1、第3讲 勾股定理模块一：勾股定理及证明1勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，那么即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾较短的边、股较长的直角边、弦斜边2勾股定理的证明：（1）弦图证明 内弦图 外弦图 （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 3勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等（2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数.（3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等（4），（n为大于1的自然数）（5），（，且
2、m和n均为正整数）模块二：勾股定理逆定理及应用1勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角即在中，如果，那么是直角三角形2勾股定理的常见题型模块一勾股定理及证明例题1（1）勾股证明的方法成百上千种，其中几何原本中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC的三边长为a，b，c（c为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明 （2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_【解析】 （1）如上图可知：， ，同理，（2）4
3、9cm2【教师备课提示】这道题考查勾股定理证明和勾股树例题2（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A1倍 B2倍 C3倍 D4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为_（3）下面几组数：7，8，9；12，9，15；，,2mn（m，n均为正整数，）；，其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）A B C D【解析】 （1）B；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12；（3）B；容易知道错误正确，对于，由，所以所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形答案选B【教师备课提示】这道题主要考查常见的勾股数，常见的勾股数五种境
4、界要了解例题3中，若，如图3-1，根据勾股定理，则若不是直角三角形，如图3-2，；如图3-3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论 图3-1 图3-2 图3-3【解析】 图2猜想：证明：过点A作于D，设，即，故图3猜想：证明：过B作，交AC的延长线于D设CD为x，则有根据勾股定理，得即，模块二勾股定理的逆定理及应用例题4（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为_（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为_（3）（七初半期）若，则以a、b为边的直角三角形的第三边为_【解析】 （1）3或；（2）8或10；（3）或【教师备课提示】题型：已知直角三角形的两边求第
5、三边，A卷填空必考题，也是易错点，在斜边不确定的情况下，切记要分类讨论，以斜边讨论例题5在中，高，则三角形的周长是_【解析】 32或42【教师备课提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高例题6（1）如图6-1，四边形ABCD中，求四边形ABCD的面积（2）如图6-2，在四边形ABDC中，求该四边形面积 图6-1 图6-2【解析】 （1）；（2）96四边形ABDC的面积为96连接BC，根据勾股定理可得，因为，所以为直角三角形，故四边形ABDC的面积【教师备课提示】题型：利用直角三角形求不规则四边形面积，即为直角三角形
6、的构造例题7（1）如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置，BD长0.5米，则梯子顶端A下落了_米（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（）A等于1米 B大于1米 C小于1米 D以上结果都不对（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A BC D不确定【解析】 （1）0.5；（2）C；（3）选B，设米，由勾股定
7、理得：，化简得，【教师备课提示】题型：扶梯问题，相对较简单，主要是理解例题8（1）（成外半期）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于_（2）（西川半期）如图，中，于点D，若，请求出的周长【解析】 （1）；（2），解得，【教师备课提示】题型：直角三角形与知二推二综合，各校B卷高频考点例题9（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，求EC的长（2）如图9-2，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，则DE的长度为_（3）如图9-3，矩形纸片ABCD的长，宽，沿EF将其折叠，使点D与点B重合，则折痕EF的长为_cm 图9-1 图9
8、-2 图9-3【解析】 （1）由题意得，在中，应用勾股定理得，所以在中，应用勾股定理，设，得解得，即（2）设，因为，则，在中，由勾股定理可得：，即（3）设，因为，则，根据勾股定理得：，即，解得：；，根据勾股定理得：(cm)；【教师备课提示】题型：翻折问题，对应边相等，对应角度相等非常挑战若，且，求：的最小值【解析】 如下图，不妨设， P为线段AB上的动点，于是，则问题转化为求点C，D之间距离的最小值当P，C，D三点不共线时，有；当P，C，D共线时，于是点C，D之间距离的最小值为【教师备课提示】数形结合，几何构造，将军饮马复习巩固模块一勾股定理及证明演练1如图1-1，分别以直角三角形A、B、C三
9、边为边向外作三个正方形，其面积分别用、表示，则不难证明（正三角形面积是边长平方的）（1）如图1-2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、表示，那么、之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、表示，请你确定、之间的关系并加以证明 图1-1 图1-2 图1-3【解析】 （1）设BC、CA、AB长分别为a、b、c，则，；（2）证明如下：显然， 【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用、表示，则（设斜边所做图形面积为）演练2已知a，b，c是三角形的三边长，（n为大于1的自然数
10、），试说明为直角三角形【解析】 因为，所以，所以为直角三角形模块二勾股定理的逆定理及应用演练3如图，四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的面积是（）cm2A336 B144 C102 D无法确定 【解析】 答案：B连接AC，运用勾股定理逆定理演练4如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？【解析】 设竹篙顶端下滑1米到点，底端向外滑行到点由题意得，在中：，在中：，即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米演练5（1）（石室期末）在中，高，则_（2）（育才期末）如图，中，于点D，若，则的周长为_【解析】 （1）24或
11、84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）（2）（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）演练6（1）如图6-1，已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_（2）如图6-2，矩形ABCD中，如图所示折叠矩形纸片ABCD，使D点落在边AB上一点E处，折痕端点G、F分别在边AD、DC上，则当折痕端点F恰好与C点重合时，AE的长为_cm 图6-1 图6-2（3）若，且，则的最小值是_【解析】 （1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，中，斜边长，；第2个等腰直角三角形，中，斜边长；第3个等腰直角三角形，中，斜边长；依此类推，第n个等腰直角三角形中，斜边长为（2）F点与C点重合时（如图），在矩形ABCD中， ， 由折叠的性质可得：， （3）答案：25（对应例题10，几何构造）