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著名机构数学教案讲义六年级暑假班第4讲:数的整除章节复习 - 教师版

1、 1 / 17 数的整除 一个整数 整数间的关系 奇数 偶数 素数 合数 分解素因数 能被 2 整除的数的特征 能被 5 整除的数的特征 最大公因数 最小公倍数 整除 因数 倍数 互素 公因数 公倍数 数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的, 通过本章的学习, 学生需要 理解整除的意义,理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数 的概念, 掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法, 难点是利用最大公因数 和最小公倍数解决实际问题目的在于,通过丰富的实例,体验数学与日常生活 的密切联系,感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题, 从而增强应用数学的意识,体会数学与生

2、活的联系,了解数学的价值,增进对数 学的理解 单元练习:数的整除 内容分析内容分析 知识结构知识结构 2 / 17 【练习1】下列各数中,第一个数能整除第二个数的是( ) A4 和 9 B16 和 64 C1.6 和 3.2 D7.2 和 3.6 【难度】 【答案】B 【解析】整除要求被除数、除数、商是整数,且余数是零,只有 B 符合; 【总结】本题考查了整除的意义 【练习2】下列说法中正确的个数是( ) (1)一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大; (2)一个正整数的倍数一定能被它的因数整除; (3)一个正整数的因数至少有两个 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】 【答案】

3、B 【解析】 (1)一个正整数的最小倍数和最大因数都是它本身,所以 A 错误; (2)正确; (3)1 的因数只有 1 本身,所以 C 错误; 【总结】本题考查了倍数与因数的意义; 【练习3】一个奇数要变成偶数,下面各方法中除( )外都可以 A加上 1 B减去 3 C乘以 2 D除以 2 【难度】 【答案】D 【解析】A、B、C 都正确;奇数除以 2 是分数,不是偶数,选择 D; 【总结】本题考查了奇数和偶数的意义 选择题选择题 3 / 17 【练习4】下列式子中,分解素因数正确的是( ) A90529 B633 3 7 1 C11 555 D12223 【难度】 【答案】D 【解析】分解素因

4、数指把合数写成几个素数相乘的形式,A 中 9 是合数,B 中 1 不是素 数,C 中式子顺序写反了,故选择 D; 【总结】本题考查了分解素因数的意义 【练习5】大于 2 的两个素数的乘积一定是( ) A素数 B合数 C素因数 D偶数 【难度】 【答案】B 【解析】略 【总结】本题考查了素数、合数、素因数的概念 【练习6】素数中偶数的个数是( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】 【答案】B 【解析】2 是素数中唯一的偶数; 【总结】本题考查了素数中唯一的偶数 2 这个特例 【练习7】两个不等于 1 的正整数 a 与 b 的积一定是( ) A奇数 B偶数 C合数 D素数 【难度】

5、 【答案】C 【解析】略 【总结】本题考查了素数、合数、素因数的概念 4 / 17 【练习8】下列数中是 3 的倍数的是( ) A370 B371 C372 D373 【难度】 【答案】C 【解析】能被 3 整除的数的特征:各个数位上的和是 3 的倍数,故选 C; 【总结】本题考查了能被 3 整除的数的特征; 【练习9】用 0、1、2 三个数字组成的数字不重复的三位数中,偶数有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【难度】 【答案】B 【解析】有四种情况:102,120,201,210,其中偶数有 3 个; 【总结】本题考查了偶数的定义 【练习10】下列说法中,正确的个数是( ) (

6、1)一个奇数与一个偶数,一定互素; (2)任何一个合数至少有 3 个因数; (3)两个数有公因数 1,这两个数一定互素; (4)两个素数的和一定是偶数; (5)一个自然数不是偶数就是奇数; (6)一个自然数不是素数就是合数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】B 【解析】 (1)错误,反例:15 和 6; (2)正确; (3)错误,两个数只有公因数 1,称这两个数互素; (4)错误,反例:2 和 3; (5)正确; (6)错误,反例:0 和 1; 【总结】本题考查了整数的基本概念和分类 5 / 17 【练习11】下列说法中,正确的个数是( ) (1)能被 1 和它本身整除

