1、第12章全等三角形解答题优生辅导训练1如图 AF是ABC的角平分线，BDAF，交AF的延长线于D，DEAC交AB于E，求证：AEBE2在RtABC中，ACB90，CDAB于D，BAC的平分线AF交CD于E，交BC于F，CMAF于M，求证：EMFM3如图在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程4如图，A、B、C三点在同一直线上，ABM和BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点求证：BPQ是正三角形5在ABC中，ABC2C，BD平分ABC，交AC于D，AEBD，垂足
2、为E求证：AC2BE6如图，在边长为2的等边ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边BEF，连接DF，当BDF的周长最小时，求DBF的度数7如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高，求证：AD垂直平分EF8如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且AE请你猜想1和2有什么数量关系？并证明你的猜想解：猜想： 证明： 9阅读：如图1，在ABC中，3A+B180，BC4，AC5，求AB的长小明的思路：如图2，作BEAC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DEAE，连接BD，易得AD，ABD为等腰三角形，由3A+B180和A+AB
3、C+BCA180，易得BCA2A，BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长解决下列问题：（1）图2中，AE ，AB ；（2）在ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c如图3，当3A+2B180时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程） 当3A+4B180，b2，c3时，可得a 10在等边ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，APAQ，BAP20，求AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且APAQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM依题意将图2补全；求证：PAPM11在RtABC中，ACB90，A30，BD是ABC的
4、角平分线，DEAB于点E（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG60，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BNG60，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由12如图，点O是等边ABC内一点，AOB110，BOC以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？1
5、3数学课上，李老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“”，“”或“”）（2）一般情况，证明结论：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC 若ABC的边长为1，AE2，则CD的长为 （请直接写出结果）14已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作ACD和BCE，且CACD，CBCE，ACDBCE，直
6、线AE与BD交于点F，（1）如图，若ACD60，则AFB ；如图，若ACD90，则AFB ；如图，若ACD120，则AFB ；（2）如图，若ACD，则AFB （用含的式子表示）；（3）将图中的ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图所示的情形，若ACD，则AFB与的有何数量关系？并给予证明15已知：在等边ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得DGH是等边三角形”成立（如图），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立问题：当点G在直线BC的其它位置时，
7、该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论16如图，ABC中，ABAC，B30，点D是AC的中点，过点D作DEAC交BC于点E，连接AE若AE3，求BC的长解：ABAC，B30CB30（ ），BAC180BC120点D是AC的中点，且DEAC，ECEA3（ ），EACC30，BAEBACEAC 在RtABE中，B30，BE2 ，BCBE+EC 17几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PBAB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形AB
8、CD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 ；（2）如图3，AOB45，P是AOB内一点，PO10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值18探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AEBC，BFAC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF若DEkDF，则k的值为 拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CBCA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且MACMBC，过点M分别作MEBC，MFAC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF求证：
9、DEDF推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CBCA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论19如图，已知等腰ABC，ACB120，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得PACQAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得AHQ60（1）若PAC，求AMQ的大小（用含的式子表示）；（2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明20如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分ACB与y轴交于D点，CAO90BDO（1）求证：ACBC；（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为A
