1、3.4 实际问题与一元一次方程第 4 课时 分段计费与一元一次方程情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣图 3415情景导入 某市为了鼓励市民节约用水，制定了以下水费收费标准：每月用水量分为标准内和标准外两部分每月用水量在标准内按每吨 1.96 元收费；在标准外按每吨 2.94元收费.6 月份张三家用水 12 吨交水费 27.44 元该市月标准用水量是多少吨？说明与建议 说明：通过身边的节约用水分段收费，让学生体会身边的数学，提高兴趣，逐渐培养学生学好数学的积极性建议：先让学生多读几篇情境导入，理清已知、未知，以及它们之间的关系，可以采取小组合作探究的模式开展复习导入 (1
2、)用一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？(2)你了解现在电费、水费的收缴方法吗？已知用电量求电费容易，反过来，如何已知电费求用电量呢？说明与建议 说明：通过复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出电费、水费的分段收费问题，激起学生的兴趣，为切入新课做好准备建议：可事先布置预习作业，让学生到各个电费收缴中心，了解阶梯电费的收费规则，课堂上大家交流对规则的理解，为新课做铺垫教材母题教材 P104 探究 3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式图 3416月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/( 元/min) 被叫方式一 58 150 0.25 免费方式二 88 350 0.19 免费考
3、虑下列问题：(1)设一个月内用移动电话主叫为 t min(t 是正整数)根据上表，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法【模型建立】分段收费问题一般的解题步骤是：(1)理解题意，找出已知和未知； (2)验算收费是在哪一个段内；(3) 根据这一段的收费规则列出方程；(4)解方程并检验解的合理性；(5)作答【变式变形】1某地居民生活用电基本价格为 0.50 元/度规定每月基本用电量为 a 度，超过部分每度电价比基本 用电量的每度电价增加 20%收费，某用户在 5 月份用电 100
4、度，共交电费 56元，则 a_40 _度2大庆中考 某市出租车起步价是 5 元(3 公里及 3 公里以内为起步价)，以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公里按 1 公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元，则此出租车行驶的路程可能为( B)A5.5 公里 B6.9 公里 C 7.5 公里 D8.1 公里3某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过 12 吨，按每吨 a 元收费；若超过 12 吨，则超过部分按每吨 2a 元收费，如果某户居民五月份缴纳水费 20a 元，则该居民这个月实际用水(D )A4 吨 B8 吨 C12 吨 D16 吨4
5、某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过 15 立方米，每立方米按 1.8 元收费；如果超过 15 立方米，超过部分按每立方米 2.3 元收费，其余仍按每立方米 1.8 元收费另外，每立方米加收污水处理费 1 元若某户一月份共支付水费 58.5 元，求该户一月份的用水量解：若某户每月用水量为 15 立方米，则需支付水费 15(1.81) 42(元)，而 4258.5，该户一月份用水量超过 15 立方米设该户一月份用水量为 x 立方米，根据题意得：151.82.3(x15) x58.5，解得 x20.答：该户一月份的用水量为 20 立方米命题角度 1 分段收费问
6、题此类问题通常与现行阶梯电费、水费挂钩，逆向设置条件：在阶梯电价(水价) 的规则上，已知电( 水) 费，求用电( 水)量解决此类问题的一般步骤为：(1) 理解题意，找出已知和未知；(2)验算收费是在哪一个段内；(3)根据这一段的收费规则列出方程；(4)解方程并检验解的合理性；(5)作答例 淄博中考 为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：档次 每户每月用电量(度) 执行电价( 元/度)第一档 小于或等于 200 0.55第二档 大于 200 且小于 400 0.6第三档 大于或等于 400 0.85例如：一户居民七月份用电 420 度，则需缴电费 4200.85357(
7、元) 某户居民五、六月份共用电 500 度，缴电费 290.5 元已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度问该户居民五、六月份分别用电多少度？解：因为两个月的总用电量为 500 度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户五、六月每月用电均超过 200 度，此时的电费共计：5000.6300(元) ，而 300290.5，不符合题意，又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档设五月份用电 x 度，则六月份用电(500x) 度，根据题意，得 0.55x0.6(500x)290.5，解得 x190，500x310.答：该户居民五
8、、六月份分别用电 190 度、310 度命题角度 2 增长( 降低)率问题利用一元一次方程解决增长(降低) 率问题：(1)增长率 ；(2)增长后的量原来增 加 的 量原 来 的 量的量(1 增长率)；(3)降低率 ；(4)降低后的量原来的量 (1降低率)减 少 的 量原 来 的 量例 某开发区去年出口额达到 25 亿美元，今年 16 月份，出口额达 11.8 亿美元，比去年同期增长 18%，预计今年 712 月份的出口额可比去年同期增长 25%，则这个开发区今年全年出口额预计是多少亿美元？解：由题意可得，去年 16 月 份的出口额为 11.8(118%)10( 亿美元)设这个开发区今年全年出口