7、的数都是素数; (2)素数的平方一定是合数; (3)一个数是 2 的倍数,一定是合数; (4)如果两个数互素,就没有公因数; (5)两个素数必定是互素数; (6)两个奇数必定是互素数; (7)两个合数必定不是互素数; (8)两个偶数必定不是互素数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】C 【解析】 (1)错误,任何数都能被 1 和它本身整除; (2)正确; (3)错误,反例:2; (4)错误,反例:1 和 2; (5)正确; (6)错误,反例:15 和 25; (7)错误,反例:8 和 9; (8)正确; 【总结】本题考查了整数的概念和分类 【练习12】小于 10 的不是素

8、数的正整数是( ) A2、4、6、8 B2、4、6、8、1 C4、6、8、9、1 D4、6、8、9 【难度】 【答案】C 【解析】略 【总结】本题考查了素数的概念 6 / 17 【练习13】下列说法中,正确的个数是( ) (1)相邻两个正整数的乘积,就是它们的最小公倍数; (2)甲数和乙数都是它们的最小公倍数的因数; (3)因为4276,所以 42 是倍数,7 是因数; (4)自然数除了 1 和 0 之外,不是素数,就是合数; (5)1 与任何自然数都是互素数; (6)数 a 除以数 b,如果商是 5,那么数 a 一定能被数 b 整除 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】

9、C 【解析】 (1)正确,相邻的两个正整数互素,所以乘积是它们的最小公倍数; (2)正确; (3)错误,因数和倍数是相对而言的,可以说 42 是 7 的倍数,不能直接说 42 是倍数; (4)正确; (5)错误,自然数包括 0,互素是两个正整数之间的关系; (6)错误,整除要求被除数、除数、商是整数,且余数是零; 【总结】本题考查了整数的相关概念 【练习14】已知23 5m ,则 m 的因数共有( )个 A3 B5 C8 D10 【难度】 【答案】C 【解析】方法一:列举法 m 的因数是:1,2,3,5,6,10,15,30; 方法二:约数定理,一个合数 abc mxyz 则 m 的因数个数是

10、:(1)(1)(1)abc 【总结】本题考查了约数个数的求法 7 / 17 【练习15】16、24 和 30 的公因数有( )个 A0 B1 C2 D3 【难度】 【答案】C 【解析】列举法:16、24 和 30 的公因数有 1,2,共 2 个 【总结】本题考查了三个正整数公因数的求法 【练习16】下列各数中,不是 12 和 15 的公倍数的是( ) A60 B120 C300 D30 【难度】 【答案】D 【解析】12 与 15 的最小公倍数是 60,所以 60 的倍数都是 12 和 15 的倍数,因为 30 不 是 60 的倍数,所以选择 D 【总结】本题考查了倍数的求法 【练习17】下列

11、各组数中,最大公因数最小的是( ) A2 和 6 B15 和 25 C100 和 101 D9 和 18 【难度】 【答案】C 【解析】100 和 101 互素,公因数只有 1,所以最大公因数是 1,选择 C; 【总结】本题考查了最大公因数的求法 【练习18】下列各组数中,不是互素数的是( ) A28 和 29 B97 和 100 C66 和 154 D37 和 97 【难度】 【答案】C 【解析】66 和 154 是偶数,有公因数 2,不是互素数,选择 C; 【总结】本题考查了互素的概念 8 / 17 【练习19】幼儿园大班有 36 个小朋友,中班有 48 个小朋友,小班有 54 个小朋友按

12、 班分组,三个班的各组人数一样多,则每组最多有( )个小朋友 A69 B46 C23 D6 【难度】 【答案】C 【解析】因为 36、48、54 的最大公因数是 6, 所以每组最多有: (36+48+54) 6=6+8+9=23(人) 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习20】一筐苹果,2 个一拿还剩 1 个,3 个一拿还剩 2 个,4 个一拿还剩 3 个,5 个 一拿还剩 4 个,则这筐苹果最少应有( ) A31 B59 C61 D121 【难度】 【答案】B 【解析】由已知得:这筐苹果加 1 是 2、3、4、5 的倍数,所以苹果数是 2、3、4、5 的 公倍数减 1; 2、3、4、5