10、C上一点，且DEADBO，如图2，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DFAC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足GDHGDO+FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明参考答案1证明：AF平分BAC，BADCAD，DEAC，EDACADBAD，AEED，EDB+ADE90，BDE+BAD90，EBD+BAD90，BDEEBD，BEED，AEBE2证明：ACB90，CDAB，ADC90，AED+DAE90，CFE+CAE90，又BAC的平分线AF交CD于E，DAECAE，AEDCFE，
11、又AEDCEF，CEFCFE，又CMAF，EMFM3解：（1）ODE是等边三角形，其理由是：ABC是等边三角形，ABCACB60，ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60ODE是等边三角形；（2）答：BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，（ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，（7分）同理，ECEO，DEODOE，BDDEEC（4证明：ABM和BCN是正三角形，ABMB，ABMCBN60，ABNMBC，在ABN和MBC中，ABNMBC（SAS），ANBMCB，ANCM，P是AN中点，Q是CM中点，NPCQ，在BNP和BCQ中，BNP
12、BCQ（SAS），PBQB，PBNCBQ，PBN+NBQCBQ+NBQCBN60，BPQ是正三角形5证明：过点A作AFBC，交BD的延长线于点F，FDBC，FADC，ABC2C，BD平分ABC，ABDDBCC，FFADABD，BDCD，ADDF，ABAF，AEBD，BEEFBF，ACAD+CDDF+BDBF，AC2BE6解：如图，连接CF，ABC、BEF都是等边三角形，ABBCAC，BEEFBF，BACABCACBEBFBEFBFE60，ABCEBDEBFEBD，ABECBF，在BAE和BCF中，BAEBCF（SAS），BCFBAD30，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG
13、，则FDFG，CDCG，FDGFGD，CDGCGD，CDG+FDGCGD+FGD，CDFADC90，CGF90，BGCG，当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BGCG时，BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得DCG2BCF60，CDCG，DCG是等边三角形，DGDCDB，DBFDGBCDG307证明：设AD、EF的交点为K，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDFDEAB，DFAC，AEDAFD90，在RtADE和RtADF中，RtADERtADF（HL），AEAFAD是ABC的角平分线AD是线段EF的垂直平分线8解：猜想1与2互补理由如下：作CFAD延长线于F
14、（如图），34，CEAM，CFCE，CFACEA90，RtACFRtACE，AFAEAE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF），BEDF0，BEDF，DFCBEC（SAS），52，1+5180，1+2180故答案是：1与2互补；作CFAD延长线于F（如图），34，CEAM，CFCE，CFACEA90，RtACFRtACE，AFAEAE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF），BEDF0，BEDF，DFCBEC（SAS），52，1+5180，1+2180，即1与2互补9解：（1）如图2，作BEAC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DEAE，连接BD，则BE是中
15、垂线，故ABBD，AD3A+ABC180和A+ABC+BCA180，BCA2A，又BCAD+CBD，BCAA+CBD2A，则CBDA，DCBC4，ADDC+AC4+59，AEAD4.5，ECADCD4.540.5在直角BCE和直角AEB中，利用勾股定理得到：BC2CE2AB2AE2，即420.52AB24.52，解得 AB6故答案是：4.5；6；（2）作BEAC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DEAE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，故ABBD，AD3A+2B180，A+ABC+BCA180，2A+ABCACB，ACBD+DBC，2A+ABCD+DBC，AD，A+ABCDBC，BDABc
16、，即DCBDBC，DBDCc，设ECx，DEAEECAEACb，BE2BC2EC2，BE2AB2AE2，a2（）2c2（）2，解得，b如图3，作BEAC于点E，在AC的延长线上取点D，使得ABAD，连接BD，故ABAD3，ABDD3A+4ABC180，A+ABC+BCA180，2A+3ABCACBD+CBDABC+CBD+CBD，2A+2ABC2CBD，A+ABCCBDBCD，BDCDADAC1，在直角BDE和直角AEB中，利用勾股定理得到：BD2DE2AB2AE2，即12（1CE）232（2+CE）2，解得 CE，BE，a，故答案是：10解：（1）ABC为等边三角形B60APCBAP+B80
17、APAQAQBAPC80，（2）补全图形如图所示，证明：过点A作AHBC于点H，如图由ABC为等边三角形，BC60，APAQ，APQAQP，APQBAQPC，即PABQAC，点Q，M关于直线AC对称，QACMAC，AQAMMAC+PACPAB+PAC60，APAM，APM为等边三角形PAPM11（1）证明：如图1所示：在RtABC中，ACB90，A30，ABC60，BCBD平分ABC，1DBAA30DADBDEAB于点EAEBEBCBEEBC是等边三角形；（2）结论：ADDG+DM证明：如图2所示：延长ED使得DWDM，连接MW，ACB90，A30，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E，AD
18、EBDE60，ADBD，又DMDW，WDM是等边三角形，MWDM，在WGM和DBM中，WGMDBM，BDWGDG+DM，ADDG+DM（3）结论：ADDGDN证明：延长BD至H，使得DHDN由（1）得DADB，A30DEAB于点E23604560NDH是等边三角形NHND，H660H2BNG60，BNG+76+7即DNGHNB在DNG和HNB中，DNGHNB（ASA）DGHBHBHD+DBND+AD，DGND+ADADDGND12解：（1）OCD是等边三角形，OCCD，而ABC是等边三角形，BCAC，ACBOCD60，BCOACD，在BOC与ADC中，BOCADC，BOCADC，而BOC150