9、额预计是 x 亿美元由题意，得 10 25 ，x 11.81 25%解得 x30.55.答：这个开发区今年全年出口额预计是 30.55 亿美元命题角度 3 方案选择问题解决方案选择问题的一般方法：(1)运用一元一次方程求两种方案值相等的情况； (2)用特殊值试探法、选择法、取小于(或大于) 一元一次方程的解的值，比较两种方案的优劣性后，再下结论解这类题常用到分类讨论思想，基本步骤如下：(1)确定讨论对象和研究的区域； (2)对所讨论的问题进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级)；(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结，整合得出结论例 天骄超市和金
10、帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市购买 500 元的商品后，即可获得天骄会员卡，再购买的商品按原价的 85%收费；在金帝超市购买 300 元的商品后，即可获得金帝会员卡，再购买的商品按原价的 90%收费顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？解：设顾客购物金额为 x 元当 0x300 时，顾客在两家超市购物花费都一样当 300500 时，顾客在金帝超市花费 3000.9(x 300) (0.9x30)元；在天骄超市花费 5000.85(x500)(0.85x 75) 元，(0.9x30)(0.85x 75)0.05x45，利用特殊值法可得当 500
11、900 时，0.05x450.所以当 500900 时，顾客在天骄超市购物能获得更大优惠P106 练习1某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同其中，每个小书包的盈利率为 30%，每个大书包的盈利率为 20%，试求两种书包的进价答案 小书包的进价为 20 元，大书包的进价为 30 元2用 A4 纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过 20 时，每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费降为 0.09 元在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费 0.1 元复印张数为多少时，两处的收费相同？答案 60 张3下表是某校七九年级某月课
12、外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级 12.5 4 3八年级 10.5 3 3九年级 7请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表答案 课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级 12.5 4 3八年级 10.5 3 3九年级 7 2 2P106 习题 3.4复习巩固1结合本节内容体会例 2 后归纳的框图答案 略2制作一张桌子要用一个桌面和 4 条桌腿，1 m 3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400条桌腿，现有 12 m3 木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？答案 用 10 m
13、3 木材制作桌面，用 2 m3 木材制作桌腿3某车间每天能制作甲种零件 500 只，或者制作乙种零件 250 只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在 30 天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？答案 甲种零件制作 10 天，乙种零件制作 20 天4某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要 7.5 h 完成；如果让八年级学生单独工作，需要 5 h 完成如果让七、八年级学生一起工作 1 h，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？答案 共需 4 小时 20 分钟完成5整理一批数据，由一人做需 80 h 完成现在计划先由一些人做 2 h，再增加
14、5 人做 8 h，完成这项工作的 .怎样安排参与整理数据的具体人数？34解：设先由 x 人做 2 小时，则 2 8 ，x80 x 580 34解得 x2，x57(人)答：先安排 2 人做 2 小时，再由 7 人做 8 小时，就可以完成这项工作的 .34方法规律：此题也属工程问题综合运用6(古代问题)某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和 10 枚银币，但他干满 7 个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和 2 枚银币这件衣服值多少枚银币？解：设这件衣服值 x 枚银币，则 ，解得 x9.2.x 1012 x 27答：这件衣服值 9.2 枚银币7用 A 型和 B 型机器生产同样的产品，已知
15、 5 台 A 型机器一天的产品装满 8 箱后还剩 4 个，7 台 B 型机器一天的产品装满 11 箱后还剩 1 个，每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品，求每箱装多少个产品答案 每箱有 12 个产品8下表中记录了一次试验中时间 和 温度的数据时间/min 0 5 10 15 20 25温度/ 10 25 40 55 70 85(1)如果温度的变化是均匀的，21 min 时的温度是多少？(2)什么时 间的温度是 34 ？答案 (1)由图表知时间增加 5 分，温度升高 15 ，所以每增加 1 min，温度升高 3 ，则 21 min 的温度为 1021373() (2)设时间为 x
