念 【练习6】素数中偶数的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】 【答案】B 【解析】2 是素数中唯一的偶数； 【总结】本题考查了素数中唯一的偶数 2 这个特例 【练习7】两个不等于 1 的正整数 a 与 b 的积一定是（ ） A奇数 B偶数 C合数 D素数 【难度】
5、 【答案】C 【解析】略 【总结】本题考查了素数、合数、素因数的概念 4 / 17 【练习8】下列数中是 3 的倍数的是（ ） A370 B371 C372 D373 【难度】 【答案】C 【解析】能被 3 整除的数的特征：各个数位上的和是 3 的倍数，故选 C； 【总结】本题考查了能被 3 整除的数的特征； 【练习9】用 0、1、2 三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【难度】 【答案】B 【解析】有四种情况：102，120，201，210，其中偶数有 3 个； 【总结】本题考查了偶数的定义 【练习10】下列说法中，正确的个数是（ ） （
6、1）一个奇数与一个偶数，一定互素； （2）任何一个合数至少有 3 个因数； （3）两个数有公因数 1，这两个数一定互素； （4）两个素数的和一定是偶数； （5）一个自然数不是偶数就是奇数； （6）一个自然数不是素数就是合数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】B 【解析】 （1）错误，反例：15 和 6； （2）正确； （3）错误，两个数只有公因数 1，称这两个数互素； （4）错误，反例：2 和 3； （5）正确； （6）错误，反例：0 和 1； 【总结】本题考查了整数的基本概念和分类 5 / 17 【练习11】下列说法中，正确的个数是（ ） （1）能被 1 和它本身整除
7、的数都是素数； （2）素数的平方一定是合数； （3）一个数是 2 的倍数，一定是合数； （4）如果两个数互素，就没有公因数； （5）两个素数必定是互素数； （6）两个奇数必定是互素数； （7）两个合数必定不是互素数； （8）两个偶数必定不是互素数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】C 【解析】 （1）错误，任何数都能被 1 和它本身整除； （2）正确； （3）错误，反例：2； （4）错误，反例：1 和 2； （5）正确； （6）错误，反例：15 和 25； （7）错误，反例：8 和 9； （8）正确； 【总结】本题考查了整数的概念和分类 【练习12】小于 10 的不是素
8、数的正整数是（ ） A2、4、6、8 B2、4、6、8、1 C4、6、8、9、1 D4、6、8、9 【难度】 【答案】C 【解析】略 【总结】本题考查了素数的概念 6 / 17 【练习13】下列说法中，正确的个数是（ ） （1）相邻两个正整数的乘积，就是它们的最小公倍数； （2）甲数和乙数都是它们的最小公倍数的因数； （3）因为4276，所以 42 是倍数，7 是因数； （4）自然数除了 1 和 0 之外，不是素数，就是合数； （5）1 与任何自然数都是互素数； （6）数 a 除以数 b，如果商是 5，那么数 a 一定能被数 b 整除 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】
9、C 【解析】 （1）正确，相邻的两个正整数互素，所以乘积是它们的最小公倍数； （2）正确； （3）错误，因数和倍数是相对而言的，可以说 42 是 7 的倍数，不能直接说 42 是倍数； （4）正确； （5）错误，自然数包括 0，互素是两个正整数之间的关系； （6）错误，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零； 【总结】本题考查了整数的相关概念 【练习14】已知23 5m ，则 m 的因数共有（ ）个 A3 B5 C8 D10 【难度】 【答案】C 【解析】方法一：列举法 m 的因数是：1，2，3，5，6，10，15，30； 方法二：约数定理，一个合数 abc mxyz 则 m 的因数个数是
10、：(1)(1)(1)abc 【总结】本题考查了约数个数的求法 7 / 17 【练习15】16、24 和 30 的公因数有（ ）个 A0 B1 C2 D3 【难度】 【答案】C 【解析】列举法：16、24 和 30 的公因数有 1，2，共 2 个 【总结】本题考查了三个正整数公因数的求法 【练习16】下列各数中，不是 12 和 15 的公倍数的是（ ） A60 B120 C300 D30 【难度】 【答案】D 【解析】12 与 15 的最小公倍数是 60，所以 60 的倍数都是 12 和 15 的倍数，因为 30 不 是 60 的倍数，所以选择 D 【总结】本题考查了倍数的求法 【练习17】下列