19、，ODC60，ADO1506090，ADO是直角三角形；（2）设CBOCADa，ABOb，BAOc，CAOd，则a+b60，b+c18011070，c+d60，bd10，（60a）d10，a+d50，即DAO50，要使AOAD，需AODADO，19060，125；要使OAOD，需OADADO，110+80+60+360110；要使ODAD，需OADAOD，110+50+60+360，140所以当为110、125、140时，三角形AOD是等腰三角形13解：（1）如图1，过点E作EFBC，交AC于点F，ABC为等边三角形，AFEACBABC60，AEF为等边三角形，EFCEBD120，EFAE，E
20、DEC，EDBECB，ECBFEC，EDBFEC，在BDE和FEC中，BDEFEC（AAS），BDEF，AEBD，故答案为：；（2）如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，ABC为等边三角形，AFEACBABC60，AEF为等边三角形，EFCEBD120，EFAE，EDEC，EDBECB，ECBFEC，EDBFEC，在BDE和FEC中BDEFEC（AAS），BDEF，AEBD（3）解：分为四种情况：如图3，ABAC1，AE2，B是AE的中点，ABC是等边三角形，ABACBC1，ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），ACE90，AEC30，DECBBEC30，DBEABC
21、60，DEB180306090，即DEB是直角三角形BD2BE2（30所对的直角边等于斜边的一半），即CD1+23如图4，过A作ANBC于N，过E作EMCD于M，等边三角形ABC，ECED，BNCNBC，CMMDCD，ANEM，ABC边长是1，AE2，MN1，CMMNCN1，CD2CM1；如图5，ECDEBC（EBC120），而ECD不能大于120，否则EDC不符合三角形内角和定理，此时不存在ECED；如图6，EDCABC，ECBACB，又ABCACB60，ECDEDC，即此时EDEC，此时情况不存在，答：CD的长是3或1故答案为：1或314解：（1）如图1，CACD，ACD60，所以ACD是
22、等边三角形CBCE，ACDBCE60，所以ECB是等边三角形ACDC，ACEACD+DCE，BCDBCE+DCE，又ACDBCE，ACEBCDACDC，CEBC，ACEDCBEACBDCAFB是ADF的外角AFBADF+FADADC+CDB+FADADC+EAC+FADADC+DAC120如图2，ACCD，ACEDCB90，ECCB，ACEDCBAECDBC，又FDECDB，DCB90，EFD90AFB90如图3，ACDBCE，ACDDCEBCEDCEACEDCB又CACD，CECB，ACEDCB（SAS）EACBDCBDC+FBA180DCB180（180ACD）120，FAB+FBA120
23、AFB60故填120，90，60（2）ACDBCE，ACD+DCEBCE+DCEACEDCBCAECDBDFAACDAFB180DFA180ACD180（3）AFB180；证明：ACDBCE，则ACD+DCEBCE+DCE，即ACEDCB在ACE和DCB中，则ACEDCB（SAS）则CBDCEA，由三角形内角和知EFBECBAFB180EFB18015证明：连接DE、EF、DF（1）当点G在线段BE上时，如图，在EF上截取EH使EHBGD、E、F是等边ABC三边中点，DEF、DBE也是等边三角形且DEABBD在DBG和DEH中，DBGDEH（SAS），DGDHBDGEDHBDEGDE+BDG6
24、0，GDHGDE+EDH60在直线EF上存在点H使得DGH是等边三角形（2）当点G在射线EC上时，如图，在EF上截取EH使EHBG由（1）可证DBGDEHDGDH，BDGEDHBDEBDGEDG60，GDHEDHEDG60在直线EF上存在点H使得DGH是等边三角形（3）当点G在BC延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立16解：ABAC，B30，CB30（等边对等角），BAC180BC120，点D是AC的中点，且DEAC，ECEA3（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），EACC30，BAEBACEAC90在RtABE中，B30
25、，BE2AE6，BCBE+EC6+39，故答案为：等边对等角，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，90，AE，17解：（1）四边形ABCD是正方形，AC垂直平分BD，PBPD，由题意易得：PB+PEPD+PEDE，在ADE中，根据勾股定理得，DE；（2）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时PQR周长的最小值等于MN由轴对称性质可得，OMONOP10，MOAPOA，NOBPOB，MON2AOB24590，在RtMON中，MN10即PQR周长的最小值等于1018解：（1）AEBC，BFACAEB和AFB都是直角三
26、角形D是AB的中点DE和DF分别为RtAEB和RtAFB的斜边中线DEAB，DFAB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）DEDFDEkDFk1；（2）CBCACBACABMACMBECBAMBCCABMAC即ABMBAMAMBMMEBC，MFACMEBMFA90又MBEMAFMEBMFA（AAS）BEAFD是AB的中点，即BDAD又DBEDAFDBEDAF（SAS）DEDF；（3）DEDF如图1，作AM的中点G，BM的中点H，点 D是 边 AB的 中点DGBM，DGBM同理可得：DHAM，DHAMMEBC于E，H 是BM的中点在RtBEM中，HEBMBHHBEHEBMHEHBE+HEB2MBC
27、又DGBM，HEBMDGHE同理可得：DHFG，MGF2MACDGBM，DHGM四边形DHMG是平行四边形DGMDHMMGF2MAC，MHE2MBC又MBCMACMGFMHEDGM+MGFDHM+MHEDGFDHE在DHE与FGD中，DHEFGD（SAS），DEDF19解：（1）ACB120，ACBC，BCAB30，ACQ60，AHQ60AGHQGCMQBPACAMQB+MQB30+；（2）如图，PACQAC，QAMQMA30+QAQM过点M作MEAC，交BQ于点E，ACQMEQ60，QACMQEQACMQE（AAS）CQEMB30EMB30EMEB，作ENBM于点N，设ENx，则BEEM2x
28、，BNx，BM2x，CQEM2x，BMCQ20（1）证明：CAO90BDO，CAOCBD在ACD和BCD中，ACDBCD（AAS）ACBC（2）解：由（1）知CADDEADBO，BDADDE，过D作DNAC于N点，如右图所示：ACDBCD，DODN，在RtBDO和RtEDN中，RtBDORtEDN（HL），BOEN在DOC和DNC中，DOCDNC（AAS），可知：OCNC；BC+ECBO+OC+NCNE2OC8（3）GHFH+OG证明：由（1）知：DFDO，在x轴的负半轴上取OMFH，连接DM，如右图所示：在DFH和DOM中，DFHDOM（SAS）DHDM，1ODMGDH1+2ODM+2GDM在HDG和MDG中，HDGMDG（SAS）MGGH，GHOM+OGFH+OG