16、 分，列方程 3x1034，解得 x8.9某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和 4 块小月饼制作1 块大月饼要用 0.05 kg 面粉，1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉现共有面粉 4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？答案 制作大月饼用 2500 kg 面粉，制作小月饼用 2000 kg 面粉，才能生产最多的盒装月饼10小刚和小强从 A，B 两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行. 出发后 2 h 两人相遇相遇时小刚比小强多行进 24 km，相遇后 0.5 h 小刚到达 B地. 两人的行进速度分别是多少？相遇后
17、经过多少时间小强到达 A 地？答案 小强的速度是 4 km/h，小刚的速度是 16 km/h，相遇后经过 8 h 小强到达 A 地拓广探索11现对某商品降价 20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？答案 为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加 25%.12甲组的 4 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件，乙组的 5名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 6 倍少 20 件(1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？(2)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多 2 件，那么此月人均
18、定额是多少件？(3)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少 2 件，那么此月人均定额是多少件？答案 (1)45 件；(2)35 件；(3)55 件13(古代问题)希腊数学家丢番图(公元 34 世纪) 的墓碑上记载着：丢番图“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中过了四年，也与世长辞了”根据以上信息，请你算出：(1)丢番图的寿命；(2)丢番图开始当爸爸时的年龄；(3)儿子死时丢番图的年龄答案 (1)84 岁；(2)38 岁
19、；(3)80 岁P111 复习题 3复习巩固1列方程表示下列语句所表示的相等关系：(1)某地 2011 年 9 月 6 日的温差是 10 ，这天最高气温是 t ，最低气温是 t ；23(2)七年级学生人数为 n，其中男生占 45%，女生有 110 人；(3)一种商品每件的进价为 a 元，售价为进价的 1.1 倍，现每件又降价 10 元，现售价为每件 210 元；(4)在 5 天中，小华共植树 60 棵，小明共植树 x(x300，故第一种通话方式比较合算14. 解析：（1）按方式一：一个月上网时间为 400 分钟缴费：4000.1=40（元）；一个月上网 600 分钟缴费：6000.1=60（元
20、）.按方式二：一个月上网时间为 400 分钟缴费：20+4000.06=44（元）；一个月上网 600 分钟缴费：20+6000.06=56（元）.（2）设累计上网时间为 t 分，则按方式一要缴费 0.1t 元，按方式二要缴费（20+0.06t）元.如果两种计费方式的收费一样，则 0.1t=20+0.06t,解得 t=500.答：如果一个月累计上网时间 500 分钟时，两种方式的缴费相同.15. 解：（1）设去了 x 个成人，则去了（12 x）个学生，依题意得 40x+20（12 x）=400，解得 x=8，12 x=4；答：小明他们一共去了 8 个成人，4 个学生（2）若按团体票购票：164
21、00.6=384.384 400，按团体票购票更省钱列一元一次方程解奇妙古诗趣题来源:学科网 ZXXK古代的劳动人民创造了许多形式新颖独特，朗朗上口，容易记牢，饶有兴趣的数学诗，下面列举几道能用一元一次方程求解的数学诗供同学们赏析。1.房客我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客？题意：我问开店的李三公，有多少客人来住店？李三公回答说“一个房间内若住7 个客人，则余下 7 人没处住，如果每一个房间住满 9 人，则又空出一个房间”求多少客房、多少客人？解：设有 x 间客房，则根据题意，得7x 十 7=9（x 一 1）解得 x=8则客人为 人6
22、378答略2.李白买酒在我国的数学史上，有不少数学趣题是用诗词来表述的。民间广为流传至今的李白买酒数学诗就是其中一例。其诗为：李白无事街上走，提着酒壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有多少酒？赏析：这首诗告诉人们的是这样一件事：李白闲着没事提起酒，酒壶中原来是有酒的，每次遇到酒店便将壶中的酒增加一倍，看到了花，就开始饮酒作诗，每饮一次，喝去一斗酒（斗，古代酒器）。这样经过酒店遇到花，总共反复三次。在最后一次遇到花时，正好喝光了壶中的酒。试问李白的酒壶中原有多少酒？设原来酒壶中有酒 x 斗，则由题意得，012解得 x （斗）87即李白的酒壶中原有 斗酒。873、
23、羊群问题本题选自明代数学家程大位编著的算法统宗。甲赶羊群逐草茂，乙拽肥羊随其后。戏间甲及 100 否，甲说所玄无差谬。若得这般一群凑，再添半群小半群。得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？赏析：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方，有一个过路人牵着一只羊从后面追了上来，他对牧羊人说“你的羊有 100 只吗？”牧羊人说“我的羊现在不是 100 只。假如我现在的羊，加上和我现有的羊数相等的一群羊，再加上现有的羊数一半，然后再加上现有的羊数一半的一半（即 ），另外，再加上你那只羊41那就恰巧是 100 只”请你箅一算，牧羊人放牧的这群羊一共有多少只？解：设牧羊人放牧的这群羊一共有 x 只，由题意得10421xx解得 x=36答：牧羊人放牧的这群羊一共有 36 只。