11、各组数中，最大公因数最小的是（ ） A2 和 6 B15 和 25 C100 和 101 D9 和 18 【难度】 【答案】C 【解析】100 和 101 互素，公因数只有 1，所以最大公因数是 1，选择 C； 【总结】本题考查了最大公因数的求法 【练习18】下列各组数中，不是互素数的是（ ） A28 和 29 B97 和 100 C66 和 154 D37 和 97 【难度】 【答案】C 【解析】66 和 154 是偶数，有公因数 2，不是互素数，选择 C； 【总结】本题考查了互素的概念 8 / 17 【练习19】幼儿园大班有 36 个小朋友，中班有 48 个小朋友，小班有 54 个小朋友按
12、 班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有（ ）个小朋友 A69 B46 C23 D6 【难度】 【答案】C 【解析】因为 36、48、54 的最大公因数是 6， 所以每组最多有： (36+48+54) 6=6+8+9=23（人） 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习20】一筐苹果，2 个一拿还剩 1 个，3 个一拿还剩 2 个，4 个一拿还剩 3 个，5 个 一拿还剩 4 个，则这筐苹果最少应有（ ） A31 B59 C61 D121 【难度】 【答案】B 【解析】由已知得：这筐苹果加 1 是 2、3、4、5 的倍数，所以苹果数是 2、3、4、5 的 公倍数减 1； 2、3、4、5
13、 这四个数的最小公倍数是 60， 所以这筐苹果至少有 60-1=59（个） 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 9 / 17 【练习21】4.80.224， 所以说 4.8 能被 0.2 _（填“整除”或“除尽”或“除不尽”） 【难度】 【答案】除尽 【解析】整除：整数a除以整数b，所得的商是整数且余数为零； 除尽：数a除以数b，所得的余数为零； 除尽包含整除；所以本题属于除尽； 【总结】本题考查了整除与除尽的区别与联系 【练习22】能整除 6 的数有_ 【难度】 【答案】1、2、3、6 【解析】61 623 【总结】本题考查了因数的求法 【练习23】能同时被 2、3、5 整除的最小的三位数是
14、_； 在 200 内，能同时被 3 和 5 整除的最大奇数是_ 【难度】 【答案】120， 195 【解析】 （1）因为 2、3、5 的最小公倍数是 30，所以所求的最小三位数是：30 4=120； （2）因为 3 与 5 的最小公倍数是 15，所以 200 内的最大奇数是 15 13=195 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 【练习24】一个奇数与一个偶数的差一定是_ （“奇数”或“偶数”） 【难度】 【答案】奇数 【解析】 偶数与偶数的和、 差、 积都是偶数； 奇数与偶数的和、 差是奇数， 积是偶数； 奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数； 【总结】本题考查了奇数与偶数的运算性质 填空题填
15、空题 10 / 17 【练习25】10 以内的素数中，减去 2 后还是素数的有_ 【难度】 【答案】5 和 7 【解析】10 以内的素数有 2、3、5、7，减去 2 后还是素数的有 5 和 7； 【总结】本题考查了素数的概念 【练习26】一个数百位上数字是最小的合数，十位上数字是最小的素数，个位上数字是 最小的自然数，那么这个三位数是_ 【难度】 【答案】420 【解析】最小的合数是 4，最小的素数是 2，最小的自然数是 0；故答案是 420 【总结】本题考查了整数的相关概念 【练习27】已知223 5A ，23 37B ， 那么 A、 B 两数的最大公因数是_， 最小公倍数是_ 【难度】 【
16、答案】6； 1260 【解析】A 和 B 的共有素因数是 2、3， 所以最大公因数是：2 3=6； 最小公倍数是：6 2 5 3 7=1260 【总结】本题考查了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数 【练习28】一个数能被 3、6、7 整除，这个数最小是_ 【难度】 【答案】42 【解析】3、6、7 的最小公倍数是 42 【总结】本题考查了三个数最小公倍数的求法 【练习29】已知23Am ，25Bm ， 如果A、 B的最大公因数是14， 则m =_ 【难度】 【答案】7 【解析】A 和 B 的共有素因数是 2、m， 所以最大公因数是：2m=14， 解得：m=7 【总结】本题考查了用分
