1、第8讲梯形模块一 梯形的性质与判定一、梯形定义名称梯形等腰梯形直角梯形定义一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形图形符号语言梯形ABCD中，AD/BC梯形ABCD中，AD/BC，梯形ABCD中，AD/BC，相关概念梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底较短的底叫做上底，较长的底叫做下底（与位置无关）；梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做腰；梯形的高：两底间的距离叫做高二、等腰梯形的性质及判定1性质：（1）由定义可知：两腰相等，两底平行；（2）同一底上的两个角相等；（3）对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形，对称轴为两底中点的连线所
2、在的直线2判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形三、梯形中位线定理：在梯形ABCD中，AD/BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，则EF为梯形ABCD的中位线，且有EF/AD/BC，【教师备课提示】在讲解梯形中位线的时候可以先回顾三角形的中位线的知识，然后可以证明下梯形中位线定理连接AF并延长交BC的延长线与点Q，则可以得到点F也是AQ的中点，且，则EF为的中位线，即可证明梯形中位线定理还可以以此继续推导梯形的面积公式：模块二 梯形中的常见辅助线一、梯形中的常见辅助线类型图形作法本质典型应用与高有关过A作于E
3、，过D作于F（简称作双高）把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形面积计算与腰有关过D作DE/AB交BC于E（平移一腰）把梯形转化为一个平行四边形和集中两腰、上下底之差的三角形（）梯形中四边关系过C作CE/AB，交AD延长线于E（平移一腰）过E作EM/AB交BC于M，EN/DC交BC于N（平移两腰）把梯形转化为两个平行四边形和一个集中两腰和上下底之差的三角形（）分别延长BA、CD交于点E（补成三角形）为三角形中考热点，梯形中构造特殊三角形与对角线有关过D作DE/AC交BC延长线于E（平移对角线）把梯形转化为一个平行四边形（ADEC）和一个集中两条对角线与上下底之和的三角形（）集中对角线与腰中点有关
4、连结AM并延长交BC延长线于E（倍长类中线）将梯形切割拼接成一个与它面积相等的三角形（）梯形的中位线证明；梯形拼接成三角形或四边形过M作EF/AB交BC于F，交AD延长线于E（倍长类中线）将梯形切割拼接成一个和与它面积相等的平行四边形（ABFE）模块一 梯形的性质和判定例题 1（1）下列说法正确的是（ ）A梯形是特殊的平行四边形B等腰梯形的两底角相等C有两邻角相等的梯形是等腰梯形D有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形（2）如图1-1，梯形ABCD中，AD/BC，则_（3）如图1-2，在直角梯形ABCD中，AD/BC，点P是AB上一个动点，则的最小值为_（4）如图1-3，梯形ABCD中，A
5、B/CD，则BCE的面积是_ 图1-1 图1-2 图1-3（1）D；（2）；（3）17；（4）【点评】这道题主要考察学生们对梯形基本概念的理解，第三题为考试的真题，也比较综合，第四题主要是培养孩子去求解含有特殊角的三角形例题 2（1）如图2-1，梯形中位线的长是20cm，它被一条对角线分成的两部分的差是5cm，则这个梯形较长的底边长是_（2）如图2-2，点A、B在一直线上，以AB、BC为边在同侧分别作正方形ABGF和正方形BCDE，点P是DF的中点，连接BP已知，则_ 图2-1 图2-2（1）25cm；（2）cm模块二 梯形中的常见辅助线例题 3（1）如图3-1，在梯形ABCD中，AD/BC，
6、则梯形面积为_（2）如图所示3-2，已知梯形ABCD中，DC/AB，则_，_ 图3-1 图3-2（1）；（2），2【点评】这两道题都是通过作双高的方法来求解，意图就是让同学们掌握题型中最基础的辅助线作法，也考查同学们的计算能力例题 4（1）在梯形ABCD中，AB/CD，则AB的长度为_（2）梯形ABCD中，AD/BC，则AB的长为_（3）如图，在梯形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，则EF的长度_ （1）18可平移一腰（或延长两腰）得到含的直角三角形（2）3可平移一腰（或延长两腰）得到等腰三角形（3）过点E作EM/AB、EN/CD交BC于M、N，又，【点评】 在梯形ABCD中，是两底
7、中点的连线，则同样的，如果反过来也是对的，即在梯形中，是两底中点的连线，且，则例题 5（1）如图5-1，梯形ABCD中，AD/BC，E在BC上，则_（2）如图5-2，等腰梯形ABCD中，AB/CD，且，则梯形ABCD的面积为_图5-1 图5-2（1）5；（2）【点评】这两道题都是通过平移对角线的方法来求解，意图就是培养孩子通过题目所给的条件来分析辅助线的作法的能力两对角线互相垂直，即想到平移对角线来构造直角三角形；两对角线相等，即想到平移对角线来构造等腰三角形 例题 6如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E为AB中点，EF/DC交BC于点F，求EF的长解法一：如图1，过点D作于点GAD/BC，
8、可得四边形ABGD为矩形，又E为AB中点，EF/DC，在中，解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点GAD/BC，EF/DC，四边形GFCD为平行四边形，设，则，解得，在中，【点评】 以上两种方法是标答给出的，此外，本题方法还有：（1）延长BA，CD交于一点；（2）过点A作DC的平行线当然不排除还有其它方法，此题几乎囊括了梯形所有常见的辅助线作法，比较精彩！课后作业演练 11有两个角相等的梯形是（ ）A等腰梯形 B直角梯形C一般梯形 D等腰或直角梯形2（武汉市中考题）如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，E为AB边上一点，且连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：；为等边三角形；其中结
9、论正确的是（ ）A只有 B只有 C只有 D1D；2B【点评】 此题让学生进一步掌握中考中梯形为背景的题目演练 23（成都七中初中2014年上期期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，点M为直角梯形ABCD内一点，满足，将绕点A顺时针旋转得到对应的（AD与AB重合，），连接MN（1）判断线段MN和BN的位置关系，并说明理由；（2）若，求MB的长及点B到直线AN的距离；（3）在（2）的情况下，若，求四边形MBCD的面积（1），理由：由题意得，且，；（2）由题意得，且，由勾股定理，作交AN的延长线于点P，则，即点B到直线AN的距离为3（3）由（2）得，所以，【点评】这是一道考察直角梯形和全等结
10、合的去年半期考试的真题，整体难度一般，但是重点考察学生对梯形中面积公式，长度和角度的一些计算演练 34如图，梯形ABCD中，AD/BC，则梯形ABCD的面积是_ 24【点评】此题常规可以用做双高的方法求解，但是过于麻烦，如果深入发掘题目，会发现6、8、10这组勾股数的存在，所以运用平移对角线会更加巧妙，老师可以好好评讲这道题目，比较精彩演练 45等腰梯形的两底长为4cm和10cm，一底角为，则它的面积为_ cm26已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，另一腰长为x，则x的取值范围是_7如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知，则EF的值为_521；6；74演练 58如图，在梯形ABCD中，E是AD上的点，M是BC的中点求证：是等腰直角三角形取AD中点F，连接FM，(AAS)，FM/AB，是等腰直角三角形【点评】这是一道比较综合的题，难度中偏高，也可以有另外的解法延长DM、AB交于点F，可证，则是等腰直角三角形