1、第4讲直角三角形一、解直角三角形 1直角三角形中的特殊线：“直角三角形斜边中线”“直角三角形斜边高”2特殊直角三角形的三边关系：“等腰直角三角形”“含和的直角三角形”边的比：边的比：3基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）4解题技巧解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形. 并且应注意以下问题：作高时不能破坏已知的特殊角（、）；作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况. 注意高线是否在三角形内部二、最短路径问题：将立体图形适当地展开成平面图形后，利用两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算，并比较得出最短路径长
2、度模块一解特殊直角三角形例题1探究下列三角形三条边长之间的关系（1）中，；（2）中，【解析】 （1）如图所示，不妨设，则在中，因为，由勾股定理可知所以三边的比值为（2）如图所示，设所对的直角边为a，因为直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，所以AB为2a由勾股定理可知所以三边的比值为【教师备课提示】上述两个有特殊角的直角三角形边长之间的关系（、）经常会用到，一定要让孩子们记住这个结论。反过来如果知道三边的这种特殊的长度比也可以推出角度例题2（1）如图2-1，在中，则_（2）如图2-2，中，点D在AC上，已知，_图2-1 图2-2【解析】 （1）18；（2）20【教师备课提示】熟练运用含特殊
3、角的直角三角形的结论进行求解例题3（1）如图3-1所示，已知在中，则_，_（2）如图3-2，在中，求的长度（3）如图3-3，在中，则_（4）在中，那么_ 图3-1 图3-2 图3-3【解析】 （1），；（2）过作延长线的垂线，垂足为，；（3）;（2）或（无图注意分行内高和行外高）.例题4如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，求AC长和四边形ABCD的面积【解析】 （1）过点D作，又，【教师备课提示】例3、例4主要通过作垂线构造含特殊角的直角三角形进行求解但是一定注意作垂线要创造含特殊角的直角三角形，不破坏特殊角模块二最短路径问题例题5（1）如图5-1，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸
4、箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_（2）（育才半期）如图5-2，长方体的长、宽、高分别是8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为_图5-1 图5-2【解析】 （1）如图：展开后由勾股定理得： ，（2）展开图为：展开后的长和宽分别为：6cm，8cm，最短路径为：注意：第（2）题有三种展开方式，最短路径一定为其中两条边的和与第三边长度最接近的情况，这里2+4与8差值最小（和一定，分成两个差越小的数，平方和越小，可以证明）这里如果是解答题需要比较一下几种展开情况例题6（1）（成外半期）一个几何体的三视图如图6-1所示，如果一只蚂
5、蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，则蚂蚁爬行的最短路程为_（2）如图6-2所示，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_图6-1 图6-2【解析】 （1）展开后连接BE，则BE为最短路线，根据题意得：，在中，由勾股定理得：，这条路线的最短距离是（2）如图所示：将被子侧面展开，作A关于EF的对称点，连结，则即最短距离由题意可得出： 复习巩固模块一解特殊直角三角形演练1（1）如图1-1，已知中，求DB的长为_（2）如图1-2，在中，则AD的长为_（3）
6、已知：如图1-3，中，求BC图1-1 图1-2 图1-3【解析】 （1）10；（2）；（3）演练2（1）某楼梯的侧面视图如图2-1所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为_（2）如图2-2，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（）ABCD6图2-1 图2-2【解析】 （1）米；（2）A，易得演练3如图，已知在四边形ABCD中，求【解析】 连接BD，则是边长为6的等边三角形，为含角的直角三角形。所以：模块二最短路径问题演练4（成外半期）如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm（1）点到点之间的距离是多少？（2）若一只蚂蚁从点爬到（只能从长方体表面爬行），则爬行的最短路程是多少？【解析】 （1）长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm，（cm），（cm）；（2）爬行的最短路程是cm（5与最接近，平方和最小）演练5（西川半期）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值为_cm【解析】 如图所示：连接DC，CF，由题意：，吸管口到纸盒内的最大距离，故答案为：