1、第12讲三角函数的应用模块一 解三角形1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形2直角三角形的边角关系（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：，3解直角三角形的四种基本类型已知条件解法类型一条边和一个锐角斜边c和锐角，直角边a和锐角，两条边两条直角边a和b，斜边c和直角边a，4解一般三角形（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移模块二 解三角形的应用1相关概念（1）仰角与俯角：在
2、视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图1（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡如图2（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）度如图3 图1 图2 图32解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三
3、角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位模块一 解三角形例题 1在中，（1）若，则_，_，_；（2）若，则_，_；（3）若，则_，_【解析】 （1），3，；（2），；（3）；【教师备课提示】这道题主要考查解直角三角形例题 2（1）如图2-1，在中，于点D，则_（2）如图2-2，在中，CD是AB边上的中线，若，则的值为_（3）如图2-3，等腰中，D为BC中点，将折叠，使A点与D点重
4、合，若EF为折痕，则的值为_ 图2-1 图2-2 图2-3【解析】 （1）；（2）；（3），,，设，则，由，得，【教师备课提示】这道题主要是利用常见的模型转移角度，转移到相等的角的直角三角形中例题 3（1）如图，在中，则AC的长为_（2）（七中育才周考）已知等腰三角形的周长为20，且该等腰三角形为锐角三角形，其中某一内角的余弦值为，那么该等腰三角形的腰长等于_【解析】 （1）（过C点作AB的垂线）；（2）6或【教师备课提示】这道题主要考查解一般三角形构造直角三角形，尽量不破坏已知角例题 4如图，已知在中，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且，连接AE（1）求线段DE的长；（2）求的正
5、切值 【解析】 （1）如图，连接AD，D为BC的中点，由勾股定理得：，；（2）过C作于M，则，在中，由勾股定理得；，由勾股定理得；，解得：，的正切值是例题 5如图，在中，CD是AB边上的中线，已知，（1）求面积；（2）求CD的长；（3）求的值 【解析】 （1）作于H，在中，设，根据勾股定理得，在中，；（2）作于F，；（3）作于E，【教师备课提示】例4和例5主要考查利用三角函数和特殊角构造直角三角形，然后解三角形例题 6（石室联中改编）如图，等腰中，点D在边AC上，且BD平分（1）求证：；（2）求的值 【解析】 （1）等腰中，BD平分，；（2），设，则有，即，整理得：，解得：，（负值，舍去），则
6、；过B作，交AC于点E，E为CD中点，即，在中，在中，则【教师备课提示】这道题主要考查三角函数和相似综合，一样构造直角三角形进行求解模块二 解三角形的应用例题 7（七中嘉祥周考）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三个点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为，在E处测得商场大楼楼顶B的仰角为，米已知，广告牌的高度米，求这座商场大楼的高度AB（，小红的身高不计，结果保留整数）【解析】 设AB为x米 依题意，在中， ，在中，解得，例题 8“五一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为的山坡AB向上走了1300米，到达缆车
7、站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为，求山高CD（结果精确到0.1米，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 【解析】 过B作于E，于F，则，所以四边形BFDE是矩形，所以，沿着坡度为的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，米，米，在中，解得：米，米，米789.2米【教师备课提示】例7例8主要考查解三角形的应用，主要考查最基本的概念复习巩固模块一 解三角形演练 1（1）如图1-1，在菱形ABCD中，则BD的长为_，的值为_（2）如图1-2，在梯形ABCD中，则_ 图1-1 图1-2【解析】
8、（1），；（2）演练 2（1）如图2-1，在等腰中，D是AC边上一点，若，则AD的长为_（2）如图2-2，是等腰直角三角形，过BC的中点D作，垂足为E，连接CE，则的值为_ 图2-1 图2-2【解析】 （1）作于点E，则，且，又可得，从而（2）过点E作，F为垂足，也是等腰直角三角形设，则， 演练 3如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，沿BE折叠为，点F落在AD上，（1）求证：；（2）若，求的值【解析】 （1）略；（2）由，得，故模块二 解三角形的应用演练 4（七中高新半期）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为，
9、沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为已知，此山坡的坡比，且O、A、D在同一条直线上求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（计算过程和结果均不取近似值）【解析】 （1）在中，（2）如图，过点C作于E，于H则，根据题意，知，可设，.在中，即解得在中，答：高楼OB的高度为，小红在山坡上走过的距离AC为m.演练 5如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（参考数据：，） 【解析】 （1）如图，过点E作，垂足为M设AB为x中，在中，则，解得：即教学楼的高20m（2）由（1）可得在中，即A、E之间的距离约为48m