13、 这四个数的最小公倍数是 60, 所以这筐苹果至少有 60-1=59(个) 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 9 / 17 【练习21】4.80.224, 所以说 4.8 能被 0.2 _(填“整除”或“除尽”或“除不尽”) 【难度】 【答案】除尽 【解析】整除:整数a除以整数b,所得的商是整数且余数为零; 除尽:数a除以数b,所得的余数为零; 除尽包含整除;所以本题属于除尽; 【总结】本题考查了整除与除尽的区别与联系 【练习22】能整除 6 的数有_ 【难度】 【答案】1、2、3、6 【解析】61 623 【总结】本题考查了因数的求法 【练习23】能同时被 2、3、5 整除的最小的三位数是

14、_; 在 200 内,能同时被 3 和 5 整除的最大奇数是_ 【难度】 【答案】120, 195 【解析】 (1)因为 2、3、5 的最小公倍数是 30,所以所求的最小三位数是:30 4=120; (2)因为 3 与 5 的最小公倍数是 15,所以 200 内的最大奇数是 15 13=195 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 【练习24】一个奇数与一个偶数的差一定是_ (“奇数”或“偶数”) 【难度】 【答案】奇数 【解析】 偶数与偶数的和、 差、 积都是偶数; 奇数与偶数的和、 差是奇数, 积是偶数; 奇数与奇数的和、差是偶数,积是奇数; 【总结】本题考查了奇数与偶数的运算性质 填空题填

15、空题 10 / 17 【练习25】10 以内的素数中,减去 2 后还是素数的有_ 【难度】 【答案】5 和 7 【解析】10 以内的素数有 2、3、5、7,减去 2 后还是素数的有 5 和 7; 【总结】本题考查了素数的概念 【练习26】一个数百位上数字是最小的合数,十位上数字是最小的素数,个位上数字是 最小的自然数,那么这个三位数是_ 【难度】 【答案】420 【解析】最小的合数是 4,最小的素数是 2,最小的自然数是 0;故答案是 420 【总结】本题考查了整数的相关概念 【练习27】已知223 5A ,23 37B , 那么 A、 B 两数的最大公因数是_, 最小公倍数是_ 【难度】 【

16、答案】6; 1260 【解析】A 和 B 的共有素因数是 2、3, 所以最大公因数是:2 3=6; 最小公倍数是:6 2 5 3 7=1260 【总结】本题考查了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数 【练习28】一个数能被 3、6、7 整除,这个数最小是_ 【难度】 【答案】42 【解析】3、6、7 的最小公倍数是 42 【总结】本题考查了三个数最小公倍数的求法 【练习29】已知23Am ,25Bm , 如果A、 B的最大公因数是14, 则m =_ 【难度】 【答案】7 【解析】A 和 B 的共有素因数是 2、m, 所以最大公因数是:2m=14, 解得:m=7 【总结】本题考查了用分

17、解素因数法求两个数的最大公因数 11 / 17 【练习30】三个连续奇数的和是 111, 夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是_ 【难度】 【答案】36, 38 【解析】设三个奇数为22nnn, ,; 则:22111nnn 解得:37n 所以夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是 36,38; 【总结】本题考查了三个连续自然数、奇数、偶数的运算规律 【练习31】由 0、 4、 1 三个数字组成的数字不重复的三位数中, 能被 5 整除的有_个 【难度】 【答案】2 【解析】有四种情况:104,140,401,410, ; ,其中能被 5 整除的有 2 个; 【总结】本题考查了能被 5 整除的数的特征