17、解素因数法求两个数的最大公因数 11 / 17 【练习30】三个连续奇数的和是 111， 夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是_ 【难度】 【答案】36， 38 【解析】设三个奇数为22nnn， ，； 则：22111nnn 解得：37n 所以夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是 36，38； 【总结】本题考查了三个连续自然数、奇数、偶数的运算规律 【练习31】由 0、 4、 1 三个数字组成的数字不重复的三位数中， 能被 5 整除的有_个 【难度】 【答案】2 【解析】有四种情况：104，140，401，410， ； ，其中能被 5 整除的有 2 个； 【总结】本题考查了能被 5 整除的数的特征
18、【练习32】两个素数的和是 21，那么这两个素数的积是_ 【难度】 【答案】38 【解析】由已知得：两个素数中有一个为 2，则这两个素数是 2 和 19；2 19=38 【总结】本题考查了对素数中唯一偶数 2 的应用 【练习33】28 和 42 相同的素因数是_ 【难度】 【答案】2 和 7 【解析】因为 28=2 2 7； 42=2 3 7；所以 28 和 42 相同的素因数是 2 和 7 【总结】本题考查了素因数的概念和分解素因数 12 / 17 【练习34】三个正整数的积是 84， 其中两个数的和等于第三个数， 那么这三个数分别是 _ 【难度】 【答案】3，4，7 【解析】因为 84=2
19、 2 3 7=3 4 7，又其中两个数的和等于第三个数， 所以这三个数是 3、4、7 【总结】本题考查了分解素因数的应用 【练习35】在小于 10 的正整数中，两个互素的合数有_ 【难度】 【答案】4 和 9， 8 和 9； 【解析】在小于 10 的正整数中合数有：4、6、8、9， 其中互素的有：4 和 9， 8 和 9 【总结】本题考查了互素的概念 【练习36】一对互素数的最小公倍数是 36，那么这两个数的和是_ 【难度】 【答案】37 或 13 【解析】因为 36=2 2 3 3=1 36=4 9， 所以这两个数是 1，36 或 4，9； 和是 37 或 13 【总结】本题考查了互素的概念
20、 【练习37】有 3 个不同的自然数组成一个等式：，这三个数中最多 有_个奇数 【难度】 【答案】1 【解析】若有 3 个奇数，则等式左边为奇数，右边为偶数，等式不成立； 若有 2 个奇数，则等式左边为偶数，右边为奇数，等式也不成立； 若有 1 个奇数，则等式左边奇数，且当代表奇数时，等式右边也为奇数， 等式成立； 所以最多只有 1 个奇数 【总结】本题考查了奇数与偶数的运算性质 13 / 17 【练习38】用 96 朵红花和 72 朵黄花做成花束，如果各束花里红花的朵数相同，黄花的 朵数也相同，那么每束花里至少有_朵花 【难度】 【答案】7 【解析】因为 96 与 72 的最大公因数是 6，
21、所以每束花至少有（96+72） 6=7（朵） 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习39】一个房间长和宽分别是 360 厘米、450 厘米，如用正方形地砖铺设，为使地 砖都整块使用，且地砖的表面积尽量大（边长不超过 1 米） ，则应用边长为 _厘米的地砖铺设 【难度】 【答案】90 【解析】360 与 450 的最大公因数是 90，所以应用边长为 90 厘米的地砖 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习40】9 月 9 日，哥哥从学校打电话向奶奶问好，姐姐来看望奶奶，妹妹为奶奶打 扫房间如果妹妹每隔 3 天打扫一次房间，哥哥每隔 5 天打一次电话，姐姐 每隔 6 天看望奶奶一次，则下次
22、是_月_日，问好、看望、打扫这三件 事在同一天发生 【难度】 【答案】10 月 9 日 【解析】因为 3、5、6 这三个整数的最小公倍数是 30， 又 9 月 30 天，从 9 月 9 日开始剩余 21 天， 所以 10 月 9 日问好、看望、打扫这三件事在同一天发生 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 14 / 17 【练习41】一个两位数，其中个位上的数字比十位上的数字大 2，且能被 5 整除，试求 符合条件的两位数 【难度】 【答案】35 【解析】因为这个两位数可以被 5 整除， 所以个位数字是 0 或 5 因为个位上的数字比十位上的数字大 2， 所以个位数字是 5，十位数字是 3， 所
23、以这个数字是 35 【总结】本题考查了被 5 整除的数字特征 【练习42】六年级 4 个小组帮果农收橘子，第一小组收了 127 千克，第二小组收了 149 千克，第三小组收了 238 千克，第四小组只收了 95 千克问，最少还应收多 少千克，就可以把全部的橘子平均分成 4 份？并求出每份的重量 【难度】 【答案】3 【解析】能被 4 整除的数的特征：最后两位数是 4 的倍数； 因为 127=124+3； 149=148+1； 238=236+2； 95=92+3； 所以 3+1+2+3+（ 3 ）是 4 的倍数，故至少需要再加 3； 每份是（124+148+236+92+12） 4=31+37
