1、第15讲一次函数和几何综合（二）模块一：一次函数和将军饮马模型综合“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察模型I：最小问题 模型II：最大问题 模块二：一次函数与折叠问题 一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系：角度 斜率方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形）模块一一次函数和将军饮马模型综合例题1（树德期末改编）如图，已知三个顶点坐标分别为，点P在线段AC上移动当点P坐标为时，请在y轴上找点Q，使周长最小，画出图形并求出Q点坐
2、标【解析】 ，直线AC的解析式为；点P在线段AC上移动，点P坐标为(1, m)，作P点关于y轴的对称点P，连接交y轴于Q，此时，根据两点之间线段最短，Q就是使周长最小的点；则 直线PC的解析式为，Q点的坐标为【教师备课提示】这道题主要考查最一般的将军饮马，基本思路：（1）过定点作定直线的对称点；（2）作对称的目的是转移线段例题2如图，在直角坐标系中有四个点，当四边形ABCD周长最短时，则_，此时四边形ABCD的面积为_【解析】 作A点关于x轴对称点，作B点关于y轴对称点，连接，四边形ABCD周长最短，且AB长度一定，必须使最短，即A、D、C、共线，设直线为，则，将其代入直线中得：，则代入直线方
3、程中，得：，因此，通过四个点坐标易求出四边形ABCD面积为15【教师备课提示】这道题主要考查两个动点的将军饮马模型，思路一样，过定点作定直线的对称点例题3（育才期末改编）如图，在直标系内，一次函数的图象分别与x轴、y轴和直线相交于A、B、C三点，直线与x轴交于点D（1）若点M在x轴上运动，当M运动到某个位置时，最小，试求出此时点M的坐标；（2）若点G在直线CD上，点H在直线AB上，试问：在（1）条件下，是否存在某个合适的位置，使得取得最小值？如果存在请直接写出这个最小值和此时点H的坐标；如果不存在请说明理由【解析】 （1）由条件：， 如图，当时，最小为0，故作线段BC的中垂线交x轴于M，交BC
4、于N，点M就是符合题意的点，设点M的坐标为：，则：，解得，；（2）存在如图，作点M关于直线CD的对称点M，过点作于H，交CD于G，则点G，H就是符合条件的点，直线解析式为：，与直线CD交点为点G：与直线AB交点为点H：，解得：，H点坐标为：的最小值为 【教师备课提示】这道题主要考查将军饮马+垂线段最短，相对较难模块二一次函数与折叠问题例题4（1）如图4-1，矩形OABC在平面直角坐标系中，AC的解析式为，把沿AC对折，点B落在处，线段与x轴交于点D，则的面积为_（2）（嘉祥期末）直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图4-2所示，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，直线AB的解析式为，
5、将沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合则点D的坐标为_ 图4-1 图4-2【解析】 （1）；（2）过D作于G，沿BE折叠O、D重合，D的坐标是：.也可以用解析法，求点O关于直线BE的对称点D例题5（1）如图5-1，直线与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上点处，则直线AM的解析式为_ （2）（实外期末）如图5-2，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为_ 图5-1 图5-2 【解析】 （1）（解析法）：当时，即，当时，即，所以，即，因为点B与关于AM对称，所以的中点为，即在
6、直线AM上，设直线AM的解析式为，把，代入可得（几何法）：直线与x轴，y轴分别交于点A和B，则，设，则，解得，又，故直线AM的解析式为. （2）或例题6（成外期末）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上在OA边上选取适当点E，连接CE，将沿CE折叠，如图（1）若矩形OABC的边长，如图6-1，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG/x轴交CD于点H，交BC于点G设，用含n的代数式表示m为_；（2）如图6-2，将矩形OABC变为正方形，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT长度 图6-1 图6-
7、2【解析】 （1）m与n之间的关系式为：；（2）（几何法）解：（如图）连接ET，由题意可知，是AO中点，在和中，设，则，在中，即，解得，即（解析法）：先求O点关于CE的对称点D，再求CD解析式，最后求T点坐标复习巩固模块一一次函数和将军饮马模型综合演练1（1）在平面直角坐标系中，x轴上一动点P到定点、的距离分别为AP和BP，那么当最小时，P点坐标为_（2）已知点P坐标是，点Q坐标是，在直线上找一点M，使得的周长最小，则点M的坐标为_【解析】 （1）；（2）演练2（1）在直角坐标系中，有四个点、，当四边形ABCD的周长最小时，mn的值为_（2）如图，在直角坐标系中有线段AB，A、B到x轴的距离分
8、别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为_【解析】 （1）由A、B两点固定可知，AB的线段长度固定，故只需考虑的长度，取点B关于轴的对称点，点A关于轴的对称点，易知当、D、C、四点共线时，的长度最小，最小值为易知直线的解析式为：，此时、，故（2）模块二一次函数与折叠问题演练3（树德期末）如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x的正半轴上，在OA上取一点E，将沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，则直线CE的解析式为_【解析】 演练4（嘉祥期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA
9、、OC的长满足（1）求B、C两点的坐标；（2）把沿AC对折，点B落在点处，与x轴交于点D，求直线解析式【解析】 （1）根据题意得，四边形OABC为矩形，故， （2）法一：计算出，设直线的解析式为，过点和，有，解得所以法二：利用B点坐标和的斜率。因为AC与垂直，则斜率乘积为演练5（1）如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为_（2）如图5-2，长方形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点E的坐标为现将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在AB上的点处，则的坐标为_ 图5-1 图5-2【解析】 （1）D的坐标为：法一：几何法，设，则，用勾股定理法二：解析法，求出AC的解析式，那么点D就是点B关于直线AC的对称点（2）将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点处， 也可以用解析法，求点C关于直线DE的对称点