18、【练习32】两个素数的和是 21,那么这两个素数的积是_ 【难度】 【答案】38 【解析】由已知得:两个素数中有一个为 2,则这两个素数是 2 和 19;2 19=38 【总结】本题考查了对素数中唯一偶数 2 的应用 【练习33】28 和 42 相同的素因数是_ 【难度】 【答案】2 和 7 【解析】因为 28=2 2 7; 42=2 3 7;所以 28 和 42 相同的素因数是 2 和 7 【总结】本题考查了素因数的概念和分解素因数 12 / 17 【练习34】三个正整数的积是 84, 其中两个数的和等于第三个数, 那么这三个数分别是 _ 【难度】 【答案】3,4,7 【解析】因为 84=2

19、 2 3 7=3 4 7,又其中两个数的和等于第三个数, 所以这三个数是 3、4、7 【总结】本题考查了分解素因数的应用 【练习35】在小于 10 的正整数中,两个互素的合数有_ 【难度】 【答案】4 和 9, 8 和 9; 【解析】在小于 10 的正整数中合数有:4、6、8、9, 其中互素的有:4 和 9, 8 和 9 【总结】本题考查了互素的概念 【练习36】一对互素数的最小公倍数是 36,那么这两个数的和是_ 【难度】 【答案】37 或 13 【解析】因为 36=2 2 3 3=1 36=4 9, 所以这两个数是 1,36 或 4,9; 和是 37 或 13 【总结】本题考查了互素的概念

20、 【练习37】有 3 个不同的自然数组成一个等式:,这三个数中最多 有_个奇数 【难度】 【答案】1 【解析】若有 3 个奇数,则等式左边为奇数,右边为偶数,等式不成立; 若有 2 个奇数,则等式左边为偶数,右边为奇数,等式也不成立; 若有 1 个奇数,则等式左边奇数,且当代表奇数时,等式右边也为奇数, 等式成立; 所以最多只有 1 个奇数 【总结】本题考查了奇数与偶数的运算性质 13 / 17 【练习38】用 96 朵红花和 72 朵黄花做成花束,如果各束花里红花的朵数相同,黄花的 朵数也相同,那么每束花里至少有_朵花 【难度】 【答案】7 【解析】因为 96 与 72 的最大公因数是 6,

21、所以每束花至少有(96+72) 6=7(朵) 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习39】一个房间长和宽分别是 360 厘米、450 厘米,如用正方形地砖铺设,为使地 砖都整块使用,且地砖的表面积尽量大(边长不超过 1 米) ,则应用边长为 _厘米的地砖铺设 【难度】 【答案】90 【解析】360 与 450 的最大公因数是 90,所以应用边长为 90 厘米的地砖 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习40】9 月 9 日,哥哥从学校打电话向奶奶问好,姐姐来看望奶奶,妹妹为奶奶打 扫房间如果妹妹每隔 3 天打扫一次房间,哥哥每隔 5 天打一次电话,姐姐 每隔 6 天看望奶奶一次,则下次

22、是_月_日,问好、看望、打扫这三件 事在同一天发生 【难度】 【答案】10 月 9 日 【解析】因为 3、5、6 这三个整数的最小公倍数是 30, 又 9 月 30 天,从 9 月 9 日开始剩余 21 天, 所以 10 月 9 日问好、看望、打扫这三件事在同一天发生 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 14 / 17 【练习41】一个两位数,其中个位上的数字比十位上的数字大 2,且能被 5 整除,试求 符合条件的两位数 【难度】 【答案】35 【解析】因为这个两位数可以被 5 整除, 所以个位数字是 0 或 5 因为个位上的数字比十位上的数字大 2, 所以个位数字是 5,十位数字是 3, 所

23、以这个数字是 35 【总结】本题考查了被 5 整除的数字特征 【练习42】六年级 4 个小组帮果农收橘子,第一小组收了 127 千克,第二小组收了 149 千克,第三小组收了 238 千克,第四小组只收了 95 千克问,最少还应收多 少千克,就可以把全部的橘子平均分成 4 份?并求出每份的重量 【难度】 【答案】3 【解析】能被 4 整除的数的特征:最后两位数是 4 的倍数; 因为 127=124+3; 149=148+1; 238=236+2; 95=92+3; 所以 3+1+2+3+( 3 )是 4 的倍数,故至少需要再加 3; 每份是(124+148+236+92+12) 4=31+37