24、+59+23+3=153（千克） 答：至少再加 3 千克，每份 153 千克 【总结】本题考查了能被 4 整除的数的特征 【练习43】商店将积压的圆珠笔降价到每支不足 0.4 元出售，共卖得 31.93 元问：商 店共卖出多少支圆珠笔？ 【难度】 【答案】103 支 【解析】因为 3193=31 103， 所以 31.93=0.31 103 答：卖出 103 支 【总结】本题考查了因数的求法 解答题解答题 15 / 17 【练习44】两个正整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 144，其中一个是 48，求另一 个数 【难度】 【答案】36 【解析】由已知 48=12 4，设另一个数为 12a
25、，则：12 4 a=144 解得：a=3 另一个数是：36 【总结】本题考查了用分解素因数法求两个数的最小公倍数的应用 【练习45】初中年级某学生参加计算机操作技能比赛（满分 100 分） ，他获得的名次， 他的年龄，他得的分数的乘积是 2910，试问这个学生得第几名？成绩是多 少？ 【难度】 【答案】第 2 名，97 分 【解析】2910=2 3 5 97 =2 15 97 所以这个学生得第 2 名，成绩是 97 分 【总结】本题考查了一个正整数因数的求法 【练习46】在长 2.4 千米的公路一边，等距离种树（两端都种） 开始每隔 6 米种一棵， 后来改成每隔 8 米种一棵，不用改种的树有多
26、少棵？ 【难度】 【答案】101 棵 【解析】因为 2.4 千米=2400 米，而 6 与 8 的最小公倍数是 24 所以不用改种的数有：2400 24+1=101（棵） 答：不用改种的树有 101 棵 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 16 / 17 【练习47】一个矩形地面，长 90 米，宽 15 米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵 树之间的距离相等，最少要种多少棵树？ 【难度】 【答案】14 棵 【解析】因为 15 与 90 的最大公因数是 15， 所以最少要种“(15+90) 2 15=14（棵） 答：最少要种 14 棵树 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习48】有一批书
27、平均分给 6 个小朋友， 结果多 1 本； 平均分给 8 个小朋友也多一本； 平均分给 9 个小朋友还是多 1 本这批书最少有多少本？ 【难度】 【答案】73 本 【解析】因为 6、8、9 这三个数的最小公倍数是 72， 所以最少有书：72+1=73（本） 答：这批书最少有 73 本 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 【练习49】大雪后的一天，小智和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和 方向完全相同，小智每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，由于两人的脚印 有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下 60 个脚印，求花园的周长 【难度】 【答案】21.6 米 【解析】因为 54 与
28、 72 的最小公倍数是 216 厘米， 所以每 216 厘米就有脚印：216 54+216 72-1=6 个（除去第一个重合的脚印） ， 所以花园的周长为：60 6 216=2160（厘米）=21.6 米 答：花园的周长是 21.6 米 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 17 / 17 【练习50】在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种 刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分如果沿每 条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【难度】 【答案】28 段 【解析】假设全长为 60 厘米， 10 等分时，每段 6 厘米， 12 等分时，每段 5 厘米， 15 等分时，每段 4 厘米， 因为 6 与 5 的最小公倍数是 30， 6 与 4 的最小公倍数是 12， 4 与 5 的最小公倍数是 20； 所以刻度线为： 606060 911 14(3)27 301220 （个） 所以木棍总共被锯成 28 段 【总结】本题主要考查了最小公倍数的应用