24、+59+23+3=153(千克) 答:至少再加 3 千克,每份 153 千克 【总结】本题考查了能被 4 整除的数的特征 【练习43】商店将积压的圆珠笔降价到每支不足 0.4 元出售,共卖得 31.93 元问:商 店共卖出多少支圆珠笔? 【难度】 【答案】103 支 【解析】因为 3193=31 103, 所以 31.93=0.31 103 答:卖出 103 支 【总结】本题考查了因数的求法 解答题解答题 15 / 17 【练习44】两个正整数的最大公因数是 12,最小公倍数是 144,其中一个是 48,求另一 个数 【难度】 【答案】36 【解析】由已知 48=12 4,设另一个数为 12a

25、,则:12 4 a=144 解得:a=3 另一个数是:36 【总结】本题考查了用分解素因数法求两个数的最小公倍数的应用 【练习45】初中年级某学生参加计算机操作技能比赛(满分 100 分) ,他获得的名次, 他的年龄,他得的分数的乘积是 2910,试问这个学生得第几名?成绩是多 少? 【难度】 【答案】第 2 名,97 分 【解析】2910=2 3 5 97 =2 15 97 所以这个学生得第 2 名,成绩是 97 分 【总结】本题考查了一个正整数因数的求法 【练习46】在长 2.4 千米的公路一边,等距离种树(两端都种) 开始每隔 6 米种一棵, 后来改成每隔 8 米种一棵,不用改种的树有多

26、少棵? 【难度】 【答案】101 棵 【解析】因为 2.4 千米=2400 米,而 6 与 8 的最小公倍数是 24 所以不用改种的数有:2400 24+1=101(棵) 答:不用改种的树有 101 棵 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 16 / 17 【练习47】一个矩形地面,长 90 米,宽 15 米,要在它的四周和四角种树,每相邻两棵 树之间的距离相等,最少要种多少棵树? 【难度】 【答案】14 棵 【解析】因为 15 与 90 的最大公因数是 15, 所以最少要种“(15+90) 2 15=14(棵) 答:最少要种 14 棵树 【总结】本题考查了最大公因数的应用 【练习48】有一批书

27、平均分给 6 个小朋友, 结果多 1 本; 平均分给 8 个小朋友也多一本; 平均分给 9 个小朋友还是多 1 本这批书最少有多少本? 【难度】 【答案】73 本 【解析】因为 6、8、9 这三个数的最小公倍数是 72, 所以最少有书:72+1=73(本) 答:这批书最少有 73 本 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 【练习49】大雪后的一天,小智和爸爸共同步测一个圆形花园的周长,他俩走的起点和 方向完全相同,小智每步长 54 厘米,爸爸每步长 72 厘米,由于两人的脚印 有重合,所以各走完一圈后雪地上只留下 60 个脚印,求花园的周长 【难度】 【答案】21.6 米 【解析】因为 54 与

28、 72 的最小公倍数是 216 厘米, 所以每 216 厘米就有脚印:216 54+216 72-1=6 个(除去第一个重合的脚印) , 所以花园的周长为:60 6 216=2160(厘米)=21.6 米 答:花园的周长是 21.6 米 【总结】本题考查了最小公倍数的应用 17 / 17 【练习50】在一根长木棍上,有三种刻度线:第一种刻度线将木棍分成十等分,第二种 刻度线将木棍分成十二等分,第三种刻度线将木棍分成十五等分如果沿每 条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段? 【难度】 【答案】28 段 【解析】假设全长为 60 厘米, 10 等分时,每段 6 厘米, 12 等分时,每段 5 厘米, 15 等分时,每段 4 厘米, 因为 6 与 5 的最小公倍数是 30, 6 与 4 的最小公倍数是 12, 4 与 5 的最小公倍数是 20; 所以刻度线为: 606060 911 14(3)27 301220 (个) 所以木棍总共被锯成 28 段 【总结】本题主要考查了最小公倍数的应用